Курсы оқу құралы

Бұл  (59)  өрнектер  бойынша  (57)  қатарының  белгісіз  d n(x,s)  коэффициент- 
терін  есептеуге  болады.d n(x,s)  коэффициенттерін  есептеп  табу  үшін  (59)  форму- 
ласын пайдаланып, мына формулаларды аламыз:
d x (х, s) = К (х, s ) d x -  J K (x,t]d{) (/, s)dt = К(х, s ) \ K { t x, /, )dtx -
- \ K { x , t x)K{tXis)dtx  = J
K ( x ,s )  
a
:(
x
,/,) 
K ( t x,s)  K{tx,tx)\
dt.,
d 2 (x, s) =  К (x, s ) d 2  - 2 \ K (x, /, )d] (/,, .v)J/,  = } J
K (x,s) 
K ( x , t ]) 
K ( x , t 2)
K ( t {,s) 
K ( t x,tx) 
K (tx, t 2)d txdt2,..., 
K ( t 2,s)  K (t2,tx)  K ( t 2,t2)
b  b
d n{x,s) = JJ
a   a
K [x,s)K (x,t,)...K (xJJ
dt,dt~....dt  .
I 
Z 
n
Осы өрнектердегі анықтауыштарға Адамар теңсіздігін пайдаланып,
\dn(x,s]< М п+'(п + 1)  2  { b - a ) n
екенін  көреміз.  Бұл  теңсіздікті  пайдаланып,  (57)  қатарының  кез  келген  X  үшін 
жинақтылығын,  яғни  7)(х,л;/і)-нің  Я-ға  қатысты  бүтін  функция  екенін  көрсету 
қиын  емес.  Енді 
d r  мен  d n{x,s)  өрнектерінен  шығатын  кейбір  салдарларды 
көрсетейік.
1°.  Аталған теңдіктерден
d„+x=tdH(s,s)ds  (п = 0,1,2,...) 
(60)
екенін оңай көреміз.
2°.  (59)  бен  (60)  рекуренттік  өрнектер  (55)  пен  (57)  қатарларының  коэффи- 
циенттері  d n  мен  <7„(х,^)-терді біртіндеп анықтау мүмкіндігін береді.
3°.  Егер  (57)  тендігінде  x = s  деп  алып,  одан  кейін  оның  екі  жағын  да  s 
бойынша  а -дан  b -ға дейін интегралдасақ,
Г 0 (а д /1 )*  = 4 + І ( - 1 )
п  \
69

D'(A)= -\D{s,s\A)ds.
a
Сонымен  Фредгольм  резольвентасы
R(x, s; A) = ү щ  D(x,s', A)
f ( x )  функциясына тоуелді  емес,  бүтін  аналитикалык  функциялардың  катынасына
тең, яғни  А  бойынша мероморфты  функция  болады.
1-теорема.  D(A)  функциясының  кез  келген  А,,  түбірі  резольвентаның  полюсі
болады.
А,,  саны  D(A)  көпмүшелігінің  к  еселі түбірі, яғни
£ )(Д )= (Я -Я „ ), ц , ( / 1), 
0.
Ал  D'(A)  үшін  А0  саны  к - 1  еселі  түбір.  Енді  А^  саны  D(x,5;A)  үшін  /  еселі 
түбір делік, яғни  D(x,s;A) = ( A -  А0)' D(x,s;A),  D(x,s,A0) ^  0  болсын.
Жоғарыдағы  (60) формуланы  пайдаланып,
D ,( A ) = - ( A - A 0)l\ D l)(s,s;A)ds
өрнегін апамыз, бұдан  (55) тендігін пайдалансақ,
екенін  көреміз.  Бүл  теңдеуден  / < к -1  екенін  байқаймыз.  Сондықтан  АХ)  саны 
резольвентаның полюсі болады.
Ядроның  резольвентасы  бар  болатындай  А  саны  регуляр  сан,  ал  резольвен­
тасы  жоқ  болатындай  А  сандары  меншікті  мондері  (сандары)  деп  аталады.  Мен- 
шікті  сандар  резольвентаның  полюстерімен  сай  келеді  немесе  D(A)  көпмүшелі- 
гінің  түбірлері  ( D(A)  бүтін  функция  болғандықтан  түбірлері  санақты  жиыннан 
коп емес). Сонымен мына тұжырым орынды.
2-теорема.  Егер  AT(лс,^)  Фредгольмнің  интегралдық теңдеуінің үзіліссіз  ядро- 
сы  болса,  онда  ол  ядроның  меншікті  мондері  шексіздікте  шоғырланатын  санаулы 
жиыннан аспайды.
Мысалдар.
1.  Фредгольмнің  анықтауыштарын  пайдаланып,  К (
jc
, s) = cos .v -  cos 5, 
(0 < x ,s  < 2
k
)  ядросының резольвентасын  анықтау керек.
Шешуі.  D(A)-ны  табайық.Ол  үшін  D(A) = l + X ( - l ) " - r t/n  екенін  еске-рейік,
«
1
/
7
!
 
г
мүндағы,

жүктеу/скачать 10,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: