); § 7. Н аправление выпуклости графика функции. Точки перегиба 7.1. Выпуклость граф ика функции.
О п ред елен и е. Говорят, что график дифференцируемой в интервале ]а, Ь[ функции / :
]о, Ь[ —f R млеет на нем выпуклость, направленную вниз (вверх), если он лежит в пределах указанного интервала не ниже (не выше) любой своей касательной. Теорема. Достаточным условием выпуклости графика функции вниз (вверх), если функ ция всюду на интервале ]а, Ъ[ имеет конечную вторую производную, является выполнение неравенства f "( x) ^ 0 (f " ( x ) ^ 0) при а < х < Ь. 7.2. Точки перегиба.
О п ред елен и е. Точка Мо(хо, уо) графика функции f , имеющего касательную, называ ется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки хо оси абсцисс, в пределах которой график функции f слева и справа от хо имеет разные напра вления выпуклости. Теорема. Точка Мо(х0, f(xo)), для которой либо f " ( x 0) = 0, либо /"(хо) не существу ет, есть точка перегиба, если f " ( x ) меняет знак при переходе через точку хо- Найти промежутки выпуклости определенного знака и точки перегиба графиков следую
щих функций:
108. / : х За;2 — х3, х € М.
◄ Вторая производная f " ( x ) = 6(1 — х) положительна при х < 1 и отрицательна при
х > 1. Следовательно, согласно теореме пункта 7Л, на интервале ] — оо, 1[ график функции /
имеет выпуклость, направленную вниз, а на интервале ]1, +оо[ — выпуклость, направленную
вверх. Согласно определению пункта 7.2, точка Мо (1, 2) есть точка перегиба графика. ►
109. / : г и / (х > 0). ◄ Поскольку вторая производная f " ( x ) = хх ((In х + I)2 + 1) > 0 при х > 0, то, согласно
теореме п. 7.1, график данной функции имеет выпуклость, направленную вниз. ►
