Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

t 9. Формула Тейлора
179
Действительно, представляя tgx в виде sin х(cosх) 
1
и используя разложения II—IV, полу­
чаем
2
i__ 
J 
ч 
3 
с 
3 
7 
А \
tg х — sin х
(1
— sin i )
2
= sin x + — sin x + — sin 
x 
+ — sin x + o ( x ) =
8
x
3
x
5
x7
1
(  
x
3
, x
6 
~ * _ ¥ + 5Г_ 7Г+ 2
Г
¥
+ 5Г
+ x -
3!
, 
0
7 , 
, 8 ч
+ — X +o ( x ) =
17
= x + T + TEx5 + i k x7+0^
 
x - ° >
что и требовалось доказать. Используя эту формулу, а также упомянутые разложения, полу­
чаем
. , . 
. 
. , 
. 
. 
sin
3
х 
2 . 5
1 7 . 7 
tg3x
У = tg (sm х) - sm(tg х) = sm х Н---- ------1- — sm х + — sm х - tg х + 
-----
t g 6x 
t g 7x 
8 
X3 
Xs 
х 7 
1 /
I 3 , * 8 \ , 
2 /
x 3 i
—
+ —
+ 0 (X ) =
-
I * - ¥ + - U
- f x - ¥
) 
+
5!
, 1 7 r 
2 5 
17
7 ^ 1 /
, I
3
, 
2
5
+ 315* ~
Y ~ 15х - Ш Х + б [ Х + Т + Т5Х
+ T
+ ^ + °(x ) = ™ + Ф )> 
Z — °>
откуда 
C x n
=
Следовательно, 
C
=
n =
7 . ►
1 4 8 .
y =
 
(l + x)x - l .
■4 Применяя разложения I и V, получаем
у =
1 = х ln(l + x) +
o(x 
) = x ( x — — +
o(x 
) ) + o(x ) = x + 
o(x 
), 
X - I -
0.
Итак, 
C x n = 
x2. Следовательно, 
C = 1, n — 2. ►
1 4 9 . y = i -
( 1
+ I I f -.
e
4  Используя формулу м” = e”ln 
и > 
0
, а также разложения V и I, находим 
У = 1 — ехр 
ln(l + х) - l | = 1 - exp 
^х -
+ о(х2)^ 
^ =
=
1
- exp | - | + о (х ) | =
1
“ ( l “ § + °(х)) + °(Х) ~  | + 0(х)> х 
0;
у-(
П __
X 
у - . 
1
Сх = 2 ’ 
С = 
2
’ 
n = 1 *
1 5 0 .
Подобрать коэффициенты А и В так, чтобы при х —►
0
было справедливо равен-
ctgx =
1 + Ах2
4  Имеем
c t g x =
х + В х 3 
cos х 
1 + А х 2
+ 0 ( х 5).
в ^ + ° (х
sm х 
х + .
откуда (х + Вх3) cos х = (1 + А х 2) sin х + 0 ( х 7). Используя разложения II и III, получаем
О
: -I- В х 3) ( l -
+ | г + 0 ( х 6)^ = (1 + А х 2) ( х -  у +
+ 0 (х 7)^ + 0 (х 7),
откуда
- | г +
+ 0 (х 7) + В х 3 - В ^ = X - ^
^
+ 0 (х 7) + Ах
3
- £ х
5
+ 0 ( х 7).
120

Следовательно, 
- ± + 
В = 
А - \ ,  
^ -
f
= п» 
-
откуда 
А = - \ ,
В =
- ± .  ►
151. 
При каких коэффициентах А, В, С и D справедлива при х —
* 
0
асимптотическая 
формула
1 + Ах + В х 2
180 
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
е
1
-f- Сх 
Dx 2
+
0
(s )?
◄ Имеем
ех(1 +
Сх 
+
Dx2) 
= 1 +
Ах 
+
В х 2 
+ 0 ( я 5).
Поскольку 
=
1
+
+ 
0 ( я 5), то из (
1
) получаем
(
х2 
я 3 
х 4 
\
( 1 + х + — + — + — + 
0
(я5) J 
(1
+ Сх + Dx2) =
1
+ Ах + В х 2 +
0
(я5), 
откуда, записывая в разложении члены до х4 включительно, находим
( 1)
С
D
О
4
1 + Сх + Dx + х + Сх + Dx + — + —х -+- — х + — + —х + — = 1 + Ах + В х 2 + 0 ( х ).
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим к системе урав­
нений:
с + 1 = д
c + | + i = o, с + с + 1 = в. 
f + 2 + i = o,
решив которую, получаем
А =
В =
1_
1 2
’
с = — ! ,
D 
2
Jj_ 
12
'
1 5 2 .
Считая |;г| малой величиной, вывести простые приближенные формулы для следу­
ющих выражений:
3 /
1
+Д 
з 
/1
—
х 
ф
g.\ 
1
и 
2
а)
б)
1 - 3 , -
V
1 + 1 ’ 
|п ( 1 + _ £ _ \ ‘
Г ю о /
◄ а) Пользуясь разложением IV, получаем
1
+ я 
1
— х
1
- х
I
_ i
i
_ i
— — = (1 + я ) з ( 1
- х )
3
- (1 - я ) 3 ( 1 + я ) 3 =
1
-f“ ж
= (! + 
I х 
~ 
I х2 +
°(х2)) (*+ 5х + 
\%2 +
°(х2)) "
- ( ! -
- I х2 + Ч * 2)) (! - \ х +
+ °(х2)) = \ х + о{х2) и |* .
б) Применяя разложение V, приходим к приближенной формуле
In 2 
_ ______ 1п_2______ __ 100 In 2 _ 70
l n f l + — ) 
Л
_____— 4 - o I r 2 1 ~
Я 
~
X '
1 5 3 .
Вектор-функцию f : i n ( — , —-—, arctgx') , я 
€
R\{0, —2}, разложить по целым
\ я я +
2
/
положительным степеням бинома я — 
1
до члена с (я — I
)2
включительно.
◄ Искомое разложение может быть получено в результате применения формулы Тейлора 
для вектор-функции (см. пункт 9.4):
f (я) = f (
1
) + f'(l)(x -
1
) + i f" (l)(x - l
)2
+ R 3.
Поскольку f ( l) = (l, f, f ); f '( l) = (- 1 , f , j ) ; f " (l) = (2, 
- § ) ,
to
f(.) = (
1
. J. j) + (-■• 
1
1) (• - 4 + ( i . 4 ) (• - П2 + a.,
где 
R -з 
— остаточный член в какой-либо форме. ►

181
§ 9. Формула Тейлора
Упражнения для самостоятельной работы
Разложить по формуле Тейлора следующие функции:
330. / : ж н-►
(sin x )sm*, х > 0, в точке хо = 1 до члена с (х — I) 2 включительно. 
Остаточный член взять в форме Пеано.
331. / : х I—►
tg (х 4- х2) в точке хо = 1 до члена с (х — I)2 включительно. Остаточный 
член взять в форме Пеано.
332. f : х ь-*■ 
х > 0, в точке хо = 1 до члена с (х — I) 3 включительно. Остаточный 
член взять в форме Пеано.
333.
/ : 
х
ь-t- 
хе~х 
, 
х g R, в точке хо 
= 2 
до члена с (х 
— 
2)2 включительно. Остаточный 
член взять в форме Лагранжа.
334. / : х и ! arctg х, х g R, в точке хо = 1 до члена с (х —I)2 включительно. Остаточный 
член взять в форме Коши.
335. / : х !-*■ л/1 — х2 arcsin х, |х| < 1, в точке хо = 0 до члена с х5 включительно. 
Остаточный член взять в форме Пеано.
336. 
f : х I—►
(cos(sinx), sin(cosx), eslna:), x g R, в точке x0 = 0 до члена с х4.
337. 
f
:
i h
(/Д х ), h ( x )> h ( x )) в точке х0 = 0 до члена с х5, где
= 
ГГ. 
* # 0 ,
/i(0 ) = 2;
-> х Ф 0, /
2
(
0
) = - j ; / 3(х) = arsh.x.
/*(*) =
Пользуясь локальной формулой Маклорена, получить разложения по целым положитель- 
ным степеням х до членов наибольшего или указанного порядка включительно следующих 
функций:
338. / : х
х6 sin 
х ф  0,
0 , 
х
= 0 .
339. / : х I—►
с ‘ 
Справедливо ли разложение
—
= 1 + х 3|х| + | - + . . . + 2 -
+ о(х4п)?
340. / : х I
е х'
0
,
* ^
(до члена 
х = 0
с х 10).
Справедливо ли разложение
_L 
1
1
1
е 
*2
=
1
----- + —---- +
1
-
1
Г -_____ -___ Ь
х2 
2х4 
’ «! х2п +
• Ш 7
X —►
У , х = 21 — t2, у = 3< — I
3
(до члена с х3).
X —►
У, х =
2
< + sin<, к = <е‘ (до члена с х3).
X — Y,  х = t — i2, у — 4< — I
4
(до члена с х3). 
з
/7
+ к — х =
0
(до члена с х6).
Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, получить раз­
ложения по целым положительным степеням х до членов указанного порядка включительно 
следующих функций:
f хх 
, х 
ф 
0
,
( 
1
, 
х =
0
346. f \ Х —г Y, х
4
+ у
4
-fsinxy =
1
(до члена с х
3
на отрезке [—
1
, 
1
]).
347. / : х I—►
х > 0. Справедливо ли разложение
=
1
+ xV ? + ^
+ ■. ■
+
0
< ^ < хл/х?
348. Пусть / : х ы- cos(£>(x)), где П — функция Дирихле. Справедливо ли разложение
cos(D(x)) =
1
- ^
^
- .. . + ( -
1
) " ^
+ Я
2
п+
2
(х)?
341. /
342. /
343. /
344. /
345. / : х
(до члена с х 2

182
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Найти выражение для R 2n+
2
{x).
Подобрать коэффициенты А, В , С таким образом, чтобы при i -* 
0
справедливы были 
следующие асимптотические равенства с наиболее возможным их порядком точности (уста­
новить этот порядок относительно х):
349. arctg х = f±|f^- + 0*(xn). 350. arcsin х =
^ + 0 *(xn).
351. ln(l + x) = ^ ^ + 0*(xn). 352. 
+ 0 * ( x n).
353. (1 + x )* =
1+? ^ * 2
+ 0*(xn). 354. arshx = f j g f r + 0* (x n).
Оценить абсолютную погрешность приближенных формул:
355. cosx ~ 1 — %■ +
fj" 
при |х| ^ 1. 
357. arctg х И 
— - при |х| > 102.
356.
1
— при | х | >
10
3.
358. sin(asm(u>x)) и ашх —
f{x+h)-f(x)
при \ашх\ < 
0
,
1
.
359. /'( х ) и B-x+nji А х> при |Д[ ^
0,1. 
360. /'( х ) « /(д+^ 2/^ -- 
при |Д| ^
0,1.
361. /" (х ) и f i -+hHS^-h)-
2
){x) при |Л( ^ 0л
362. Пусть / удовлетворяет уравнению /'( х ) = P(f(x)), где F — известная, достаточное 
число раз дифференцируемая функция. Пусть

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: