Љзгермейтін  (позициясыз)  жѕне  љзгеретін  (позициялы)  санау

82

“титло” тањбасы тек бір ѕріптіњ џстіне ѓана ќойылады) тџрінде жазыла-

ды. Мыњдыќтар да сол ѕріптермен љрнектеледі, біраќ алдына ?? тањба-

сы ќойылады.

Позициясыз жџйеніњ (позициялы жџйе ыѓыстыратындай) негізгі екі

кемшілігі бар: љте џлкен сандарды љрнектеудіњ жѕне оларѓа амалдар

ќолданудыњ ќиындыѓы. Сол себепті римдік жџйе љте сирек ќолданы-

лады. Ондыќ позициялы санау жџйесі кљпшілік ќабылдаѓан жѕне не-

ѓђрлым кењ тараѓан санау жџйесі болып есептелінеді. Бђл жџйе бірінші

рет арабтардыњ кљмегімен Џндістанда ойлап табылѓан, одан Таяу Шы-

ѓыс, Орта Азия мен Солтџстік Африка елдері арќылы Еуропаѓа жет-

кен. Мђнда да кез келген басќа позициялы санау жџйелеріндегі сияќты

ѕрбір цифр љзініњ орнына байланысты аныќталады. Мысалы, 1 цифры

1-ді білдіреді. 341 санында да жѕне 001 санында да бірлікті білдіреді.

Ал 14 санында ондыќты, 124 санында жџздікті білдіреді.

2.6. Екілік санаќ жџйесі

Екілік санау жџйесін жасаушылар – ќытайлыќтар. Атаќты матема-

тик Г.В. Лейбниц XVІІ ѓасырда кџрделі математикалыќ есептеуді же-

њілдету џшін екілік санау жџйесін тапќандыѓы туралы ѓалым – иезуит

Бувеге жазѓанда (сол кезде ол Ќытайда еді), Буве Лейбницке “екілік

санау жџйесін б.э.д. 3400 жылы Ќытайдыњ императоры Фо Ги тапќан

болатын”, – деп жазды.

 2.7 Аќпараттыњ љрнектелуі.

Компьютердіњ арифметикалыќ негізі

Компьютерлердіњ жђмыс істеу тѕсілдерін, оныњ берілген аќпаратты

ќалай ђѓатындыѓын тџсіну џшін, пайдаланушыныњ санаќ жџйелері ту-

ралы кейбір тљмендегі келтірілген ерекшеліктерді білгені жљн.

Санаќ жџйелері. Берілген санды кљрсету џшін ќолданылатын бел-

гілер жѕне ережелер жиыны санаќ жџйесі деп аталады.

Санаќ жџйелері тђрѓан орнына байланысты маѓынасын љзгертетін-

дер (позициялыќтар) жѕне љзгертпейтіндер (позициялыќ еместер) бо-

лып екіге бљлінеді.

Љзгеретін санау жџйесінде цифрдыњ маѓынасы оныњ орналасќан

позициясына байланысты љзгереді. Мысалы, 555.5 ќай позицияда тђру-

ына байланысты 5 цифрыныњ маѓынасы љзгеруде.

83

Љзгермейтін сандар жџйесінде цифрдыњ тђрѓан орны оныњ маѓына-

сын љзгертпейді. Мысалы, римдік сандыќ жџйелер. ХХХ санында Х -

ондыќ санныњ белгісі жѕне оныњ маѓынасы тђрѓан орнына байланысты

љзгермейді.

Компьютерлерде санды жазу басќа жџйелерге ќараѓанда жинаќы

жѕне есептеуге ыњѓайлы позициялыќ сандыќ жџйе ќолданылады.

Тарихи деректер бойынша ондыќ санау жџйесі ењ кљп тараѓан жџйе

болса да, онымен ќатар кљптеген сандыќ жџйелер осы кџнге дейін адам

љмірінде ќолданылып келеді. Мысалѓа, индейцтер – бестік – ондыќ ,

Европада – он екілік (дюжина), ал Ќытайда – бестік жџйелерді ќолда-

нады.

Негізінде кез келген сандыќ жџйе ќђруѓа болады. Сандыќ жџйеніњ

негізі ретінде кез келген бџтін санды, мысалы, 2, 3, 8 жѕне т.б. ќабыл-

дап, соларѓа сѕйкес екілік, џштік, сегіздік жѕне басќа да сандыќ жџйе-

лер ќђруѓа болады.

Љзгеретін сандыќ жџйеде кез келген негізге мынадай ќаѓида дђрыс

келеді: ќарастырылып отырѓан разрядтаѓы бірліктер алдыњѓы разряд-

тыњ  бірліктерінен  ќанша  есе  кљп  екенін  кљрсететін  сан,  сол  сандыќ

жџйеніњ негізі болып есептеледі. Сондыќтан, кез келген позициялыќ

сандыќ жџйеде тђрѓан санды тљмендегідей тџрде жазуѓа болады:

N

q

 = k

n

 q

 n

 + k

n-1

 q

n-1

 + ... + k

1

 q

1

 + k

0

 q

0

 +

+ k

-1

 q

 –1

 + k

-2

 q

 -2

 + ... + k

-m

 q

 -m

 + …,

(1)

Мђндаѓы

N

q

 - q - сандыќ жџйеде тђрѓан сан;

q - жџйеніњ негізі;

n - разрядтыњ нљмері;

k

n 

- ќарастырылып отырѓан разрядтыњ бірлік санына тењ

      коэффициент.

k

і

 ондыќ санаќ жџйесінде ќабылдайтын мѕндері 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, яѓни кез келген жџйеде k

і

 ќабылдай-

тын мѕні 0, 1 … q-1.

Мысалы, 35.72 - саны џшін, бђл коэффициент осы санныњ бір-бірінен

кейінгі цифрларыныњ мѕні, яѓни 3, 5, 7, 2.

35.72

(10)

=3

.

10

1

+5.10

0

+7

.

10

-1

+2.10

-2

немесе

6745

(10)

=6

.

10

3

+7.10

2

+4

.

10

1

+5

.

10

0

84

Ондыќ санаќ жџйесінде компьютерде информацияны љњдеу ыњѓай-

сыз, себебі есептеу машиналардыњ негізгі жђмысшы элементтері екі

позицияда ѓана болады: “Ќосылѓан”, “Айырылѓан” жѕне т.б.

Компьютерде мѕліметтерді екілік жџйеде љњдеу љте ыњѓайлы. Екілік

жџйеде санныњ кез келген разряды тек 0 жѕне 1 цифрларыныњ тізбегімен

љрнектеледі, ал мђндай цифрлардыњ физикалыќ моделін ќђру техни-

калыќ тђрѓыдан ќараѓанда љте оњай. Техникада кљптеген тетіктер екі

тиянаќты жаѓдайда болуы мџмкін. Мысалѓа, реле: контактылар ќосыл-

ѓан - модель - 1, айырылѓан - модель - 0.

Екілік санаќ жџйесініњ негізін 1850 ж. аѓылшын ѓалымы, матема-

тик Дж. Буль ойлап тапќан. Бђл жџйе екі цифрмен 0 жѕне 1 љрнекте-

леді. Бђл жџйеніњ тџбірі – 2.

100100 екілік санын мынадай тџрде жазуѓа болады:

100100

2

 = 1

.

2

5

+0

.

2

4

+0

.

2

3

+1

.

2

2

+0

.

2

1

+0

.

2

0

.

Екінші буынѓа жататын компьютерлерде сегіздік сандыќ жџйе де

ќолданылды. Бђл сегіздік санаќ жџйе, машинаѓа есепті баѓдарлама-

лауѓа дайындаѓанда, команданы жазу, машинаѓа енгізу џшін ќолданы-

лады.

Сегіздік сандыќ жџйеде тек 0-ден 7 дейінгі цифрлар ќолданылады.

2.8.  Берілген  санды  ѕртџрлі  санаќ  жџйелерінде  љрнектеу.

 a) Бџтін санды кљшіру ережесі. Ондыќ санды басќа санаќ жџйеге

кљшіру џшін оны жања жџйеніњ тџбіріне рет-ретімен бљліп, ќалѓан ќал-

дыќтарды аќырѓысымен ќоса, алынѓан тѕртібіне керісінше жазу ке-

рек.

Мысалы, 25 екілік сандыќ жџйеге кљшір

б) Бљлшек санды басќа жџйеге кљшіру ережесі. Санныњ бљлшегі

жања жџйеніњ тџбіріне кљбейтіледі. Кљшіру процесі џтірден кейін ќан-

85

ша  разрядќа  дейін  жџргізілу  керек  болса,  сонша  разрядќа  дейін

жџргізіледі.

Мысалы, 0.3125

(10)

Х X

(2)

Х0.0101

(2)

в)  Аралас  бљлшек  санды  басќа  жџйеге  кљшіру.  Аралас  бљлшек

сандарды басќа жџйеге кљшіру џшін алдымен бџтін сан, сонан кейін

бљлшек  сан,  жоѓарыдаѓы  кљрсетілген  ереже  бойынша  жања  жџйеде

љрнектеліп, нѕтижелер бірге  жазылады.

Мысалы, 25.5

(10)

ХX

(2)

Х11001.1

(2)

Кесте 1

Әр тџрлі љзгеретін сандыќ жџйеде сандарды жазу

Сегіздік жѕне екілік жџйелердіњ арасындаѓы байланыс. Прак-

тикада, баѓдарлама ќђрѓанда (џшінші буынды машиналарѓа дейін) ко-

манданыњ  нљмірін,  санныњ  адресін,  операцияныњ  кодын,  алѓашќы

мѕліметтерді жѕне т.б. сегіздік жџйеде љрнектеледі. Біраќ, компьютер-

лердегі  барлыќ аќпарат тек екілік жџйеде ѓана жазылады. Сондыќтан,

компьютерлерде арнайы ќђрал арќылы “триад” таблицасыныњ кљмегі-

16-лыќ 

q=16 

10-дыќ 

q=10 

8-дік 

q=8 

2-лік 

q=2 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

A 

B 

C 

D 

E 

F 

10 

11 

12 

13 

14 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

16 

17 

18 

19 

20 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

16 

17 

20 

21 

22 

23 

24 

0 

1 

10 

11 

100 

101 

110 

111 

1000 

1001 

1010 

1011 

1100 

1101 

1110 

1111 

10000 

10001 

10010 

10011 

10100 

86

мен информацияны сегіздік жџйеден екілік  жџйеге ауыстырады. Џлкен

сандарды екілік жџйеге ауыстыру љте џлкен есептеуді ќажет ететіндік-

тен, оларды алдымен сегіздік жџйеге, содан кейін “триад” таблицасын

ќолданып екілік жџйеге ауыстырѓан жљн.

Кез келген сегіздік жџйеде љрнектелген санды “триад” таблицасын

ќолданып оњай екілік жџйеге кљшіруге болады.

Кесте 2

Екілік “триад”

Мысалы, 245.37

(8)

 → 

X

(2)

Ауыстыру реті:

2

4

5

3

7

010

100

101

011

111

немесе

245.37

(8)

→

10100101.011111

(2)

Санды  екілік  жџйеден  сегіздік  жџйеге  кљшіру  џшін,  оны  џш-џш

цифрдан топ-топќа бљледі, ѕр бџтін санды топ-топќа бљлу џтірден солѓа

ќарай басталады да, ал бљлшек жаѓы џтірден оњѓа ќарай жџреді.

Бірінші жѕне ењ аќырѓы санды, џш цифрѓа толѓанша нольмен тол-

тырады да, ѕр џш цифрдаѓы топты сегіздік жџйеніњ цифрларына ауыс-

тырады. Мысалы, 11011101.1011

(2)

→

Х

(8)

011

011

101.

101

100

3

3

5

5

4

немесе

11011101.1011

(2)

→

335.54

(8)

Осындай  бірінен-біріне  механикалыќ  кљшіру  ретімен,  клавиш

(тетік) ќђрылысы арќылы перфоратор сегіздік жџйеде жазылѓан баѓ-

дарламаны екілік жџйеге ауыстырып компьютерге енгізеді.

Сегіздік 

Екілік (триадалар) 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

000 

001 

010 

011 

100 

101 

110 

111 

87

Екілік-ондыќ  кодтар  (жџйелер).  Екілік-ондыќ  кодтар  аралыќ

жџйе болып есептелінеді. “Тетрада” таблицасыныњ кљмегімен, арнайы

ќђрылыстар, ондыќ сандарды клавиатурамен терген кезде екілік-он-

дыќ кодтарѓа айналдырады да, ал машинаныњ љзі бђл кодттарды екілік

жџйедегі сандарѓа кљшіреді.

Машина есептік ќорытындысын екілік жџйеде алады да, оны екілік-

ондыќ кодтарѓа кљшіреді. Бђдан кейін арнайы ќђрылыс аяќќы ќоры-

тындыны  кѕдімгі  ондыќ  жџйеге  кљшіреді.  Мысалы,  мына  санды:

2795

(10)

→

X

(2-10)

, екілік-ондыќ кодта жазайыќ.

Кесте 3

Екілік тетрад

(2)

Екілік-ондыќ кодтаѓы љрнек екілік жџйедегі сандарѓа сѕйкес емес.

Санды  екілік-ондыќ  кодтан  ондыќ  жџйеге  кљшіру  жоѓарыдаѓы

тѕртіпке сѕйкес.

Мысалы,

100 100

1001001.

000

11001

(2-10)

→

X

(10)

00010010

0100

1001

0001

1001

1

2

4

9

1

9

немесе

100100 1001001. 00011001

(2-10)

→

1249.19

(10)

Екілік жџйедегі арифметикалыќ операциялар. ЭСЕМ-де ариф-

метикалыќ ѕрекеттер ќалай жџргізіледі? Бђл сђраќќа жауапќа беру џшін,

екілік жџйеде арифметикалыќ операциялар ќалай жџретінімен таны-

сайыќ. Себебі компьютерде арифметикалыќ ѕрекеттер негізінде екілік

жџйеде жџреді.

Цифрлар 

Кодтар 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

0000 

0001 

0010 

0011 

0100 

0101 

0110 

0111 

1000 

1001 

5

0101

9

1001

7

0111

2

10

10

2795

→

















88

ЭСЕМ жасалмай тђрып, 1850 ж. аѓылшын математигі Дж.Буль екілік

алгебраны ќђрастырып шыќты (Ќазіргі кезде бђл алгебраны, матема-

тикалыќ логика деп атайды).

Кесте 4

Екілік сандардыњ арифметикасы

Сегіздік  сандардыњ  арифметикасы

Ќосу  кестесі

Кљбейту  кестесі

Екілік жџйеде ѕр тџрлі арифметикалыќ операцияларды орындау џшін

мына ережелерді білу керек.

Ескерту: бірнеше ќатар сандарды ќосу тѕсілі кљбейту амалын орын-

дау џшін ќажет.

Азайту амалын орындаѓанда, кљрші разрядтан ќарызѓа алынѓан бір

кіші разрядта екі бір болып ауыстырылатынын, ѕрќашан еске алу ке-

рек.

Егер  кљрші  разрядттарда  нљлдер  болса,  онда,  кљптеген  жоѓарѓы

нљлдік разрядттан кейін, бірді ќарызѓа алуѓа тура келеді. Мђндай уаќыт-

 

 

 

 

0 + 0 = 0 

0 + 1 = 1 

1 + 0 = 1 

1 + 1 = 10 

0 – 0 = 0 

1 – 0 = 1 

1 – 1 = 0 

10 – 1 = 1 

0 x 0 = 0 

0 x 1 = 0 

1 x 0 = 0 

1 x 1 = 1 

Ќосу ережесі                             Алу ережесі                  Кљбейту ережесі

 

 1     2     3     4     5    6     7 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

 2     3     4     5     6    7    10 

 3     4     5     6     7   10   11 

 4     5     6     7    10   11   12 

 5     6     7    10    11  12   13 

 6     7    10    11   12   13   14 

 7    10    11   12    13  14   15 

10   11    12    13   14   15   16 

 

 1     2     3     4     5    6     7 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

 1     2     3     4     5    6     7 

 2     4     6    10   12   14   16 

 3     6    11   14    17   22   25 

 4    10   14    20   24   30   34 

 5    12   17    24   31   36   43 

 6    14   22    30   36   44   52 

 7    16   25    34   43   52   61 

89

та барлыќ жоѓарѓы нљль разрядтарда бір-бірден бір болады да, ал  кљрші

ењ кіші разрядта екі бір болады.

Мысалы:

Кљбейту ережесі бойынша, нљльге кљбейткенде ѕрќашанда нљль бе-

реді де, ал бірге кљбейткенде сан љзгермейді. Сондыќтан да, кљп орын-

ды санды екілік жџйесінде кљбейту тек сан ќатарын оњѓа немесе солѓа

жылжытып, бір ќатарѓа сатылай жазып, ќосу амалын орындаса болѓа-

ны. Мысалѓа, 10ҳ13=130.

Бљлу амалын орындауда кљбейту жѕне алу ережесі ќолданылады.

Мысалы, 235:10=23.5; 235

(10)

→

11101011

(2)

; 10

(10)

=1010

(2)

????????

Бљлу амалыныњ дђрыс орындалѓанын тексерейік:

1011.1

(2)

→

1

.

2

4

+0

.

2

3

+1

.

2

2

+1

.

2

1

+1

.

2

0

+1

.

2

-1

=23.5

(10)

Ќазіргі  кезде  барлыќ  халыќ  шаруашылыѓы  салаларында  дербес

компьютерді кењ ќолдануѓа байланысты компьютерлерде  есеп шыѓару

жђмысында жањаша љзгерістер пайда болды. Бђрынѓы буындаѓы ком-

пьютерлерге  ќажетті  кейбір  дайындыќ  жђмыстары,  атап  айтќанда:

мѕліметтерді љњдеуге дайындау, оларды тасыѓыштарѓа (перфокартар-

1

.

10111

1010

1010

11101011

−

90

ларда, перфоленталарда, оперативтік жадыда т.б.с.с.) ќалай жазыла-

тын, ќалай оќылатын, машинаныњ информацияны ќалай ђѓатын, ин-

формацияны кодтау; “тура”, “керісінше” жѕне “ќосымша” кодтау жол-

дары,  машинада  кодтармен  арифметикалыќ  амалдарды  орындау

тѕсілдері, компьютердіњ физикалыќ жђмыс істеу принциптері т.б.с.с.

таќырыптар кітапта ѕдейі ќарастырылмайды. Себебі, бџгінгі компью-

тер пайдаланушыларѓа, оныњ ішінде ауыл шаруашылыѓы мамандары-

на, бђл таќырыптарды оќудыњ келешек жђмыстарына ќажеті шамалы.

Кесте 5

2 саныныњ дѕрежелері

Кесте 6

2 саныныњ дѕрежелері

N 

2

n

 

N 

2

n

 

n 

2

n

 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

1 

2 

4 

8 

16 

32 

64 

128 

256 

512 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

16 

17 

18 

19 

1 024 

2 048 

4 096 

8 192 

16 384 

32 768 

65 536 

131 072 

262 144 

524 288 

20 

21 

22 

23 

24 

25 

26 

27 

28 

29 

1 048 576 

2 097 152 

4 194 304 

8 388 608 

16 777 216 

33 554 432 

67 108 864 

134 217 728 

268 435 456 

536 870 912 

Кесте 7

8 саныныњ дѕрежелері

n 

2

n

 

n 

2

n

 

N 

2

n

 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

-7 

-8 

-9 

-10 

0.5 

0.25 

0.125 

0.0625 

0.03125 

0.015625 

0.0078125 

0.00390625 

0.001953125 

0.0009765625 

-11 

-12 

-13 

-14 

-15 

-16 

-17 

-18 

-19 

-20 

0.00048828125 

0.000244140625 

0.0001220703125 

6.103515625E-05 

3.0517578125E-05 

1.52587890625E-05 

7.62939453125E-06 

3.81469726562E-06 

1.90734863281E-06 

9.53674316406E-07 

-21 

-22 

-23 

-24 

-25 

-26 

-27 

-28 

-29 

-30 

4.76837158203E-07 

2.38418579102E-07 

1.19209289551E-07 

5.96046447754E-08 

2.98023223877E-08 

1.49011611938E-08 

7.45058059692E-09 

3.72529029846E-09 

1.86264514923E-09 

9.31322574615E-10 

n 

8

n

 

N 

8

n

 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

1 

8 

64 

512 

4096 

32 768 

6 

7 

8 

9 

10 

262 144 

2 097 152 

16 777 216 

134 217 728 

1 073 841 824 

91

Кесте 8

8 саныныњ дѕрежелері

Кесте 9

16 саныныњ дѕрежелері

Кесте 10

16 саныныњ дѕрежелері

Кесте 11

Ќосу  кестесі

n 

8

n

 

N 

8

n

 

-1 

-2 

-3 

-4 

0.125 

0.015625 

0.001953125 

0.000244140625 

-5 

-6 

-7 

-8 

3.0517578125Е-05 

3.81469726562Е-06 

4.76837158203Е-07 

5.96046447754Е-08 

n 

16

n

 

N 

16

n

 

0 

1 

2 

3 

1 

16 

256 

4069 

4 

5 

6 

7 

65536 

1048576 

16777216 

268435456 

n 

16

n

 

N 

16

n

 

-1 

-2 

-3 

-4 

0.0625 

0.00390625 

0.000244140625 

1.52587890625Е-05 

-5 

-6 

-7 

-8 

9.53674316406Е-07 

5.96046447754Е-08 

3.72529029846Е-09 

2.32830643654Е-10 

92

Кесте 12

жүктеу/скачать 3,9 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: