Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

85
10.  Как построить графики функций 
y
 = 
f 
(
x
) + 
b
 и 
y
 = 
f 
(
x
 + 
a
)
Упражнения Для пОвтОрения
9.19. Докажите тождество:
m n
m
mn
m
mn n
n
m
mn
m n
n m
n
−
+
+
−
+
−
−




+



 =
2
2
2
3
2
1
:
.
9.20. Упростите выражение:
1)  (
) ,
a b
−
2
 если  b a
l ;  
3) 
(
)
;
m
m
m
−
−
+
5
10
25
4
2
2)  c
c
2
6
9
+
+ , если  c l −3;  
4) 
x
x
x
2
6
2
1
1
−
+
−
(
)
,  если x < 1.
9.21.  Для  перевозки  45  т  груза  планировали  взять  автомобиль 
некоторой грузоподъемности. Однако из-за его неисправности 
пришлось взять другой автомобиль, грузоподъемность которого 
на 2 т меньше, чем первого. Из-за этого потребовалось сделать 
на 6 рейсов больше, чем было запланировано. Найдите грузо-
подъемность автомобиля, который перевез груз.
9.22. Какое наименьшее значение может принимать данное выра-
жение и при каком значении переменной:
1) (x – 6)
2
 + 3; 
3) x
2
 + 2x – 6;
2) (x + 4)
2
 – 5; 
4) x
2
 – 10x + 18?
УЧимся Делать нестанДартные шаги
9.23. Чтобы покрасить одну грань кубика, требуется 10 с. За какое 
наименьшее время 6 человек могут покрасить 101 кубик? (Два 
человека не могут одновременно красить один кубик.)
  10.
  как построить графики функций 
y
 = 
f 
(
x
) + 
b
  и  
y
 = 
f 
(
x
 + 
a
), если 
известен график функции
 y
 = 
f 
(
x
)
Покажем, как, используя график функции y = x
2
, можно постро-
ить график функции y = x
2
 + 2.
Составим таблицу значений этих функций при одних и тех же 
значениях аргумента.

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
86
x
–3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1
1,5
2 2,5
3
y = x
2
9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
y = x
2
 + 2 11 8,25 6 4,25 3 2,25 2 2,25 3 4,25 6 8,25 11
Эта таблица подсказывает, что каждой точке (x
0
; y
0
) графика 
функции y = x
2
 соответствует единственная точка (x
0
; y
0
 + 2) графика 
функции y = x
2
 + 2. А каждая точка (x
1
; y
1
) графика функции y = x
2
 + 2 
является соответствующей единственной точке (x
1
; y
1
 – 2) графика 
функции y = x
2
. Поэтому все точки графика функции y = x
2
 + 2 можно 
получить, заменив каждую точку графика функции y = x
2
 на точку 
с той же абсциссой и с ординатой, увеличенной на 2 (рис. 10.1).
Говорят,  что  график  функции  y = x
2
 + 2  получен  в  результате 
параллельного переноса
1
 графика функции y = x
2
 на две единицы 
вверх вдоль оси ординат.
y = x
2
y = x
2
 + 2
x
y
0
1
1
y = x
2
 – 4
x
y
0
1
1
y = x
2
Рис. 10.1
Рис. 10.2
Аналогично, график функции y = x
2 
– 4 можно получить в резуль-
тате параллельного переноса графика функции y = x
2
 на 4 единицы 
вниз вдоль оси ординат (рис. 10.2).
Рассмотренные примеры подсказывают, как можно, используя 
график функции y = f (x), построить график функции y = f (x) + b.
График  функции  y = f (x) + b  можно  получить  в  результате 
параллельного переноса графика функции y = f (x) вдоль оси орди-
нат на b единиц вверх, если b > 0, и на –b единиц вниз, если b < 0.
1
  Позже на уроках геометрии вы более подробно ознакомитесь с па-
раллельным переносом.

87
10.  Как построить графики функций 
y
 = 
f 
(
x
) + 
b
 и 
y
 = 
f 
(
x
 + 
a
)
x
y
0
1
1
x
y =
3
+
x
y =
x
y
0
1
1
x
y
1
=
1
−
x
y
1
=
Рис. 10.3
Рис. 10.4
На рисунках 10.3, 10.4 показано, как «работает» это правило 
для построения графиков функций  y
x
=
+ 3  и  y
x
= −
1
1.
Очевидно,  что  в  результате  параллельного  переноса  получаем 
фигуру, равную фигуре, являющейся графиком исходной функции. 
Например, каждый из графиков функций y = x
2
 + 2 и y = x
2 
– 4 равен 
параболе  y = x
2
.  Поэтому  графиками  функций  y = x
2
 + 2  и  y = x
2 
– 4 
также являются параболы.
Покажем,  как  можно  с  помощью  графика  функции  y = x
2
  по-
строить график функции y = (x + 2)
2
.
Пусть  точка  (x
0
;  y
0
)  принадлежит  графику  функции  y = x
2
,  то 
есть x
0
2
 = y
0
. Докажем, что точка (x
0
 – 2; y
0
) принадлежит графику 
функции y = (x + 2)
2
. Найдем значение этой функции в точке с аб-
сциссой x
0
 – 2. Имеем: ((x
0
 – 2) + 2)
2 
= x
0
2
 = y
0
. Следовательно, каждой 
точке (x
0
; y
0
) графика функции y = x
2
 соответствует единственная 
точка  (x
0
 – 2;  y
0
)  графика  функции  y = (x + 2)
2
.  Аналогично  можно 
показать,  что  каждая  точка  (x
1
;  y
1
)  графика  функции  y = (x + 2)
2
 
является соответствующей единственной точке (x
1
 + 2; y
1
) графика 
функции y = x
2
. 
Поэтому все точки графика функции y = (x + 2)
2
 можно получить, 
заменив каждую точку графика функции y = x
2
 на точку с той же 
ординатой и с абсциссой, уменьшенной на 2 (рис. 10.5).
Говорят,  что  график  функции  y = (x + 2)
2
  получен  в  результате 
параллельного переноса графика функции y = x
2
 вдоль оси абсцисс 
на 2 единицы влево.
Покажем,  как  с  помощью  графика  функции  y = x
2
  построить 
график функции y = (x – 2)
2
. Легко установить (сделайте это само-
стоятельно),  что  каждой  точке  (x
0
;  y
0
)  графика  функции  y = x
2
 

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
88
x
y
0
1
1
y = (x + 2)
2
y = x
2
x
y
0
1
1
y = (x – 2)
2
y = x
2
Рис. 10.5
Рис. 10.6
соответствует  единственная  точка  (x
0
 + 2;  y
0
)  графика  функции 
y = (x – 2)
2
 и каждая точка (x
1
; y
1
) графика функции y = (x – 2)
2
 яв-
ляется  соответствующей  единственной  точке  (x
1
 – 2;  y
1
)  графика 
функции y = x
2
. Поэтому график функции y = (x – 2)
2
 можно получить 
в результате параллельного переноса графика функции y = x
2
 вдоль 
оси абсцисс на 2 единицы вправо (рис. 10.6).
Эти  примеры  подсказывают,  как  можно,  используя  график 
функции y = f (x), построить график функции y = f (x + a).
График функции y = f (x + a) можно получить в результате па-
раллельного переноса графика функции y = f (x) вдоль оси абсцисс 
на a единиц влево, если a > 0, и на –a единиц вправо, если a < 0.
На рисунках 10.7, 10.8 показано, как «работает» это правило 
для построения графиков функций  y
x
=
+ 3  и  y
x
=
−
1
1
.
x
y
0
1
1
x
y
3
+
x
y =
x
y
0
1
1
x – 1
y
1
x
y
1
Рис. 10.7
Рис. 10.8

10.  Как построить графики функций 
y
 = 
f 
(
x
) + 
b
 и 
y
 = 
f 
(
x
 + 
a
)
89
Заметим, что графиками функций y = (x + 2)
2
 и y = (x – 2)
2
 являются 
параболы, равные параболе y = x
2
.
П р и м е р    1   
 Постройте график функции y = (x – 1)
2
 + 3.
Р е ш е н и е. 1) Построим график функции y = x
2
.
2) Параллельно перенесем график функции y = x
2
 вдоль оси аб-
сцисс  на  1  единицу  вправо.  Получим  график  функции 
y = (x – 1)
2
 
(рис. 10.9).
3) Параллельно перенесем график функции 
y = (x – 1)
2
 вдоль оси 
ординат на 3 единицы вверх. Получим график функции 
y = (x – 1)
2
 + 3
 
(см. рис. 10.9).
Описанный алгоритм построения представим в виде такой схемы:
y = x
2
вправо  
на 1 ед. 
 
y = (x – 1)
2
вверх  
на 3 ед. 
y = (x – 1)
2
 + 3
◄
x
y
0
1
1
y = (x – 1)
2
y
 
=
 
(x
 
–
 
1)
2
 
+
 
3
y = x
2
x
y
0
1
1
y =   (
x
 + 3)
2
1
2
y =   (x + 3)
2
 – 1
1
2
y =   
x
2
1 2
Рис. 10.9
Рис. 10.10
П р и м е р    2   
 Постройте график функции  y
x
=
+
−
1
2
3
1
2
(
)
.
Р е ш е н и е. 1) Построим график функции  y
x
=
1
2
2
 (рис. 10.10).
2) Параллельно перенесем график функции  y
x
=
1
2
2
 вдоль оси 
абсцисс на 3 единицы влево. Получим график функции 
y
x
=
+
1
2
3
2
(
)
 
(см. рис. 10.10).

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: