Т.Қ. Қойбағарова, Р. А. Ельтинова

 
36 
Шешімі:  Әрине,  аударуды  ондық  жүйе  арқылы  16 

  10 

  8 
схемасы  бойынша  жүзеге  асыруға  болар  еді,  бірақ  ол  ұзақ  және 
ыңғайсыз. Мына 16 

 2 

 8 схема бойынша орындаған ыңғайлы.  
774
16
 = 0111 0111 0100
2 

 011 101 110 100 = 3564
8
;  
F12,0457
16
 = 1111 0001 0010,0000 0100 0101 0111
2 

  

 111 100  010 010, 000 001 000 101 011 100 = 7422,010534
8
. 
2.4. Логика тілі және оның базалық курстағы орны 
Логика  –  ақиқат  және  дұрыс  ойлаудың  формасы  (қалыбы), 
заңдары мен ережелері туралы ілім [31, 89-бет].  
Ойдың  ақиқат  әрі  дұрыс  болуын  ұйымдастыратын  және 
қадағалайтын  біліми  пән  логика  деп  аталады.  Ойлаудың  пішіні 
(қалыбы)  деп  шынайы  өмірдегі  нәрселердің  қасиеттері  мен 
қатынастарын бейнелеу әдістерін атайды.  
Логика  пәнінде,  негізінен,  үш  түрлі  ойлау  қалыбы 
қарастырылады. Олар: 1) «ұғым»; 2) «пайым» және 3) «ойқорыту» деп 
аталады.  Ойлау  формаларының  әрқайсысына  белгілі  бір  тұлғалық 
құрылым  тән  болып  келеді.  Бұл  құрылымдарды  өрнектеп  көрсету 
үшін  арнаулы  белгілемелер  (символикалар)  жүйесі  қолданылады. 
Осындай  белгілемелер  тілінде  өрнектелген  ойды  формалданған 
(қалыптанған) ой деп атайды [31, 89-бет].  
Ойқорытулар  ережелерінің  жиынына  байланысты  ғылыми  пән 
ретінде  логика  бірнеше  түрлерге  бөлінеді:  формалданған  логика, 
математикалық  логика,  ықтималды  логика,  диалектикалық  логика 
және т. б.  
Математикалық  логиканың  негізін  қалаушысы  ретінде  ұлы 
неміс  математигі  Лейбниц
1
 есептеледі.  Ол,  XVII  ғасырда,  бірінші 
логикалық  есептеулерді  құруға  талпынған.  Логиканы  есептеулерге 
жақындатып, логикалық символиканы дәлдеген және жетілдірген.  
Лейбниц құрған іргетастың үстіне басқа ұлы математик Джордж 
Буль
2
 ғылымның жаңа аймағын – математикалық логиканы құрған. Ол 
логикалық  құрылымдар  үшін  ерекше  алгебра  –  логикалар  алгебрасы 
(Буль  алгебрасы)  атты  тұтас  бір,  тың  математикалық  білім  саласын 
өмірге  келтірді.  Онда,  дағдылы  алгебрадан  айырмасы,  символмен 
сандар емес, пікірлер белгіленеді.  
Қазіргі  математикалық  логика,  оқиғалар  ықтималдығы  және 
ақпарат  теориясы  атты  дискреттік  математика  тараптары  Буль 
                                                 
1
 Готфрид  Вильгельм  фон  Лейбниц  (1646—1716)—неміс  философы,  математик,  заңгер, 
дипломат. 
2
 Джордж  Буль  (1815—  1864)—ағылшын  математигі  және  логигі.  Математикалық  логиканың 
тұңғыш негізін қалаушылардың бірі. 

 
37 
алгебрасының мысалдық, көрнектемелері және модельдік қолданбасы 
болып табылады.   
Логика  информатиканың  математикалық  іргесін  құрайтын 
пәндердің қатарына жатады. 
Информатиканың  базалық  курсында  оқушылар  логиканың 
математикалық элементтерімен мына аспектілерде танысады: 

 
процедуралы-алгоритмдеуде; 

 
есептеуіш  техниканың  логикалық  (схемотехникалық)  негізін 
қарастырғанда; 

 
логикалы бағдарламалауда. 
Бірінші аспектіге процедуралық типті бағдарламалау тілдерінде 
логикалық  шамаларды  және  логикалық  өрнектерді  қолдану,  сонымен 
қатар  электрондық  кестелерде  мәліметтер  қорымен  жұмыс  жасау 
жатады. Алгоритмдік тармақталу құрылымын іске асыратын, шартты 
операторларда, функцияларда логикалық өрнектер қолданылады.  
Компьютердің  логикалық элементтері: вентиль, қосындылауыш 
(сумматор),  триггер,  т.с.с.  электрондық  схемалармен  танысу, 
математикалық логиканың екінші аспектісіне жатады.  
Оқушылардың  назарын  аударатын  нәрсе:  логика  тілі  (буль 
алгебрасы) компьютердің ішкі тілінің негізі болып табылады. Бұл екі 
жағдаймен  байланысты,  біріншіден  –  компьютердің  ішкі  тілі  мен 
логика  тілі  екілік  (0  және  1)  алфавиттін  қолданады;  екіншіден  – 
процессордың  барлық  бұйрықтары,  логикалық  –  ЖӘНЕ,  НЕМЕСЕ, 
ЕМЕС амалдары арқылы жүзеге асырылады. 
Пролог  логикалы  бағдарламалау  тілінің  элементтері  ең  бірінші 
рет  В.А.  Кайминнің  [18]  оқулығында  енгізілген  болатын.  Автордың 
тұжырымдамасы  бойынша,  мектеп  информатикасының  негізгі 
мақсаттарының бірі  – оқушылардың логикалық ойқорытуын дамыту, 
ұсынылған  шешімдерді  негіздеуге,  ой  жүгіртуге,  фактілермен 
дәлелдерді келтіруге үйрету.  
Логикалы 
бағдарламалау 
парадигмасы 
процедуралы 
парадигманың альтернативасы (баламасы) екені белгілі.  
Тақырыпты қарастырудың әдістемелік ұсыныстары 
Қарастырырылатын сұрақтар: 

 
логикалық шамалар, амалдар, өрнектер; 

 
электронды кестедегі математикалық логика; 

 
деректер қорындағы математикалық логика; 

 
бағдарламалаудағы математикалық логика. 
Бұл  бөлімде  информатиканың  базалық  курсын  оқытуға, 
сонымен  қатар  қолданбалы  программалармен  жұмыс  жасауға  қажет 

 
38 
математикалық  логиканың  негізгі  ұғымдарын  енгізудің  әдістемелік 
схемасы баяндалады.  
Қарастырылатын  негізгі  ұғымдар:  пікір  айту,  логикалық  шама 
(тұрақты, айнымалы), логикалық амалдар, логикалық өрнектер. 
Математикалық логиканың негізгі ұғымдары 
Пікір  (пайым)  –  мазмұны  туралы  ақиқат  я  жалған  деген  екі 
тұжырымның біреуін ғана жасауға болатын хабарлы сөйлем.  
Пікірдің анықтамасы бойынша, пікір хабарлы сөйлем болу керек 
және  шартты  түрде  оның  мазмұны  туралы  ақиқат  немесе  жалған 
деген екі тұжырымның тек қана біреуі ғана айтылуы қажет.  
Мысалы:  берілген  сөйлемнің  қайсысы  пікір  болатынын, 
қайсысы пікір деп қарауға болмайтынын атап көрсетейік.  
1)
 
«Ассалаумағалейкум!».  Жауабы:  лепті  сөйлем  үлгісіндегі 
тілдік қалыптама. 
2)
 
«Информатика  пәнін  ұнатасың  ба?».  Жауабы:  сұраулы 
сөйлем. 
3)
 
«х саны 3 еселік сан». Жауабы: пікір бола алмайды. 
4)
 
«Екі жарты – бір бүтін». Жауабы: ақиқат пікір. 
5)
 
«Адамнан  басқа  күлетін  жан  иесі  жоқ».  Жауабы:  ақиқат 
пікір. 
 
6)
 
«Париж —Қытайдың астанасы». Жауабы: жалған пікір. 
7)
 
«Үшбұрыш – геометриялық фигура». Жауабы: ақиқат пікір. 
Логикалық  шамалар:  АҚИҚАТ,  ЖАЛҒАН  (true,  false) 
сөздерімен  айтылатын  ұғымдар.  Демек,  пікірлердің  ақиқаттылығы 
логикалық шамалар арқылы айтылады.  
Логикалық тұрақты: АҚИҚАТ немесе ЖАЛҒАН.  
Логикалық  айнымалы:  символдармен  белгіленген  логикалық 
шама.  Демек,  егер  А,  В,  Х,  Ү  және  басқа  –  айнымалы  логикалық 
шамалар  екені  белгілі  болса,  онда  олар  тек  қана  АҚИҚАТ  немесе 
ЖАЛҒАН мәндерін қабылдай алады.  
Логикалық  өрнек  —  жай  немесе  күрделі  пікір.  Күрделі  пікір, 
логикалық  амалдардың  (байламдардың)  көмегімен  жай  пікірлерден 
құрылады.  
Логикалық  амалдар.  Математикалық  логикада  негізгі  бес  – 
конъюнкциялау  (қабаттамдау
1
[31]),  дизъюнкциялау  (ажыратпалау), 
терістеу, 
импликациялау 
(сабақтасым), 
эквиваленциялау 
(теңгерлемеу)  амалдары  анықталған.  Алғашқы  үшеуі  логикалық 
амалдардың  толық  жүйесін  құрайды,  сондықтан  қалған  амалдар 
осылар арқылы өрнектеледі. Информатикада, әдетте осы алғашқы үш 
амал қолданылады. 
                                                 
1
 Логикалық амалдардың қазақшаға аудармасы [31, 133-149 б.] алынды. 

 
39 
Конъюнкциялау  (логикалық  көбейту)  –  ЖӘНЕ  (орысш.  –  
И,  ағылш.  –  AND)  сөзімен  айтылады.  Математикалық  логикада  & 
немесе 

 белгілері қолданылады. Конъюнкциялау  –  екі орынды амал, 
A 

  B  түрінде  жазылады.  Егер  операндалардың  біреуінің  ғана  мәні 
жалған болса , онда өрнектің мәні ЖАЛҒАН болады.  
Дизъюнкциялау  (логикалық  қосу)  –  НЕМЕСЕ  (орысш.  –  ИЛИ, 
ағылш.  –OR)  сөзімен  айтылады.  Математикалық  логикада 

  белгісі 
қолданылады.  Дизъюнкциялау  –  екі  орынды  амал,  A 

  B  түрінде 
жазылады.  Егер  операндалардың  біреуінің  ғана  мәні  ақиқат  болса, 
онда өрнектің мәні АҚИҚАТ болады.  
Терістеу  (инверсия)  –  ЕМЕС  (орысш.  –  НЕ,  ағылш.  –  NOT) 
сөзімен  айтылады.  Математикалық  логикада 

  белгісі  қолданылады 
Терістеу – бір орынды унарлық амал, 

 A немесе Ā түрінде жазылады.   
Логикалық  формула  (логикалық  өрнек)  –  тек  қана  логикалық 
шамалармен  және  логикалық  амалдардан  тұратын  өрнек.  Логикалық 
формуланың нәтижесі АҚИҚАТ немесе ЖАЛҒАН болады. 
1-мысал.  Мына  –  «6  саны  2  бөлінеді  және  6  саны  3  бөлінеді» 
күрделі пікірді қарастырайық. Осы пікірді логикалық формула түрінде 
көрсету    керек.  Ол  үшін,  «6  саны  2  бөлінеді»  деген  жай  пікірді  ––А 
деп,  ал  «6  саны  3  бөлінеді»  жай  пікірді  –  В  деп  белгілейміз.  Онда, 
логикалық  формула  былай  жазылады:  A  &  В.  Әлбетте,  оның  мәні  – 
АҚИҚАТ болады.  
2-мысал.  Мына  –  «Мен  жазда  ауылға  барамын  немесе 
туристік  жол  жүремін»  күрделі  пікірді  қарастырайық.  «Мен  жазда 
ауылға  барамын»  және  «Мен  жазда  туристік  жол  жүремін»  деген 
жай  пікірлерді  А  және  В  деп  белгілесек.  Онда  күрделі  пікірдің 
логикалық формуласы былай жазылады: A 

 В.  
3-мысал.  Пікірді  қарастырайық:  «4  саны  3  ке  бөлінеді  деген 
дұрыс емес».  
Жай «4 саны 3 ке бөлінеді» деген пікірді А деп белгілесек, онда 
осы пікірдің логикалық терістеу пішімі мынадай болады: 

 А.  
Логикалық  амалдарды  орындау  ережелері  мына  ақиқаттық 
кестеде бейнеленген (2.2-кесте). 
2.2-кесте  
 
А 
В 

 А 
A & B 
A
 

 B 
1  
а 
а 
ж 
а 
а 
2  
а 
ж 
ж 
ж 
а 
3  
ж 
а 
а 
ж 
а 
4  
ж 
ж 
а 
ж 
ж 

 
40 
Логикалық  формулаларда  амалдардың  орындалу  реттілігі, 
амалдардың  үстемділігімен  айқындалады.  Логикалық  амалдардың 
орындалу 
үстемділігі, 
кему 
ретінде 
мынадай: 
терістеу, 
конъюнкциялау, дизъюнкциялау.  
Сонымен  қатар,  амалдардың  орындалу  ретіне  формулаларда 
қолданылатын жақшалар әсер етеді. Мысалы: (А және В) немесе (емес 
А және В) немесе (емес А және емес В)  
4-мысал. Мына логикалық өрнектің мәнін есептеу керек:  
емес X және Y немесе X және Z,   
мұндағы  логикалық  айнымалылардың  мәні:  X  =  ЖАЛҒАН,  Y= 
АҚИҚАТ, Z= АҚИҚАТ. 
Шешімі: өрнектің жоғарғы жағында операциялардың орындалу 
ретін  белгілеп,  шындық  кестесін  пайдаланып,  әр  амалды  ретімен 
орындайық: 
  1 
     2   
4 
    3 
емес X және Y немесе X және Z  
1) емес ЖАЛҒАН = АҚИҚАТ;  
2) АҚИҚАТ және АҚИҚАТ = АҚИҚАТ;  
3) ЖАЛҒАН және АҚИҚАТ= ЖАЛҒАН;  
4) АҚИҚАТ немесе ЖАЛҒАН = АҚИҚАТ. Жауабы: АҚИҚАТ.  
Электронды кестелердегі математикалық логика 
Информатиканың 
негізгі 
курсын 
оқығанда 
оқушылар 
математикалық  логика  элементтерімен  алғашқы  рет  «Электронды 
кестелер»  тақырыбында  кездеседі.  Электронды  кестенің  тілін  – 
формула  бойынша  сандық  есептерді  шешуге  арналған  ерекше 
бағдарламалау  тілі  деуге  болады.  Электронды  кестеде  іске 
асырылатын  есептеу  алгоритмдердің  құрылымы  тек  сызықтық  қана 
емес,  тармақталған,  тіпті  циклдік  те  бола  алады.  Тармақталу 
құрылымы  шартты  функция  арқылы  іске  асырылады.  Шартты 
функцияның  жазылу  пішімі  электронды  кестелік  процессордың 
нұсқасына байланысты.  
Электронды  кестенің  ұяшығына  шарт  функциясы  енгізілген 
жағдайда  экранда  оның  шартқа  байланысты  есептелген  нәтижесі 
бейнеленіп тұрады. Әдетте, шартты функцияның құрылымы мынадай:  
If (шарт, 1-әрекет, 2-әрекет). 
Мұндағы  «шарт»  –  логикалық  өрнек.  Егер  шарт  ақиқат  болса, 
онда 1-әрекет, әйтпесе 2-әрекет орындалады.  
Жай  логикалық  өрнектер  қатынас  ретінде  қарастырылады. 
Құрама логикалық өрнек логикалық амалдардан  құралады.  
Электронды  кестелерде  логикалық  өрнектерді  жазудың  өзіндік 
ерекшелігі  бар.  Мұнда  логикалық  амалдар  функция  ретінде 

 
41 
қолданылады:  алдымен логикалық  амалдың аты – И, ИЛИ, НЕ (AND, 
OR,  NOT),  одан  соң  доғал  жақша  ішінде  логикалық  операндалар 
жазылады. Мысалы, логикалық өрнек:  
AND(А1 > 0, А1 < 1)  мына математикалық теңсіздік 0 < А1 < 1 
жүйесіне сәйкес келеді. 
Мысалы, мына үзілісті функцияны есептеу керек: 
егер  -1 < x < 1; 
басқа жағдайда 
яғни, электронды кестенің  ұяшығында, сәйкес шартты функция 
былай жазылады: IF (AND (A1 > -1, A1 < 1), ABS (A1 ), 1). 
Электрондық  кестенің  ұяшықтарына  формулалар  өздері,  яғни 
шартты функциясыз орналаса береді. Бұл жағдайда берілген ұяшықта 
ақиқат немесе жалған логикалық мәндері шығады.  
Бағдарламалаудағы математикалық логика  
Қазіргі  процедуралық  бағдарламалаудың  жоғары  деңгейлі 
тілдерінің  көбінде  негізгі  логикалық  амалдар  іске  асырылған  және 
деректердің логикалық типтері бар.  Бұл құралдарды пайдалану ЭЕМ-
да  күрделі  логикалық  есептерді  шешуге  көмек  етеді.  Математикалық 
мазмұндағы 
логикалық 
өрнектер 
бар 
есептерді 
шешу 
бағдарламасында теңсіздік жүйелерін бейнелеу кеңінен қолданылады. 
Мысал.  Егер,  (x,y)  нүктесінің  координаталары  сызықталған 
аймақтың ішіне жатса (2.1-сурет), онда – true, ал ол аймаққа жатпаса – 
false мәнін шығаратын  Паскаль тілінде программа құру керек. 
Шешімі.  Қарастырылатын  аймақ  екі  бөліктен  тұрады,  әр- 
қайсысы теңсіздік жүйесімен сипатталады.  
1-бөлік:  х <= 0;  х
2
 + у
2
 < = 9;  у >= - х - 3  
2-бөлік: х >=0;  х
2
 + у
2
<= 25  
Егер  (x,y)  нүктенің    координаталары  1-ші 
немесе  2-бөлікте  жататын  болса,  онда  ол 
сызықталған аймақтың ішінде орналасады. 
Программа 
нүктенің 
координаталарын 
шығарады, логикалық өрнекті есептейді, нүктенің 
аймаққа  жататындығын  анықтайды  және  экранға 
логикалық шаманы шығарады. 
Program Point; 
Var  X, Y: real; L: Boolean; 
begin 
write ('Введите  X');   readln (X); 
write ('Введите Y');   readln (Y); 
L: =  (X <=  0) and (sqr(X) + sqr(Y) <= 9) and (Y >= -X-3)  




,
1
|,
|
)
(
x
x
F
2.1-сурет 

 
42 
ог   (X >=  0)    and  (sqr(X) + sqr(Y) <= 25); 
writeln (' Точка лежит  в  заданной  области? ',   L) 
end. 
Логикалық  өрнектер  есептеу  бағдарламаларында,  әдетте, 
тармақталу және цикл операторларының шарт бөлігінде қолданылады. 
Деректер қорындағы математикалық логика 
Математикалық  логикамен  оқушылардың  мына  кездесуі 
базалық  курста  «Деректер  қоры»  тақырыбын  қарастырғанда  өтеді. 
Реляциялық  деректер  қорындағы  логикалық  типті  өрістер  – 
логикалық  шамалар  болады.  Логикалық  тип,  өрістердің  басқа 
типтерімен  қатар  қолданылатын  болғандықтан,  оқушылар  оны 
ерекшелей білуі кажет. 
Логикалық  шама  туралы  алғашқы  ұғымды  альтернативті 
сұраққа  жауап  беру  ретінде  қалыптастыруға  болады.  Мысалы: 
«Абитуриент  университетке  түсті  ме?»  немесе  «Кітапханада  белгілі 
бір  кітап  бар  ма?».  Мұндай  сұрақтардың  жауабы  тек  «иә»  немесе 
«жоқ»  бола  алады.  Синонимдері:  «ақиқат»,  «жалған»;  «true»,  «false». 
Егер  кестенің  өрісі  тек  қана  осындай  мәндерді  қабылдайтын  болса, 
онда оған логикалық тип тағайындалады.  
Логикалық  өрнектер,  деректер  қорында  сұраныс  жасағанда  – 
іздеу шарты ретінде қолданылады.  
Логикалық  өрнектер  жай  (қарапайым)  немесе  күрделі  деп 
бөлінеді.  Жай  өрнектерде  кестенің  бір  өрісі  ғана  қолданылады  да, 
логикалық амалдар қолданылмайды. Ал құрама логикалық өрнектерде 
логикалық амалдар қолданылады.  
Негізгі  мақсат  –  іздеу  шартын  формалды  логикалық  өрнектер 
түрінде жазып үйрету. Мысалы, «бесінші сөреден жоғары орналасқан 
барлық  кітаптарды  табу  керек»  сөйлемін  логикалық  ПОЛКА  >  5 
өрнегі  түрінде  жазу
1
.  Немесе  «физикадан  барлық  үлгерімі  нашар 
оқушыларды таңдау» шартты сөйлемін ФИЗИКА < 3 түрінде ұсыну.  
Ерекше назар аударатын нәрсе іздеу шартында логикалық типті 
өрістерді қолдану болып табылады. Логикалық өрістің өзі логикалық 
–  «ақиқат»  немесе  «жалған»  мәндерін  береді.  Мысалы,  «биге 
қатысатын  барлық  оқушыларды  таңдау  керек»  шарты,  логикалық 
типті өрістің ТАНЦЫ атымен жазылады. 
Құрама  логикалық  өрнек  логикалық  амалдардан  құралады. 
Математикалық  логиканың  үш  амалын  қарастырамыз:  конъюнкция 
(И), дизъюнкция (ИЛИ), терістеу (НЕ).  
Бұл сұрақты түсіндіргенде мұғалім сөйлемдерде  семантикалық 
мағынасы  бар  «және»,  «немесе»,  «не»  жалғаулықтарынан  құралған 
                                                 
1
 ДҚБЖ ортасы қазақ тілін қолдамайтын болғандықтан, логикалық өрнек орысша жазылады. 

 
43 
мысалдар  келтіреді.  Мысалы,  «Бүгін  алгебрадан  және  физикадан 
бақылау  жұмысы  болады».  Егер  екі  сабақтан  да бақылау  жұмыстары 
болса,  онда  бұл  ақиқат,  әйтпесе  жалған  тұжырым  болады.  Осыдан 
мұғалім  логикалық  операцияларды  орындағанда  мына  ережелерді 
тұжырымдайды: егер А және В логикалық шама болса, онда өрнек: 

 
операндтың екеуі де ақиқат болғанда ғана А және В ақиқат;  

 
операндтың екеуі жалған болғанда ғана А немесе В жалған;  

 
А  емес  логикалық  өрнектің  мағынасын  қарама-қарсы  өзгер-
теді: жалған емес – ақиқат; ақиқат емес – жалған. 
2.5. Зертханалық жаттықтыру тапсырмалары 
Зертханалық жұмыс «Ақпараттың ұсынылуы»  
І. Тезаурус құру үшін қажетті ұғымдар: 

 
кодтау, декодтау; 

 
мәліметтерді беру жылдамдығы; 

 
кодтау кестесі; 

 
экранның көрсету қабілеті; 

 
түстің айқындығы; 

 
дыбысты кодтау айқындығы; 

 
 дискретизация жиілігі; 

 
санау жүйесі; 

 
позициялық/позициялық емес санау жүйесі; 

 
санау жүйесінің алфавиті; 

 
санау жүйесінің негізі; 

 
сандардың ашық формада берілуі ; 

 
сандарды нормальды түрде жазу; 

 
математикалық  логика; 

 
пікір; 

 
логикалық  пайымдау; 

 
ақиқат кестесі. 
ІІ. Келесі мазмұндық сұрақтарға жауап беріңіз: 
1.
 
Информатиканың базалық курсында «тіл» ұғымының алатын 
орны.  Бұл  ұғымның  курстың  барлық  мазмұндық  сызығында  болуын 
түсіндіріңіз. 
2.
 
«Санау  жүйесі»  тақырыбының  мазмұнын    ашатын  сұрақтар 
тізімін жасаңыз. 
3.
 
Алгоритін құрыңыз 
4.
 
 «Конъюнкция 
– 
және», 
«дизъюнкция 
– 

жүктеу/скачать 4,27 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: