Ту хабаршысы

● Технические науки 
 
     
                                               
№1 2014 Вестник КазНТУ  
         
104 
УДК 531.3 
 
Н.К. Аширбаев, А.Бараев, Ш.Е. Алтынбеков 
(Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауезова,  
Шымкент, Республика Казахстан) 
 
СКОЛЬЖЕНИЕ  РАСТЯЖИМОЙ  НИТИ  ПО  ПОВЕРХНОСТИ  ТВЕРДОГО ТЕЛА 
 
Аннотация. 
В начальный момент времени по правому концу покоящейся первоначально и огибающей 
поверхность  неподвижного  твердого  тела  гибкой  связи  произведен  продольный  удар  телом,  движущимся  с 
постоянной  скоростью 
u
.  Рассматриваются  задачи  о  скольжении  движущегося  растяжимой  нити  по 
поверхности твердого тела. Приведены математические модели и аналитические решения рассмотренных задач. 
Волновые  явления  могут  стать  причиной  появления  в  нити  областей  с  сильно  отличающими  натяжениями, 
например,  натяжения  двух  отрезков  нити,  расположенных  между  тремя  рабочими  или  вспомогательными 
органами  могут  существенно  (до  двух  раз)  отличаться.  Полученные  решения  можно  использовать  при 
эксплуатации гибких связей, наладке и модернизации технологических машин, установлении технологических 
режимов. 
Ключевые слова: 
Гибкая, намоточная связь, волна, характеристика, растяжение, нить, скорость. 
 
Растяжение гибкой связи, например, текстильной нити, может стать причиной появления таких 
дефектов,  как  перераспределения  крутки,  относительные  сдвиги  волокон  и  т.п.  В  большинстве 
случаев  относительные  сдвиги  волокон  по  длине  нити  являются  необратимым  явлением,  и  при 
многократном  воздействии  динамических  нагрузок  одним  и  тем  же  участком  может  привести  к 
существенным  изменениям  технологических  и  других  показателей  нити[1].  Одним  из  основных 
причин возрастания натяжения нити в процессе работы технологических машин являются волновые 
явления.  Например,  в  результате  отражения  волны  нагрузки  от  некоторого  рабочего  или 
вспомогательного  органа  технологической  машины,  натяжение  за  отраженной  волной  может 
возрастать в два раза. Волновые явления могут стать причиной появления в нити областей с сильно 
отличающими натяжениями, например, натяжения двух отрезков нити, расположенных между тремя 
рабочими  или  вспомогательными  органами  могут  существенно  (до  двух  раз)  отличаться.  Такие 
волновые  эффекты  являются  основными  причинами  появления,  например,  в  текстильной  пряже 
явления  укрутки.  Поэтому  исследования  волновых  явлений  у  растяжимой  нити  имеет  большой 
практический интерес. 
Постановка задачи
. Предположим, что динамическая нагрузка удара с постоянной скоростью 
вдоль прямолинейных отрезков нити распространяется в виде продольной волны в упругой среде т.е 
при 
0

t
  по  правому  концу  покоящейся  первоначально  и  огибающей  поверхность  неподвижного 
твердого  тела  гибкой  связи  произведен  продольный  удар  телом,  движущимся  с  постоянной 
скоростью 
u
,  как  показано  на  рис. 1. В  результате  при 
2
,
1
~
/ k
AB
t

  участок  АВ    связи  оказывается 
разбитым на две области 0  и 1. 
  Область 0 является  областью  абсолютного  покоя  без  начальных  деформаций,  а  область  1 
возмущена  действием  продольной  волны  С,  идущей  вдоль  участка    АВ  гибкой  связи  со  скоростью 
5
,
0
0
2
,
1
)
/
(
~

E
k

и  является  областью  постоянных  параметров,  так  как  рассматривается  линейно-
упругая  связь  и  удар  произведен  с  постоянной  скоростью  (начальные  и  граничные  условия 
постоянные). 
На фронте продольной волны С  имеют место следующие уравнения [2]: 
1
1
2
,
1
1
cos
~


k
x


,  
1
1
2
,
1
1
sin
~


k
y


,  
   
1
2
,
1
2
1
2
1
~

k
y
x
u





, 
 
                  (1) 
)
1
(
1
1
1
0
0




 F
F
,    
1
2
2
,
1
~
0
0
1
0
1



k
F
F
E
Т


.  
 
 
 
 
     (2) 
Данные уравнения при заданных параметрах u и 
1

 имеют следующие решения: 
1
1
2
,
1
1
cos
~


k
x


, 
1
1
2
,
1
1
sin
~


k
y


,      
1
2
,
1
~

k
u

,      при 
2
,
1
~
/ k
AB
t

 

● Техникалыќ єылымдар 
 
ЌазЎТУ хабаршысы №1 2014  
 
105
При 
2
,
1
~
/ k
AB
t

происходит  частичное  отражение    этой  волны.  В  результате  в  гибкой  связи 
возникают  отраженная  упругая  волна    N  и  продолжающаяся  идти  вдоль  связи  прямая  продольная 
волна M (рис. 2).  
На фронтах волн N и M  имеют место следующие уравнения: 
 
                         
 
 
 
 
  
Рис. 1.  
 
 
 
                    Рис. 2. 
 
 
1
3
1
2
,
1
1
3
cos
)
(
~






k
x
x

,   
1
3
1
2
,
1
1
3
sin
)
(
~






k
y
y


;        
 
            (3) 
2
2
2
,
1
2
cos
~


k
x


,         
2
2
2
,
1
2
sin
~


k
y



.   
    
 
 
             (4) 
В  области    контакта,  на  связь  действуют  равнодействующие  плоских  сил  трения, 
подчиняющиеся  закону  Кулона,  и  реакция  поверхности  твердого  тела,  образующая  с  осью  у  
некоторый  угол 

. -который  характеризует    условия  контакта  материалов  гибкой  связи  и  твердого 
тела.  Уравнения (1)–(4) при  переходе  рассматриваемого  элемента  нити  из  области  2    в  область  3 
принимают вид  
)
1
(
)
1
(
3
3
3
2
2
2
0
0









F
F
F
,     
3
)
2
1
(
2
)
3
1
(
ds
ds





,                                                    (5) 
dt
fR
R
Т
Т
x
x
ds
F
)
cos
sin
2
cos
2
1
cos
3
(
)
2
3
(
3
3
3









 

,                                                    (6) 
dt
fR
R
Т
Т
y
y
ds
F
)
sin
cos
sin
sin
(
)
(
2
2
1
3
2
3
3
3
3









 

.                                                        (7)  
Очевидно,  что  на  основе  закона  непрерывности  смещения  и  закона  сохранения  массы 
имеем: 
1
1
1
1
1
sin
/
cos
/


dt
y
dt
x
ds




2
2
2
2
2
sin
/
cos
/


dt
y
dt
x
ds




,  
1
3
1
3
3
sin
/
cos
/


dt
y
dt
x
ds




                                                                                                            (8)      
   
 
2
2
2
,
1
0
0
2
0
2
~



k
F
F
E
Т


, 
 
3
2
2
,
1
0
0
3
0
3
~



k
F
F
E
Т


                                                          (9)  
Из уравнения (3) с учетом  (1)  найдем 
1
3
1
2
,
1
3
cos
)
2
(
~




 k
x
,      
1
3
1
2
,
1
3
sin
)
2
(
~




 k
y
. 
Используя последние выражения и условия непрерывности смещения (8), получаем  
 
 
dt
k
ds
)
2
(
~
3
1
2
,
1
3




.                                                                                                                (10) 
 
из уравнения (5) - (10), будем иметь: 









)
cos
cos
)(
1
(
cos
cos
)
2
(
)
2
(
2
2
1
3
3
2
2
1
3
1
3
1












 















2
2
1
3
1
3
1
sin
sin
)
2
(
)
2
(






)
sin
sin
)(
1
(
2
2
1
3
3


, 
 
          (11) 
Здесь:  
)
sin
/(cos
)
cos
(sin





f
f



.  
)
2
2
1
/(
)
2
(
1
3
3
1
2









 .                      (12) 
Согласно физической постановке задачи, деформация 
2

 области 2, так же как и деформации 
остальных возмущенных областей связи, отрицательных значений не принимают, т.е. 0
1


, 0
2


 и 
0
3


  (гибкая  связь  сжатию  не  подается).  Первое  из  этих  условий  означает,  что  гибкая  связь 
испытывает натяжение прямой –  растягивающей волны. Более подробно рассмотрим второе условие 
–  условие 
0
2


.  Постановка  данного  условия  в  соотношение (12) дает 
0
2
3
1




,    
0
2
2
1
1
3





. Отсюда следует, что  
1
3
1
2





. В случае 
1
3
2



 происходит полное отражение 

● Технические науки 
 
     
                                               
№1 2014 Вестник КазНТУ  
         
106 
продольной вольны С от поверхности твердого тела – жесткая заделка в точке контакта 
B
, а в случае 
1
3
2



 – происходит частичное отражение прямой волны. В случае 
1
3


   трение отсутствует, и 
отраженная волна в гибкой связи не возникает. 
Таким  образом,  при  отражении  волны  нагрузки,  например,  от  поверхности  рабочего  органа 
текстильной  машины,  натяжение  нити  (или  пряжи)  может  мгновенно  возрастать  в  два  раза. 
Интенсивность отраженной волны, как это будет показано ниже, зависит от: 
 – начальных и граничных условий;  
– условий контакта гибкой связи на поверхности рабочего органа;  
–  технологического  режима  работы  машины; – конструктивных  параметров  машины – схемы 
расположения рабочих органов и т.д. 
Уравнения (11) и (12) образуют замкнутую систему относительно неизвестных деформаций 
2

 и 
3

. Исключая 
2

, из уравнение (11) получим:  
0
0
3
1





 
 
 
 
                    
 
 
 
 
   (13) 
Где   














2
1
1
2
1
1
1
sin
sin
4
1
cos
cos
4
1






 













2
1
1
2
1
1
1
0
sin
sin
2
cos
cos
2
2




. 
Приведенная сила 

2
,
1
2
0
0
~
/


F
R
R


 определяется по формуле: 
    


)
cos
(sin
)
1
(
)
cos
cos
(
)
1
(
cos
cos
)
2
(
)
2
(
3
2
2
1
3
3
2
2
1
3
1
3
1















f
R










.        (14) 
Таким  образом,  задача  определения  деформации 
3

  области  3 (рис.2)  сведена  к  решению 
алгебраического  уравнения  первой  степени (13). Деформация 
2

  области 2 гибкой  связи 
определяется из формулы (12).  
Из полученного решения видно, что деформации 
2

 и 
3

 являются функциями углов обхвата 
1

, 
2

, коэффициента трения  f , деформации 
1

,  угла 

 и скорости 
u
, т.е.  


u
f
,
,
,
,
,
1
2
1
2
2







,     


u
f
,
,
,
,
,
1
2
1
1
1







. 
 
                 (15) 
Следовательно, произведя выборку рациональных значений параметров: 
 – углов 
1

 и 
2

, т.е. схемы (или координаты) расположения рабочих органов технологической 
машины;  
–  входных  и  текущих  технологических  параметров – скорости    u   движения  гибкой  связи  и 
относительной деформации 
1

 на фронте прямой волны; 
 –  физико-механических  и  технологических  параметров – коэффициента  трения  f   и  угла 

,  
характеризующих условия контакта и неровноту гибкой связи, можно добиться, чтобы отраженная от 
поверхности твердого тела волна не возникала (или разрывы натяжения на фронтах отраженных волн 
равнялись нулю). 
Интенсивность  отраженной  волны  зависит,  в  частности  от  силы  трения.  Очевидно,  что  на 
шероховатой поверхности контакта происходит увеличение силы трения и угла 
. Увеличение этих 
параметров приводит к увеличение натяжения за отраженной волной. 
Отсюда    можно  сделать  важный  вывод:  если  угол 
    является  углом  трения,  то  отражения 
прямой волны от поверхности твердого тела не происходит (идеальная связь). Отклонение угла 
 от 
этого  значения  приводит  к  отражению  прямой  продольной  волны.  Максимальная  деформация  при 
этом возникает в области 3. Причем, если отраженная волна возникает и несет разрыв деформации, 
то условие 
1
3
1
2





 всегда выполняется. 
Проведенные  численно  экспериментальные  исследования  показали,  что  путем  вариации, 
например, значений углов обхвата при фиксированных значениях всех остальных параметров, можно 
найти координаты точек 
1
A  и  
2
A  (рис. 3) в плоскости 
 


,
, в которых деформации 
2

 и 
3

 будут 
иметь одинаковые значения, или отраженная волна не несет разрыва деформации.  
В заштрихованной области между точками А
1
 и А
2
 условие 
2
3



 выполняется, то есть данная 
область  является  областью  существования  решения  задачи  для  фиксированных  исходных 

жүктеу/скачать 43,12 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: