Курсы оқу құралы
Лаплас түрлендіруінің кейбір қасиеттері
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| 2. Лаплас түрлендіруінің кейбір қасиеттері. Келешекте ыңғайлы болуы
үшін / ( / ) функциясының кескіні Ғ ( р ) деген ұғымды / ( / ) = Ғ ( р ) деп белгілей- міз. Түрлендірудің қасиеттерін қарастырайық. 1° (Сызықтық). Егер / ( / ) мен g(t ) түпнұсқа функциялар болса, онда эрқа- шан тұрақты сс мен /? комплекс сандары үшін cf{t) + fig{t) = а Ғ ( р ) + /Ю(р)қа- тысы орынды мұнда g ( ‘) = G(p) . Бұл өрнектің дұрыстығы ап-айқын. 2° (Үқсастық). f ( t ) тұпнұсқа болсын. Онда \ / а тұрактысы үшін f i a t ) = — Ғ a ' р ' қатысы орынды. Расында, ои \ f ( a i ) e p'dt СЮ = j f ( T ) e ”" a d r 1 — = F a a a t = z v Ka ) 3° (Тұпнүсқаны дифференциалдау). Егер f ' ( t ) немесе f \ t ) функциялары, жадны жағдайда f [n)(t) функциясы түпнүсқа (түпнұсқа) болса, онда: 131 немесе / W(')= р"Ғ(р)-р’-'Ао)-р"- 2 Г(о)-....-/"-'Щ (123) Дәлелдеуі. Re p = s > s 0 болғанда lim /(/)e v'= 0 екенін ескерсек, бөліктеп і^> 0 интегралдап, f ' { t ) = p F { p ) - f ( o ) ( 122 ; / ' ( ' ) = £ Г ( ‘У Р‘\о + р [ f ( t p F ( p ) - f ( 0 ( 122) өрнегін аламыз. Дол осы жолмен (123) өрнегі де долелденеді. 4° (Тұпнұсқаны иитегралдау). Егер / ( / ) түпнұска болса, онда £ / ( r ) J r тұпнұсқа жоне қатысы орынды. Дәлелдеуі. g(t) = £ /( г ) іг функциясының да тұпнұсқа екенін оңай байқаймыз, яғни g(t) функциясы а), э) жэне б) шарттарын қанағаттандырады. / '( / ) = Ғ ( р \ S 0 ) = G ( р ) болсын. g\t) = f ( t ) тендігінен ғ(р) = pG(p)-g(o) = pG(p) . Бұдан g(/) = G(p) = немесе f g{r)dr - қатынасы шығады. Р о Р / ( / ) және g ( t ) тұпнұсқа функциялары үшін ұйысу операциясы орқашан орынды жэне / * g = J f ( r ) g ( t - T ) d r = j / ( r ) g ( / - r ) d z . -ao 0 5° (Кобейту теоремасы). Егер f { t ) = F ( p ) , g (r) = G ( p ) болса, онда олардың f * g ұйысу да тұпнұска болады жоне f *g - Ғ( р) ■ G( p ) . (124) Дәлелдеуі. f ( r ) g ( t - r ) көбейтіндісі г аргументінің 0 < г < / облысының сыртқы нүктелерінде нөлге тең. Ал f ( r ) g ( t - г) функциясынан алынған интеграл- дың мэні бар жэне а), о), б) шарттарын қанагаттандырады. Лаплас түрлендіруін қолданып, 132 °o f t ) CO T o o 'j Iе P' \ \ f ( r ) g ( t - z ) d z \ d t = \ f { z ) \ \ g { t - z)e d t \ d r 0 l 0 uu oo = j/(r)< ? p,d z f g ( t , ) e p,'dtx = G( p) F(p). Кейбір интегралдық тендеулерді шешу кезінде мына төмендегі күрделі кө- бейту теоремасы пайдалы. 6° (Эфрос теоремасы). f ( t ) = Ғ ( р ) болсын жэне аналитикалық функциялар G ( p ) мен q( p) мынадай байланыста G(p) e‘ч{р) +g(t,r) болсын, сонда оо F[q(p)]G(p) + \ f (r)g(t , v)dr Дәлелдеуі. Лаплас түрлендіруін қолданып, 0 0 [ СО I e~p> j j T ) d i j d t = J / ( r ) | J g (/, z)e-p,d t ^ d z = 00 = \ f ( T ) G ( p ) e - ’^ d r = G( p ) F[ q ( p ) \ 0 7° Бізге өсу көрсеткіштері s ] мен s 2 болған / ( / ) , g(t) тұпнүсқалары берілсін. Олардың көбейтіндісі де тұпнұсқа болады, оның үстіне J 6 + 100 g(t ) f (t ) = — J F ( q ) G ( p - q)dq, мұндағы b > s l , R eb > s 2 + b . жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|