Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Pdf көрінісі

бет	69/135
Дата	31.10.2022
өлшемі	16,21 Mb.
	#46579

1 ... 65 66 67 68 69 70 71 72 ... 135

Байланысты:
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s

1 1 3 . Показать, что функции pi : х (-*■ х п (п > 1 )

А2(
х
2
- x i ) / " ( & ) ,
( 3 )
г д е £ i < £ з <
£2
• В с и л у у с л о в и й A i >
0
, А
2
>
0
и / " ( £ з ) >
0
, и м е е м
А2/ ( х 2) + A i/(x i) > / ( Aixi + А2х2),
т. е. / выпукла снизу на ]а, Ь[.
Если же f " ( x ) < 0 на ]а, 6[, то функция р : х е-►
— /( х ) по доказанному выше выпукла
снизу на ]а, 6[, в силу чего имеем
A i ^ ( x i ) + А
2
^ (
х
2 ) > ^ ( A i x i + А
2
х 2 ) ,
откуда A i/(x i) +
А
2
/ (
х
2 )
< / ( А
1
Х
1
+ А2х2). Полученное неравенство показывает, что / вы
пукла сверху на ]а,
Ь[.
►
1 1 3 .
Показать, что функции pi :
х
(-*■
х п
(п
>
1
)
, р2 :

х
ь->
е
х ,
рг
:
х
i->
х In х, х
>
0
,
выпуклы снизу на интервале ]0, +со[, а функции
фг : х
х п
(0 <
п
< 1),
Ф
2
: х
In х
выпуклы сверху на интервале ]0, +оо[.
◄ Дифференцируя дважды данные функции, находим
P i ( x )
=
71(71
- 1)хп 2,
^ 2(х) = е*,
^з(х) = -,- V'l'(x) = n(n - l)x r
При х €]0, +оо[ имеем
р"{х)
> 0 (/ — 1, 3),
Фи(х)
< 0
{к —
1, 2), поэтому, на основании ре
зультата, полученного при решении предыдущего примера, можем утверждать, что функции
Pi
выпуклы снизу, а функции
фи
выпуклы сверху на интервале ]0, +оо[. ►

i s з
1 1 4 . Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду непрерывна и имеет одно
сторонние левую и правую производные.
◄ Предположим для определенности, что функция / выпукла снизу на интервале ]о,
Ь[. В
силу ограниченности / на ]а, Ь[, Эс > 0 такое, что |/( х ) | ^ с. Пусть жо €]о, Ь[ и приращение
аргумента h > 0 в этой точке взято такое, что точки хо — h и жо + h также принадлежат
]а, Ь[. Поскольку / выпукла снизу, то справедливо неравенство /(жо + h) + /(жо — «) > 2 /(io ),
которое перепишем в виде
f { x ) - f { x 0 - h ) < f ( x 0 + h ) - f ( x o ) -

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 65 66 67 68 69 70 71 72 ... 135