Байланысты: Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s
§ С. Приложение определенного интеграла
317 *1
Р = \ J ( x{ t )y ' (t ) - y(t)x'(t))dt. (
6
)
to
Если фигура Ф не выпукла, но ее можно с помощью прямых, параллельных оси Оу, раз
бить на выпуклые части, то к каждой такой части применимы формулы (4)—(
6
). Складывая
полученные результаты, опять придем к формулам (4)—(
6
), справедливым для вычисления
площади всей фигуры Ф.
С.З. Вычисление объемов тел.
О п ред елен и е. Пусть / : [а, Ь] —<• К, / £ С'[а, Ь]. Тело Т , образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции Ф, ограниченной графиком функции f , отрезками прямых х = а, х = b и сегментом [а, Ь] оси Ох, будем называть телом вращения. Теорема 1. Тело вращения Т кубируемо и его объем можно вычислить по формуле ь а
Рассмотрим тело Т, содержащееся между плоскостями х = а и х — Ъ. Предположим, что
всякое сечение Ф(х) тела Тплоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке х £ [о, Ь], есть
квадрируемая плоская фигура, площадь которой -Р(х) нам известна.
Теорема 2. Если тело Т кубируемо, а функция Р и м Р{х:), а ^ х ^ Ь, интегрируема на [а,
6
], то объем V тела Т можно вычислить по формуле V = /
Р ( х ) dx. а
(
2
)
Найти длины дуг кривых у, заданных в пространстве R2:
1 1 3 . у = {(:с, у) £ К
2
: у2 = 2рх, 0
^ х ^ жо, р > 0
}.
■4 Применим формулу (4), п. 6.1, приняв во внимание симметрию множества точек
{М(х, у) 6
R ' :
0
х хо, у 2
= 2рх} относительно оси Ох\ 1 = 2 Л/ 1 + 7
.К О
Ъ ' Ч \ / р + (\/
2
х
)2
л/
2
ж
dx = 2 / у р V3XQ i + (V2x)2 d(V2x) = 2
J \Jp + t2 dt = { t \ / p +
t2
+
p ln(< +
\ J p +
t 2 ) ) = 2 y x 0 ^xo + 0
+ p In
л/хо + y/xo + |
y ± _ 1
4
2
◄ В качестве переменной интегрирования возьмем у. Формула (4), п. 6.1, принимает вид
1 1 4 . у = <{ (х, у) £ К 2 : х = — - - In у, 1 ^ у I = j y/l + х'2(у) dy = J J 1
+
\ ( j
-
dy. Следовательно,
l = i/o-
у
