Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

8.   свойства функции
71
Например, на рисунке 8.2 изображен график функции  y
x
=
.  
Эта функция является возрастающей. На рисунке 8.3 изображен 
график  убывающей  функции  y = –x.  На  рисунке  8.1  изображен 
график функции, которая не является ни возрастающей, ни убы-
вающей.
П р и м е р    1   
 Докажите, что функция y = x
2
 убывает на промежут-
ке  (
; ].
−
×
0
Р е ш е н и е.   Пусть  x
1
  и  x
2
 — произвольные  значения  аргумен-
та из промежутка  (
; ],
−
×
0  причем x
2
 > x
1
. Покажем, что  x
x
2
2
1
2
<
,  
то есть большему значению аргумента соответствует меньшее зна-
чение функции.
Имеем: x
2
 > x
1
; отсюда –x
2
 < –x
1
. Обе части последнего неравенства 
являются неотрицательными числами. Тогда по свойству числовых 
неравенств можно записать, что (–x
2
)
2
 
< (–x
1
)
2
, то есть  x
x
2
2
1
2
<
.  
◄
Заметим, что в подобных случаях говорят: промежуток  (
; ]
−
×
0  
является промежутком убывания функции y = x
2
. Аналогично мож-
но доказать, что промежуток  [ ;
)
0
+
×
 является промежутком воз-
растания функции y = x
2
.
В задачах на поиск промежутков возрастания и убывания функ-
ции принято указывать промежутки максимальной длины.
Пример   2  
 Докажите, что функция f x
x
( )
=
1
 убывает на каждом 
из промежутков  (
; )
−
×
0  и  ( ;
).
0
+
×
Р е ш е н и е.   Пусть x
1
 и x
2
 — произвольные значения аргумента 
из промежутка ( ;
),
0
+
×
 причем x
2
 > x
1
. Тогда по свойству числовых 
неравенств 
1
1
2
1
x
x
<
.   Следовательно,  данная  функция  убывает  на 
промежутке  ( ;
).
0
+
×
Аналогично можно доказать, что функция f (x) убывает на про-
межутке  (
; ).
−
×
0
 
◄
Однако нельзя утверждать, что функция  f x
x
( )
=
1
 убывает на 
всей области определения, то есть является убывающей. Действи-
тельно, если, например, x
1
 = –2, x
2
 = 3, то из неравенства x
2
 > x
1
 не 
следует, что 
1
1
2
1
x
x
<
.

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
72
П р и м е р    3   
 Докажите, что линейная функция f (x) = kx + b явля-
ется возрастающей при k > 0 и убывающей при k < 0.
Р е ш е н и е.  Пусть x
1
 и x
2
 — произвольные значения аргумента, 
причем x
2
 > x
1
.
Имеем:
f (x
2
) – f (x
1
) = (kx
2
 + b) – (kx
1
 + b) = kx
2
 – kx
1
 = k (x
2
 – x
1
).
Поскольку x
2
 > x
1
, то x
2
 – x
1
 > 0.
Тогда если k > 0, то k (x
2
 – x
1
) > 0, то есть f (x
2
) > f (x
1
). Следователь-
но, при k > 0 данная функция является возрастающей.
Если k < 0, то k (x
2
 – x
1
) < 0, то есть f (x
2
) < f (x
1
). Следовательно, 
при k < 0 данная функция является убывающей. 
◄
1.  Какое значение аргумента называют нулем функции?
2.  Поясните, что называют промежутком знакопостоянства функции.
3.  Какую функцию называют возрастающей на некотором промежутке?
4. Какую функцию называют убывающей на некотором промежутке?
5.  Какую функцию называют возрастающей?
6.  Какую функцию называют убывающей?
Упражнения
8.1.° На рисунке 8.4 изображен график функции y = f (x), определен-
ной на множестве действительных чисел. Пользуясь графиком, 
найдите:
1)  нули функции;
2)  при каких значениях аргумента значения функции положи-
тельные;
3)  промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
0
2
4
2
1
–1
–1
–2
–3
3
x
y
1
0
2
1
–1
–1
x
1
y
Рис. 8.4
Рис. 8.5

8.   свойства функции
73
8.2.°
 На рисунке 8.5 изображен график функции y = f (x), определен-
ной на множестве действительных чисел. Пользуясь графиком, 
найдите:
1)  нули функции;
2)  при каких значениях аргумента значения функции отрица-
тельные;
3)  промежутки  возрастания  и  промежутки  убывания  функ- 
ции.
8.3.°
 На рисунке 8.6 изображен график функции, определенной на 
промежутке [–1; 4]. Пользуясь графиком, найдите:
1)  нули функции;
2)  при каких значениях x значения функции отрицательные;
3)  промежутки  возрастания  и  промежутки  убывания  функ- 
ции.
0
2
1
3
2
4
x
1
–1
–2
–1
0
2
1
x
y
1
–1
–5
–9
Рис. 8.6
Рис. 8.7
8.4.° На рисунке 8.7 изображен график функции y = f (x), опреде-
ленной на множестве действительных чисел. Какие из данных 
утверждений верны:
1)  функция убывает на промежутке  (
;
];
−
−
×
9
2)  f (x) < 0 при 
−5
1
m m
x
;
3)  функция возрастает на промежутке  [ ;
);
− +
2
×
4)  f (x) = 0 при x = –5 и при x = 1;
5)  функция  на  области  определения  принимает  наименьшее 
значение при x = –2?

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
74
8.5.°
 На рисунке 8.8 изображен график функции 
y = f (x), определенной на множестве действи-
тельных  чисел.  Пользуясь  графиком,  най-
дите:
1) нули функции;
2) значения x, при которых y < 0;
3) промежуток убывания функции;
4) область значений функции.
8.6.°
  Возрастающей  или  убывающей  является 
функция:
1) y = 9x – 4; 
3) y = 12 – 3x; 
5)  y
x
=
1
6
;
2) y = –4x + 10; 
4) y = –x; 
6) y = 1 – 0,3x?
8.7.° Найдите нули функции:
1) f (x) = 0,2x + 3; 
3) 
ϕ ( )
;
x
x
=
+ 3  
5) f (x) = x
3
 – 4x;
2) g (x) = 35 – 2x – x
2
; 
4)  h x
x
x
x
( )
;
=
− −
+
2
6
3
  6) f (x) = x
2
 + 1.
8.8.°
 Найдите нули функции:
1)  f x
x
( )
;
=
+
1
3
12  
3)  f x
x
( )
;
=
−
2
4  
5)  f x
x
x
( )
;
,
=
−
+
3 0 2
1
2) f (x) = 6x
2
 + 5x + 1; 
4) f (x) = –5; 
6) f (x) = x
2
 – x.
8.9.° Найдите промежутки знакопостоянства функции:
1) y = 5x – 15; 
3) y = x
2
 – 2x + 1;
2) y = –7x – 28; 
4)  y
x
=
−
9
3
.
8.10.°
 Найдите промежутки знакопостоянства функции:
1) y = –4x + 8; 
2) y = –x
2
 – 1; 
3)  y
x
=
+ 2.
8.11.
•
  Начертите  график  какой-либо  функции,  определенной  на 
множестве  действительных  чисел,  нулями  которой  являются 
числа: 1) –2 и 5; 2) –4, –1, 0 и 4.
8.12.
•
  Начертите  график  какой-либо  функции,  определенной  на 
промежутке [–5; 5], нулями которой являются числа –3, 0 и 3.
8.13.
•
  Начертите  график  какой-либо  функции,  определенной  на 
промежутке [–4; 3], такой, что:
1)  функция  возрастает  на  промежутке  [–4;  –1]  и  убывает  на 
промежутке [–1; 3];
2)  функция убывает на промежутках [–4; –2] и [0; 3] и возрас-
тает на промежутке [–2; 0].
0
1
x
y
1
–1
3
Рис. 8.8

8.   свойства функции
75
8.14.
•
  Начертите  график  какой-либо  функции,  определенной  на 
множестве действительных чисел, которая возрастает на про-
межутках (–
×; 1] и [4; +×) и убывает на промежутке [1; 4].
8.15.
•
 Постройте график функции  f x
x
x
x
x
x
x
( )
,
,
,
,
,
.
=
+
−
− < <
−
+





2
8
2
2
2
2
8
2
2
если
если
если
m
l
Используя  построенный  график,  укажите  нули  функции,  ее 
промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и про-
межутки убывания.
8.16.
•
 Постройте график функции  f x
x
x
x
x
x
x
( )
,
,
,
,
,
.
=
< −
−
>









4
4
4
1
1
1
1
если
если
если
m m
Используя  построенный  график,  укажите  нули  функции,  ее 
промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и про-
межутки убывания.
8.17.
•
 При каких значениях a функция y = x
2
 + (2a – 1) x + a
2
 + a имеет 
два нуля?
8.18.
•
 При каких значениях a функция y = x
2
 + 6x + a не имеет нулей?
8.19.
•
 При каком наибольшем целом значении n функция
 y = (8 – 3n) x – 7 
является возрастающей?
8.20.
•
 При каких значениях m функция y = mx – m – 3 + 2x является 
убывающей?
8.21.
•
  Функция  y = f (x)  является  убывающей.  Возрастающей  или 
убывающей является функция (ответ обоснуйте):
1) y = 3f (x); 
3) y = –f (x)?
2)  y
f x
=
1
3
( );  
8.22.
•
 Функция y = f (x) возрастает на некотором промежутке. Возрас-
тающей или убывающей на этом промежутке является функция 
(ответ обоснуйте):
1)  y
f x
=
1
2
( );  
2) y = –2f (x)?

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: