j ^ 1 / f7L l = ,p f^ )sin v rrfr

1 -  
л
4 2
л
К{()
функциясын  Фурьенің  кері  түрлендіруі  R(x,A,)  болсын.  Сонда  (118)  өрнегінің  оң 
жағы
V 2 ^ 7 ( 0 —
\ 1
1-Я л/2л:А'(/)
/ ( * )   пен 
Я )  функцияларының үйірткісі. Сондыктан (118) өрнегін
#?(х) = / ( х ) + я П   R(x -  s , X ) f ( s ) d s
J  ОО
(119)
түрінде, яғни (116) тендеуінің шешімі ретінде жазуға болады.
2-мысал.  (р(х) = f ( x )  -  я £   | v 
теңдеуді шешу керек.
f ( t )   м е н ^ ( 0   функциялары  сойкес  түрде  f ( x )   пен  ср(х)  функцияларының 
Фурье түрлендірулері болсын.  АГ(х) = е~^  деп белгілеп,
Щ  
= -±=
 Г
e Me-i,xdx 
=
 £ =  f° 
ex{]-"]dx+
 
Г
e~x{'+,,)dx 
=
 -^=[ 
-
 
УІІ7Г ■''* 
у[Ъг]-™
 
Jo 
у[Ъг{\
1  ( - U -   1
'2 
1
it  \ + it)  \ л   1 + r
екенін анықтаймыз.  Бұл өрнектің екі жағына Фурье түрлендіруін қолдансақ,
£ ( * ) =
7 ( 0 +
<
р
(*\
\ 7Г
  1 + t
ал бұдан
Демек,
^
) =
^
Г
 
1 + г
у
[2
л
  ^ 001 -  2Д + V
7 { t V x,dt,
мұндағы,
1 -  2Я + / : 
1
 + 
/2
= 1 - Я > / 2 ^ ^ ( / ) = 1 - 2
1 + V
Л  < -j  болған жағдайда  1 -  Лу[2яК(і) 
ф
 0, 
V/ 
е 
( -  
qo
, +
qo
).  ,
126

Жоғарыдағы өрнекті
< p ( t ) - f { t )
2/1
т Л О
1 - 2 Л  + /
IX  t
I
е
1- 2A + t
екенін еске алып,  одан  кейін үйірткі  операциясын  пайдалансақ, берілген тендеудің 
шешімін
түрінде анықтаймыз.
Енді  жоғарыдағы  (117)  жэне  (119)  формулалары  орынды  болуы  үшін  функ- 
цияға  қандай  қажетті  шарттар  қою  керек  екенін  көрсететін төмендегі  тұжырымды 
долелдеусіз қабылдайық.
1-теорема. 
f ( x )  е L2( -  
о о
,  
о о
) ,  
АГ(
х
) е Lt( -  
о о , о о )  
және  1 - А ^ Щ * 0  
Vf 
үшін  шарттары  орынды  болсын.  Сонда  (117)  формуласымен  анықталған 
(р{х) е Ь2 ( -  
о о , о о
)  және  (116)  теңдеуінің  жалғыз  ғана  шешімі  бар  болады.  Бірақ 
L2 (— со, оо)  кеңістігінде  жатпайтын  басқа  шешімдері  бар  болуы  мүмкін.  Егер  (116) 
тендеуінің екі  шешімі бар болса, олардың айырымы
|Vl-2A
(р(х) = А Г  K{x — s)p{s)ds
-оо
біртекті  тендеуін  қанағаттандырады.  Бұл  тендеудің  шешімін  (р{х) = еа'  түрінде 
іздейік.  Ол  кезде тендеу
е ш   =  Л f 
-  s )pasds ds
J-oo
түріне келеді.  Бұған  х  — s  — t  деп ауыстыру енгізсек,
яғни  сс  мына төмендегі тендеудің шешімі болу керек.
127

л
 Г  
к { і У “ сһ
 l .
J-oo
Эрине, егер біртекті теңдеудің нөлге тең емес шешімі бар болса, онда біртекті 
емес теңдеудің ақырсыз көп шешімі  бар болады.
3  мысал.  2 мысалдағы біртекті емес тендеуге сэйкес
( р { х ) = л \   e ^ x s \(p(s)ds
J—
<х>
біртекті тендеуін шешу моселесін қарастыралык.
е 
| е (г  vl, x - 5  < 0
болғандықтан, теңдеуді
ср(х) -   л \   е
  ^  
S^(p(s)ds
 
+ Я 
f  е^х  s),(p {s)d s
J  ОО 
J.r
түрінде жазуға болады.  Бұны дифференциалдасақ:
<р'(х) =  - Л
Г  
е
- {‘ - W s V f c  
+  л Г e {’ - s)
J -дг 
J x
х
 
оо
( р " { х ) -
 
Я J 
е  
(х 
S)(p{s)ds
 
+ Я | e(t  '
бұл  өрнектерден  <р"(х)-#/(х)+2Я<р(х) = 0  дифференциалдық  теңдеуін  аламыз. 
Бұл дифференциалдық теңдеудің шешімі
<р(х) = C,ex4V-2Я  + С2е  Wl  2Я,  1 -  2Я  >  0 , 
х) = С,  + С2х, Л  > ^ ; ^>(х) = С,  cos V2Я -  lx,l -  Я  < 0 .
Сонымен,  берілген  біртекті  интегралдық  теңдеудің  кез  келген  параметрінің 
монінде  нөлге  тең  емес  шешімі  бар  болады,  яғни  Л  параметрінің  кез  келген  мэні 
теңдеудің меншікті саны болады.
Фурье түрлендіруі  І-текті  интегралдық теңдеуді  шешу үшін де қолданылады:
[ '  
K( x, s) t p{ s)ds  =  f ( x \
 
(1 2 0 )
128