СО Из неравенства (1) получим систему неравенств
/(жо - kh) - / ( ж0 - {к + 1 )h) < / ( ж0 + h) - f ( x 0) < _______ < f ( x 0 + ( k + l ) h ) - f ( x 0 +k k ) , к = 0, n - 1 ,
(2)
при условии, что точки жо —
( к + l)h, хо +
( к + 1 )h ( к = 1, п — 1) принадлежат интервалу
]а, 6[. Суммируя неравенства (2) по А; от 0 до п — 1, приходим к неравенству
f {xo) - /(жо - nh) < + < /(Ж 0
+ » * ) - / Ы ( 3
) п 71 из которого, принимая во внимание ограниченность функции / , получаем
|/(ж 0 + h) - / ( ж0)| < (4) Каким бы ни было е > 0, при всех п > [—] имеем
|/(* о + h) — /(ж 0)| < s, (О
если h удовлетворяет условию
„
,
.
Гб — жо жо — а \
О < h < min < -------- , ---------г •
1 м
п J Непрерывность функции / в любой точке интервала ]о, 6[ доказана. Докажем существование
односторонних производных функции. Пусть h > hi > 0. Тогда справедливы неравенства
у
/ ( а а
+ М - / Ы
/(я о + & ) - / ( я о ) .
~
~
Н Х °У > f (Xo ~ fc) ~
Лд h ’ ’ ~ h В самом деле, записав A.i = Oh, 0 < в < 1, видим, что неравенство а) эквивалентно неравен-
ству
0 /(х о + б) + (1 - 0)/(жо) >
f i x О - М>
а неравенство б) эквивалентно неравенству
0/(жо - б) + (1 - в)/(ж 0) > /(*о - /и)>
каждое из которых справедливо в силу выпуклости снизу функции / .
Таким образом, функция <р : h i—
► —ZiiEal убывает при Л.
+0 и ограничена снизу
числом - 2 1 , а функция ф : h -> ВОзрастает при А - ^ + О и ограничена сверху
числом
Поэтому существуют пределы
/Ц
lim
= /+(жо),
lim
il>(h) — /_(жо). ►
ft-+0 ' '
ь-+ о
1 1 5 . Доказать, что если функция / дважды дифференцируема в бесконечном интервале
]х0, +оо[ и
lim
/(яг) = о ; lim f { x ) = 0, то в интервале ]х0, +оо[ имеется, по меньшей
х —«-а'о + 0 х —*■ + оо мере, одна такая точка £, что /" (£ ) = 0.
◄ В силу выполнения условий задачи 81, в интервале ]жо, +оо[ 3£i такая, что / (£i) = 0.
Поскольку /(ж ) = о(ж) при ж —►
+оо, то на основании решения примера 93 заключаем, что
lim
\f' (x)\ = 0.
X— »+О
0
ц Тогда, в силу примера 81, в интервале ]£i, +оо[ Э£ такая, что / (£) — 0. ►
§ 7. Направление выпуклости графика функции
164 Упражнения для самостоятельной работы Найти интервалы выпуклости следующих функций:
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 254. / : ж н-» (1 + ж2) е
1
+ ж.
255. / : х — 256. /
258. /
260. /
261. /
263. /
- ^ § = - 5 ж .
257. / : ж и ^
U
1
C W O .
_
1
—
- 1 + Зж.
+ Зж —
8
.
X — Y , х = (t +
1
)2, у = ( t - I)2. 259. / : X — У, ж = sh t —
1
, у = ch t - 1.
X — Y , х = lln t, у = —6
et — 312.
