Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 7. Направление выпуклости графика функции
1651
277. Число А 
6
К называется вторым производным числом Шварца функции / в точке
х, если Э(еп) такая, что lim е„ =
0
, е„ > 
0
, и 
, 
, >
71 — 0 0
А = lim p r(/(x + £n) - 2/(х) + f ( x  - е„)).
7i — о о
n
..
Доказать, 
что если 
все вторые производные 
числа Шварца непрерывной функции / неотри­
цательны, то эта функция 
выпукла вниз.
278. Доказать, что если / — выпуклая вниз функция такая, что а ^ /(х ) ^
6
Vx € [а, /?], 
и h — возрастающая выпуклая вниз функция, определенная на [а, /?], то сложная функция 
S : I н* h(f{x)) также является выпуклой вниз.
279. Доказать, что если / ь /г, • • • , /п — выпуклые вниз функции на ]а, Ъ[, то функция
/ ; х I-*- max /; ( х) 
также выпукла вниз на 
]а, 
6
[. 
■
; • •.
1 ^ i ^ тг
280. Если: 1) функция / :] — оо, +оо[ —►
R выпукла вниз; 2) 
f (x )  
> 0 Vi ф 0; 3) Эр > 1
такое, что f{9x) =
9pf{x), х 
g] 
— 
оо, +оо[, и 
V# 
^
О, то функция h : х )—> 
( / (
х
) )
р
является 
выпуклой 
вниз на ] 
— 
оо, +оо[. 
.■
_____
к
281. Пусть в, ^
0
, а, 
> 0
(г =
1
, к), ^
=
1
. Доказать, что
•=i
П а?' ^ Е
ai6i-
Отсюда, в частности, вывести, что
a V _e ^ ва + (1 - в)Ь Va, 6 > 0
(0 ^ в ^ 1).
282. Положив в предыдущем примере
1
1 - 0
Е *
j=i
получить неравенство Гёльдера для сумм
в
Ь =
Е » .
j = i
1
’ 
1 - 0
Е ^
< ( Е * / )
Е
у}'
j = i 
\j= i 
/
\j = i
где Xj ^ 0, yj ^ 0. 
_ _ 
___
,.г,.
283. 
Числовой областью постоянной матрицы А — (а,j), где aij € 
С, 
г, j = 1, », называ­
ется множество всех комплексных чисел вида
. и ■
• i, А '■
п
п
п
z =
Е Е
atjXiXj,
Е l**'*! =
i=i j = i 
•=!
где xj = Oj + ipj, «j, /Jj g R (г
2
— -
1
). 
^ 
4 >
Показать, что для любой матрицы Л граница числовой области G на комплексной; цяос- 
кости 
z
 
является выпуклой замкнутой кривой, т. 
е. 
отрезок, соединяющей любые две точки 
кривой, погружен в 
G. 
___
...
284. Матрица А — {aij), i, j  = 1, п, называется эрмитовой, если А* = А  (т. е. 5ji ='tay). 
Показать, что матрица 
А 
является эрмитовой тогда и только тогда, когда ее числовая обЯйей» 
представляет собой отрезок действительной оси.
285. Пусть 
1
^ р ^
2
и a,,bi > 
0
(« = Т7"п). Тогда
£ (« . + &.)" 
Е <
Х>? 
■
Е К + М"-1 " X X -1 + Е ьГ1
t=i 
t=i 
•=!

166
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Доказать это.
286. Множество 
М  
С
Е п 
в е к т о р о в
f
н а з ы в а е т с я в ы п у к л ы м
в Е п , если Vfi, f
2
g 
М
Л
V0 g 
[О, 
1
] 3f g .М : 0f\ +
(1
— #)f
2
= f. 
П р и э т о м м н о ж е с т в о в е к т о р о в
{6f\ +
(1
— 0)f2, 0 ^
в
^
1 }
называется отрезком, 
с о е д и н я ю щ и м в е к т о р ы
Д 
и
f2.
Показать, что 
м н о ж е с т в о в е к т о р о в
М  =
{f | f
= (ж, у), 
f
g Е 2, х > О Л у ^  0, 
|f| 
1}
является выпуклым 
в
Е
2 .
287. Показать, что множество 
М
= {f | f = (sin ж, cos ж), f g Е 2, 0 ^ ж ^ | } не является 
выпуклым в Е2.
288. Показать, 
ч т о м н о ж е с т в о
м
= {f |f = (*,, 
ж2 ,
, *„), f 
е Е п,
|f| < i}
( е д и н и ч н ы й ш а р в
Е п)
я в л я е т с я в ы п у к л ы м м н о ж е с т в о м в
Еп.
289.
П у с т ь з а д а н а ф у н к ц и я / : 
U
С
Еп
ь-> R , г д е
U
— в ы п у к л о е п о д м н о ж е с т в о . Ф у н к ц и ю
/ б у д е м н а з ы в а т ь в ы п у к л о й н а
U,
е с л и V x , у g
U
Л V 0 g [ 0 , 1] с п р а в е д л и в о н е р а в е н с т в о
Д
0
х +
(1
-
в)
у )
0
/ ( х ) +
(1
-
6)f(
у ) . И
П о к а з а т ь , ч т о ф у н к ц и я / : х н-► | х | , х g
Е
п , в ы п у к л а н а
Еп .
290.
Д о к а з а т ь , ч т о е с л и / — в ы п у к л а я н а
U
С
Еп
ф у н к ц и я , т о V x ; g [ / ( х ; = ( ж н ,
x2i, 
. . . , 
Хпь), Xi
g
Еп
V i = 1 , n ) в ы п о л н я е т с я н е р а в е н с т в о
/ (
e
=% E ^ / ( x
0
.
П
где cr; ^
0
, t =
1
, «, и ^ 1
.
i=l
291. Доказать, что если / — выпуклая на 
U
функция и г g R, то подмножество 
S
С 
U 
всех векторов х, для которых /(х ) ^ г, является выпуклым.
292. Показать, что если компоненты /,(х) вектор функции f являются значениями вы­
пуклых функций fi, i = 1, и, на некотором отрезке [а, 
6
], то функция F : i n (f (ж), А ), где А 
— любой постоянный вектор, А = (Ai, 
А 2, 
, 
А„), 
А, > 0, из Еп , также выпукла на [а, 
6
].
293. Показать, что если элементы а,у(х) матричной функции 
A :
i k
(аг] (ж)), ж g [а, 
6
], 
являются значениями выпуклых на [а, 
6
] функций а,у : х i—
*■
а,у(ж), то для любой постоян­
ной матрицы В с неотрицательными элементами функция F : j н (А(ж), В), ж g [а, 
6
], 
также выпукла. Под скалярным произведением матриц 
А 
и В понимаем величину (А, В) =
= E « v (* )& y . гДе Ьг} — элементы матрицы В (проверить выполнимость аксиом скалярного
• J
произведения в Е п).
294. Пусть функции а, : i н* а ,(х ), 
6
, : х н-> 4Дх) неотрицательны, выпуклы и возрастают 
на [а, 
6
] Vi = 1, «. Показать, что в этом случае функция F : ж i—►
(а, Ь )— скалярное 
произведение векторов а = (аДх), ... , а„(ж)), b = (
6
i (ж), . .. , 
6
„(ж)) — выпукла на [а, 
6
].
§ 8. Раскрытие неопределенностей
8
.
1
. Раскрытие неопределенностей вида ^ . Первое правило Лопиталя.
Е с л и ф у н к ц и и / и
д
о п р е д е л е н ы в н е к о т о р о й о к р е с т н о с т и т о ч к и
а
( ж
ф а),
г д е
а
— 
ч и с л о и л и с и м в о л о с , и п р и
1
- > а о б е с т р е м я т с я к н у л ю , а п р о и з в о д н ы е / ' и
д'
с у щ е с т в у ю т
П В с л у ч а е , к о гд а
U
— о т р езо к д ей ств и тел ь н о й оси, это оп ределен и е в ы п у к л о ст и с о в п а д а е т с о п ре­
д елен и ем в ы п у к л о с т и вниз.

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: