336 § 8. Интеграл Стилтьеса 8.1. Верхний и нижний интегралы С тилтьеса. Критерий интегрируемости.
Пусть / : 3 —г R, J = [о, Ь], — ограниченная на сегменте 3 функция, а : 3 —>
■
К
— неубывающая на этом сегменте функция, П = {а = хо, xi, ... , х п = 6} — произвольное
разбиение сегмента J . Образуем верхнюю и нижнюю интегральные суммы
Гл. 4. Определенный интеграл n —1
n —
1
Sn( f , «) =
Mi A«i,
Sn( f , «) =
Да,',
i=0
i=0
где
Mi =
sup
{/(x)},
nii = inf
{/(x)}, Ao;i = or(xi+i) —
•+1
и введем в рассмотрение числа
J fdai = inf ( Sn( f , a)},
f d n = sup{Sn(/, a)},
J {n}
-
которые называются соответственно верхним и нижним интегралами Стилтьеса. О п ред елен и е. Если f f da = f f da, то общее значение верхнего и нижнего интегралов назовем интегралом Стилтьеса функции / по функции а (или относительно функции а )
и обозначим его ь J f( x) da( x) . а
Множество всех функций / , интегрируемых по Стилтьесу относительно функции а на
сегменте [«, Ь], обозначим / € S(cv)[a, Ь].
Из этого определения следует, что при «(х) = х интеграл Стилтьеса совпадает с интегра
лом Римана функции / на сегменте 3 . _
В общем случае функция а может быть разрывной на 3 . Функцию cv называют инте грирующей функцией. Теорема(критерий интегрируемости).
/ € .S’(tv)[a, 6] -Ф> Ve > О ЭП : 0 ^ 5 п (/, «) — 5 п (/, о) < е.
8.2. И нтеграл С тилтьеса как предел интегральной суммы.
Пусть П — произвольное разбиение сегмента 3 , <^(П) = шах Аас, . На каждом сегменте
[х;, x.-fi] возьмем произвольную точку С и образуем сумму
П —1
•Ьп(/, «) = У 1/($.-) Аог,-,
,=о
которую назовем интегральной суммой Стилтьеса. Полагаем liui Sai f, cv)d= f , если
< ( ( П ) ~ 0
Ve > 0 38 > 0 : УП
А
с?(П) < 6 |5 п (/, cv) - J\ < £•
Теорема. Если: 1) при <2(П) ^ 0 3 1шг5п(/, «), то / € S(«)[a, 6] и lim Sa (/,
d(n)_o
f ( x) da(x); a
