Оќулыќ Алматы 2005 Беркінбаев К. М
жүктеу/скачать 3,9 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2 мысал
- Негізі Аты Алфавит
- ЕСЕПТЕР 30 №2.3
- Ќосу.
- Бџтін сандарды љрнектеу.
- Бљлшек сандарды љрнектеу.
- Аралас сандарды љрнектеу
- ЕСЕПТЕР 38 № 2.29
БАЌЫЛАУ СЂРАЌТАРЫ ! 27 калыќ санаудыњ – біздіњ заманымызда да дамуы мџмкін екен. Матема- тиканыњ осы саласыныњ жетістіктері мен жѕне даму тарихымен танысу – мђѓалім џшін мањызды, себебі ќазіргі ќолданылып жџрген арифме- тикалыќ санау жџйесі барлыќ есептеу математикасыныњ негізі болып саналады. Сандарды бейнелеу ѕдісін жѕне оѓан сѕйкес сандарѓа ќолданыла- тын ережелер жинаѓы санау жџйесі деп аталады. Барлыќ санау жџйе- лері позициялы жѕне позициясыз болып екіге бљлінеді. Сандарды бейнелеуге ќолданылатын тањбалар цифрлар деп аталады. Позициясыз санау жџйесінде сандардыњ кљлемі берілген санныњ жазылу орнына байланыссыз. Римдік санау жџйесінде сандардыњ ор- нына латын ѕріптері ќолданылады. І V X L C D M 1 5 10 50 100 500
1000 1 мысал: ССХХХІІ саны екі жџздіктен, џш ондыќтан жѕне екі бірліктен ќђралады. Рим сандарында цифрлар солдан оњѓа ќарай кему тѕртібімен жазылады. Бђл жаѓдайда олардыњ мѕндері ќосылады. Егерде сол жаќта кіші цифр жазылып, оњ жаќта џлкен цифр жазылса, бђлар- дыњ мѕндері кемиді.
1 + 1 + 1 = 1998 Позициялы санау жџйесінде бір ѓана берілген цифр санныњ жа- зылуындаѓы орнына байланысты ѕр тџрлі мѕнді аныќтайды. Ќолданы- латын цифрлардыњ саны позициялыќ санау жџйесініњ негізі деп ата- лады.
Ќазіргі математикада ондыќ позиция жџйесі кењ тараѓан. Оныњ негізі болып он саны алынады, себебі кез келген санды осы он цифрлар арќылы жаза аламыз: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Бђл жџйеніњ позициялыќ сипатын келесі мысал жаќсы кљрсетеді. 333 деген санныњ жазылуында сол жаќтаѓы бірінші “3” цифры - џш жџздікті, екінші “3” цифры - џш ондыќты, џшінші “3” цифры - џш бірлікті белгілейді. 28 Позициялыќ жџйеде n – негізді санды жазу џшін n цифрдан тђра- тын алфавит керек. n – оннан кіші болѓан жаѓдайда (n<10), кљбінесе, бірінші он араб цифрларын ќолданады, ал n – оннан џлкен болѓанда (n > 10), он араб цифрларына ѕріптерді ќосып ќолданады. Мысалы:
Жџйеніњ негізін кљрсету ќажет болса, онда ол берілген санныњ тљменгі индексі ретінде жазылады. Мысалы: 101101 2
8 , 3В8F
16 Кез келген q негізді санау жџйесінде разряд бірліктері ретінде q саныныњ тізбектелген кљрсеткіштері ќолданылады. q негізді санау жџйесінде сандарды жазу џшін 0,1,. . . q –1 сандарын бейнелейтін ѕр тџрлі q белгісі ќажет. Берілген санды тљмендегідей љрнектеуге болады: Aq = ±(a n-1
q n-1
+ a n-2
q n-2
+ … + a 0 q 0 + a
-1 q -1 + a -2 q -2 + …+ a
-m q -m ). Мђндаѓы A q – берілген сан, q – есептеу жџйесініњ негізі, а і – санау
жџйесіндегі цифрлар, n – бџтін бљліктегі разрядтар саны, m – бљлшек бљліктегі разрядтар саны. 4 мысал: Ондыќ жџйедегі 32478; 26,387 сандарын љрнектењіз. 32478
10 = 3
× 10000 + 2 × 1000 + 4 × 100 + 7 × 10 + 8 = = 3 × 10 4 + 2 ҳ 10 3 + 4
× 10
2 + 7
× 10
1 + 8
× 10
0 26,387
10 = 2
× 10
1 + 6
× 10
0 + 3
× 10 -1 + 8 × 10 -2 + 7
× 10
-3 5 мысал: Берілген сандарды љрнектењіз: 112
3 , 101101
2 , 15FC
16 , 101,11
2 . 112 3 = 1
× 10
2 + 1
× 10
1 + 2
× 10
0 Негізі Аты Алфавит n = 2
Екілік 01 n = 3
012
n = 8 сегіздік 01234567 n = 16 он алтылыќ 0123456789ABCDEF џштік 29 101101
2 = 1
× 10
101 + 0
× 10
100 + 1
× 10
11 + 1
× 10
10 + + 0 × 10
1 + 1
× 10
0 . 15FC 16 = 1
× 10
3 + 5 ҳ 10 2 + F
× 10
1 + C
101,11 2 = 1 × 10
10 + 0
× 10
1 + 1
× 10
9 + 1
× 10
-1 + 1
× 10
-10 . Кез келген санау жџйесіндегі негіздіњ 10 болѓандыѓына кљњіл ауда- рыњыз. Ондыќ емес санныњ љрнектеп кљрсетілуіндегі барлыќ ќосындылар- ды ондыќ жџйеге салып, алынѓан љрнекті ондыќ арифметика ереже- лерін пайдаланып есептесек, онда нѕтижеде ондыќ жџйеде жазылѓан жѕне бастапќы берілген санѓа тењ сан шыѓады. Ондыќ емес жџйедегі сандар ондыќ жџйеде осы тѕсілмен љрнекте- леді.
љткізіњіз. 112 3
× 3 2 +1 × 3 1 +2
× 3 0 =9+3+2=14 10 101101 2 = 1
× 2 5 + 0 × 2 4 + 1
× 2 3 + 1 × 2 2 + 0
× 2 1 + 1 × 2 0 = = 32 + 8 + 4 + 1= 45 10 . 15FC 16 = 1
× 16
3 + 5
× 16
2 + 15
× 16
1 + 12 =
= 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 10 101 1 11 2 = 1 × 2 2 + 0
× 2 1 + 1 ҳ 2 0 + 1 × 2 -1 + 1 × 2 -2 = = 4 + 1 + 1/2 +1/4 = 5+ 0,5 + 0,25 = 5,75 10 .
Берілген рим цифрлармен ќандай сандар жазылѓан? МММD, ІV, ХІХ, МСМХСІVІІ? №2.2 Љзіњіздіњ туѓан кџніњізді, айыњызды, жылыњызды Рим цифрлары- мен жазыњыз.
30 №2.3 Ертеде Ресейде мынадай санау жџйесі ќолданылѓан делінеді. Бђл жџйеніњ кљмегімен салыќ жинаушылар салыќ тљлегені жайлы ќаѓаз- дарды толтырып отырѓан. Жазуда келесі тањбалар ќолданылѓан: жђлдыз – 1000 рубль, дљњгелек – 100 рубль, тік тљртбђрыш – 10 рубль, Х – 1 рубль, І І І І І І І І І І – он тиын, І – бір тиын. Осы санау жџйесін ќолдана отырып, 3452 рубль 43 тиынды жазып шыѓыњыз.
Ежелгі орыс жџйесімен ќандай сома жазылѓан? Х Х Х І І І І І І І І І І І І І ? №2.5 Љзіњіз позициясыз санау жџйесін ойлап табыњыз жѕне сол санау жџйесі арќылы 45, 769, 1001 сандарын жазыњыз.
Кейбір санау жџйелеріндегі сандар ѕр тџрлі геометриялыќ фигура- лар арќылы бейнеленеді. 2.1 суретте сондай санау жџйелерініњ бірне- ше сандары кљрсетілген: - 4 - 190 - 6 - 1900 - 19 2.1 сурет Келесі тџрдегі жазу ќандай санѓа сѕйкес келеді:
31 №2.7 Берілген амалдарды орындап, нѕтижесін рим цифрлары арќылы жа- зыњыз. ХХІІ – V; СV – LІІ; ІC + XІX; MCM + VІІІ; XX : V; X ҳ ІV; LXVІ : XІ; XXІV ҳ VІІ; №2.8 Берілген ондыќ сандарда 8 цифры ќандай љлшемді білдіреді: 6538; 8356,87 жѕне 831?
1 1 1 жѕне І І І сандарыныњ айырмашылыѓы туралы айтыњыз? №2.10 Бестік, жетілік жѕне он екілік санау жџйесініњ алфавитін жазыњыз? №2.11 Натурал сан ќатарыныњ бірінші 20 санын бестік, сегіздік, он алты- лыќ санау жџйелерінде жазыњыз.
Берілген сандарды љрнектењіз: А 10
8 = 25341; А 6 = 25341; А 16 = 25341; №2.13 Берілген сандарды љрнектењіз: А 10
8 = 125,34; А 6 = 125,34; А 16 = 125,34; №2.14 Берілген сандарды ондыќ санау жџйесіне ауыстырыњыз: А 9
8 = 341; А 6 = 341; А 16 = 341;
№2.15 Берілген сандарды љрнектењіз: А 10
= 5341; А 8 = 25,341; А 6 = 0,25341; А 16 = 341,54; №2.16 Берілген сандарды ондыќ санау жџйесіне ауыстырыњыз: А 5
3 = 221; А 7 = 120; А 16 = Е41А,12 ; 32 №2.17 Бір санау жџйесін ќолданып 10, 21, 201, 1201 сандарын жазатын болсаќ, бђл жџйеніњ ењ кіші негізі ретінде ќай санды алуѓа болады?
Бір санау жџйесін ќолданып 22,984; 1010, А219 сандарын жазатын болсаќ, бђл жџйеніњ ењ кіші негізі ретінде ќай санды алуѓа болады?
Бір санау жџйесін ќолданып 403, 561, 666, 125 сандарын жазатын болсаќ, бђл жџйеніњ ењ кіші негізі ретінде ќай санды алуѓа болады?
Ќандай санау жџйелерінде 10 саны – таќ болып келеді? №2.21 Kелесі тењдіктер ќай санау жџйелерінде аќиќат? 2 ×
2 = 10, 2 × 3 = 11, 3 × 3 = 13 ? 1.8. Екілік санау жџйесініњ негізі Негізі q = 2 болып есептелетін екілік санау жџйесі ењ кіші санау жџйесі болып есептеледі. Бђл жерде сандардыњ цифрлыќ тџрінде жа- зылуы џшін позициялыќ принцип ќолданады. Екілік санау жџйесінде ѕр цифрдыњ мѕні бір разрядтан келесі разрядќа љткен кезде екі есе кљбейеді. Екілік жџйеніњ ресми тџрдегі ашылуы Г.В. Лейбництіњ атымен бай- ланыстырылады. Ол 1703 жылы екілік сандармен арифметикалыќ опе- рациялардыњ орындалу ережелері жайлы Memorіes de L ’ Academіe Royale des Sіences атты маќала жариялады. Г.В. Лейбниц екілік санау жџйесін тѕжірибелік есептеулерде ќолдануѓа емес, тек теориялыќ мѕселелерді шешуде пайдалануды ђсынѓан. ХХ ѓасырдыњ 30-ы жылдарыныњ басына дейін екілік санау жџйесі ќолданбалы математикадан тыс болды. Ќђрылысына ќарай оњай ѕрі берік механикалыќ ќђрылымдардыњ ќажеттігі екілік санау жџйесін терењ зерттеуге себеп болды. Алѓашќы екілік есептеу машиналары Франция мен Германияда ќђрастырылды. Есептеу ќђрылымдарыныњ жобасын жасаѓан АЌШ-та тђратын инженер Дж. Атанасов деген бол-
33 гар болѓан. 1937 жылы электр магниттік негізінде екілік есептеуіш машинасын Дж. Штибиц ќђрастырды.
Екілік санау жџйесініњ арифметикасы ќосу кестесі мен цифрларды кљбейту кестесіне негізделген. Бђл кестелер тљменде кљрсетілген.
толып кетуі келесі разрядта бірдіњ пайда болуына келтіреді: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10;
сумматор болѓандыќтан, азайту амалы теріс тањбалы санды ќосу ама- лына келтіреді: 15 – 8 = 15 + (-8). Екілік санау жџйесінде азайту амалын ќолдану алгоритмі: 1) Теріс тањбалы санды ќосымша код белгісіне љткізу. 2) Ењ џлкен разрядтан љтетін бірге мѕн бермей, барлыќ разрядтарѓа екілік ќосу амалын ќолдану. 3) Ќосылѓан сандардыњ тањбалы разряды бірге тењ болып ќалѓан жаѓдайда (ал бђл ќосымша код тђлѓасындаѓы сол тањбалы нѕтиже алынѓанын кљрсетеді), ќосымшалардыњ екінші ќасиетін пайдаланып, нѕтижені тањбалы тђлѓаѓа љткізу. 13 – 15 = 13 + (-15). 1) –15
10 = 10001111 → 1110000 + 1 → 1110001 → 11110001. 2) + 0
1 х 0 1 0 1
0 1
1 1 0
0
1 0
0 0
1 11110011
111011 100101110 + 00001101
11110001 11111110 +
34 3) 1111 1110 → 000 0001 + 1 → 1000 0010 = 2 10 .
дасаќ, онда сумматор арќылы бірнеше рет ќайта ќосу амалына келтір- ілетін кљбейту амалын орындауѓа болады. Кљбейткіштіњ нљлдік пози- циясындаѓы сан бірге тењ болса, онда екінші кљбейткіш сѕйкес разряд- тардыњ астына ќайта жазылады. Келесі бірлерге кљбейту амалы ќосын- дысыныњ солѓа ќарай бір позицияѓа жылжуына келтіріледі. Кљбейткіштіњ саны (цифры) нљлге тењ болса, онда келесі ќосынды солѓа ќарай екі позицияѓа жылжиды. 15 10 !"13 10 = 195 10 = 11000011 2 = 1 ! 2
7 + 1 ! 2
6 + 1 ! 2
1 + 1 ! 2
0 = 195
10 .
далады. Алдымен бљлгіштіњ ќосымша кодын аныќтап алу ќажет. Бљлу амалы ќайта азайту жѕне жылжыту амалдары арќылы орындалады. Мысалы: 195 10 : 15 10 немесе екілік жџйеде 11000011 2 : 1111
2 . 1111 саныныњ ќосымша коды 11110001. Бірінші бљлінетін сан ре- тінде 11000 санын аламыз, љйткені бљлінетін сан ѕрќашан да бљлгіштен џлкен болуы керек. Бірінші бес разрядты алып, сол жаѓынан џш нљл ќосамыз. Жауабы: 00001101 2 = 13
10 . + + +
00001111 00001101 00001111 00001111
00001111 . 00011000011 00011000011 1111 11110001 1101 00010010 11110001 00001111 11110001 00000000 + + + 35 Содан соњ, бљлгіштіњ ќосымша кодымен ќосып, нѕтижеге бірді енгіземіз. Келесі бљлінетін сан кезекті цифр алынѓаннан кейін бљлгіштен кіші болса, онда нѕтижеге нљл енгізіледі де бљлінетін санѓа бастапќы бљлінетін саннан бір цифр тџсіріледі. 1.10 Ондыќ сандарды басќа санау жџйелерінде љрнектеу Бџтін сандарды љрнектеу. 1) Жања санау жџйесініњ негізін ондыќ санау жџйесінде љрнектеп берілген амалдардыњ барлыѓын осы ондыќ жџйеде орындау ќажет. 2) Берілген санды жѕне толымсыз бљлшектерді біртіндеп жања са- нау жџйесініњ негізінде бљлу ќажет. Бђл амалдарды бљлгіштен (жања санау жџйесініњ негізінен) кіші толымсыз бљлшек шыќќанша орындау ќажет. 3) Алынѓан ќалдыќтар берілген санныњ жања санау жџйесіндегі тџрін ќђрайды. 4) Соњѓы бљлшектен бастап, жања санау жџйесіндегі санды жазу керек.
10 санын екілік санау жџйесінде љрнектењіз. Шешуі: 37 2
36 18 2 18 9 2 a 0
a 1 =0 4 2 2 a 2 =1 2 1=a 5 a 3 =0 a 4 =0 Осыдан: 37 10 = 100101 2
10 санын сегіздік жѕне он алтылыќ санау жџйелерінде љрнектењіз. Шешуі:
Бђдан: 315 10 = 473 8 = 13В
16 шыѓады.
11 10 = В 16 екенін еске саламыз. 36 Бљлшек сандарды љрнектеу. 1) Жања санау жџйесініњ негізін ондыќ санау жџйесіне ауыстырып, келесі амалдардыњ барлыѓын ондыќ жџйеде орындау ќажет. 2) Берілген санды кљбейтіндініњ бљлшек бљлігініњ разрядтарыныњ мѕндері нљлге тењ болѓанша (берілген дѕлдік алынѓанша) бірнеше рет жања санау жџйесініњ негізіне кљбейту керек. 3) Алынѓан кљбейтінділердіњ бџтін бљліктері берілген санныњ жања санау жџйесіндегі тџрін ќђрайды. 4) Жања санау жџйесіндегі санныњ дђрыс бљлшегініњ разряд мѕндері ретінде ењ бірінші шыќќан бџтін бљліктен бастап соњѓы шыќќан бџтін бљлікке дейін алу керек.
жѕне он алтылыќ санау жџйелерінде љрнектењіз. Бђл жердегі вертикаль сызыќ санныњ бџтін бљлігін бљлшек бљлігінен ажыратады. Бђдан: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14
8 = 0,3
16 болады.
Аралас сандарды љрнектеу. Бђл процесс екі сатыдан тђрады. Бастапќы санныњ бџтін жѕне бљлшек бљліктері жеке-жеке сѕйкес алгоритмдер арќылы љрнектеледі. Нѕтижеде, жања санау жџйесін- дегі санныњ бљліктері џтір арќылы ажыратылады. 4 мысал: Ондыќ жџйесінде берілген 315,1875 санын екілік, сегіздік жѕне он алтылыќ санау жџйесінде љрнектењіз. Жоѓарыда ќарастырылѓан мысалды пайдаланып, тљмендегідей нѕти- же алынады: 315,1875 10 = 473,14 8 = 13В,3
16 . 0 1875 × 2 0 3750 × 2 0 7500 × 2 1 5000 × 2 1 0000 0 1875 × 8 1 5000 × 8 4 0000
0 1875 × 16
1 1 1250 875 3 000
37 № 2.22 Екілік санау жџйесін ќолданып, берілген сандарды ќосыњыз: а) 75 + 44 б) 158 + 36 в) 144 + 56. Жауабын ондыќ жџйеде љрнектеу арќылы тексеріњіз. № 2.23 Екілік санау жџйесін ќолданып, берілген сандардыњ айырымын есеп- тењіз: а) 75 – 44 б) –15 – 36 в) 14 – 56. Жауабын ондыќ жџйеде љрнектеу арќылы тексеріњіз.
Екілік санау жџйесін ќолданып, берілген сандарды бљліњіз: а) 75 : 5 б) 54 : 6 в) 56 : 14.
Берілген сандарды саќтауѓа ќажетті жады кљлемін аныќтањыз: а) 35 10
10 в) 1135
8 , г) 10AF 16 .
Ондыќ санау жџйесінде берілген бџтін сандарды џштік санау жџйе- сінде љрнектењіз. 1) 523; 65; 7000; 2307; 325; 2)12; 524; 76; 121; 56; №2.27 Ондыќ санау жџйесінде берілген бџтін сандарды сегіздік санау жџйесінде љрнектењіз. 1) 856; 664; 5012; 6435; 78; 2) 214; 89; 998; 653; 111; №2.28 Ондыќ санау жџйесінде берілген бџтін сандарды екілік санау жџйе- сінде љрнектењіз. 1) 0,654; 0,321; 0,6135; 0,9876; 2) 0,555; 0,333; 0,1213; 0,453.
38 № 2.29 Ондыќ санау жџйесінде берілген аралас сандарды екілік жѕне сегіздік санау жџйелерінде љрнектењіз. 1) 21,5; 432,5; 678,333 2)12,25; 97,444; 7896,2 №2.30 Ондыќ санау жџйесінде берілген аралас сандарды џштік жѕне бестік санау жџйелерінде љрнектењіз. 1) 345
→ А 5 , 0,125 → А 8 , 45,65
→ А 4 ; 2) 675
→ А 12 , 0,333 → А 3 , 23,15
→ А 5 жүктеу/скачать 3,9 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|