Сборник материалов VIІІ международной научной конференции студентов и молодых ученых «Наука и образование 2013»
жүктеу/скачать 15,22 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
№4. Осы реттіліктегі цифрді атау қажет. 1, 2, 6, 24, 120, ... Осындай есеп тесттерде ӛте жиі кездеседі. Оны табу ҥшін осы реттіліктің жалпы формуласын қҧрамыз. Осы формуланы анықтау ҥшін мен соңынан шешуді ҧйғардым. (120-24)/24=4; содан (24-6)/6=3, (6-2)/2=2 ,яғни әрбір санға 1-ге артатындай сан тіркелген.Ал жалпы формуласы A*n. А алдындағы сан, n-санның номері. Жауабы: 120*6=720
1.
ҚР Білім туралы Заңы. Астана. 2004 жыл. 2. Логикалық ойлау қабілетін дамыту //Қазақстан мектебі. Республикалық ғылыми- педагогикалық журнал. – Алматы, 2008, №11. 3. Математика және физика. ғылыми - әдістемелік журнал №4-2007, 2008 жыл
УДК 531.17 ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Жаныбекова А.А., b_zhanybek@mail.ru Казахстанско-Британский технический университет, Алматы Научный руководитель - Ж.Т.Рахметуллина
Формирование у студентов определѐнных знаний, умений и навыков для грамотной постановки профессиональных задач, возникающих при исследовании различных по своей природе объектов и явлений, с последующим «переводом» проблемы их описания на уровень построения различных математических моделей в большинстве случаев опирается на курс «Дифференциальные уравнения». Некоторые задачи физики, механики, химии и биологии очень легко и удобно решаются путем приведения к линейным неоднородным
20
дифференциальным уравнениям. Раздел «Теория
линейных неоднородных дифференциальных уравнений» относится к более глубоко исследованным разделам курса «Дифференциальные уравнения». Существует несколько методов нахождения их решения. В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет операционное исчисление. В математике часто применяют общие методы построения решения уравнения на базе фундаментальной системы решения соответствующего однородного уравнения: метода вариации постоянных (метод Лагранжа) и метод Коши. Новый метод, разработанный профессором КазНУ Ж.С. Сулейменовым [1] достаточно часто применяется во избежание более громоздких вычислений. В ряде частных случаев, например, в линейных уравнениях с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями широко используется также подбор частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов[2-4]. В данной статье описывается операторный метод Хевисайда, который исследован учеными – математиками МГУ [5]. Метод имеет свои преимущества для построения частных решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами квазимногочленами в правых частей. Суть операторного метода состоит в том, что его применение позволяет свести отыскание частного решения к алгебраическим операциям и интегрированию или дифференцированию известных функций. Пусть
- оператор дифференцирования. Тогда n n n dx d D dx d dx d dx d D ,...,
2 2 2 операторы вычисления производных высших порядков. Используя введенные обозначения, линейное уравнение с постоянными коэффициентами примет вид: ) ( ) (
f y D M Ly , где ) (D M является операторным многочленом вида n n n n a D a D a D D M 1 1 1 .... ) (
имеющий следующие свойства:
. ) ( ) ( ), ( cos cos ) ( ), ( sin sin ) ( ), ( ) ( 2 2 2 2
v D M е x v е D M a M ax ax D M a M ax ax D M M е е D M х х х х
Сумма ) ( ) ( 2 1 D M D M и произведение ) ( ) ( 2 1 D M D M операторных многочленов подчиняются правилам действий с обычными, не операторными, многочленами. Справедливы формулы свойство коммутативности произведения операторов и дистрибутивное свойство
). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 D M D M D M D M D M D M D M D M D M D M D M x f D M x f D M x f D M D M
Обратный оператор ) ( 1 D M дает решение операторного уравнения ) ( ) ( x f y D M
(1)
x f D M x f D M y 1 ) ( 1 .
(2) Формула (2) определяет некоторое решение уравнения (1) с точностью до любого слагаемого ) (x y решения однородного уравнения 0 )
y D M , так как сумма 21
y x f D M ) ( 1 также удовлетворяет тождествам ) ( ) ( 1 ) (
f x f D M D M и ) ( ) ( ) ( 1 x f x f D M D M . Оператором, обратным к оператору дифференцирования, будет оператор вычисления первообразной, поэтому
m m dx x f x f D ) ( ... 1
(3)
Справедливы следующие свойства обратного оператора, которые будут применяться при нахождении частного решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами: )
) ( 1 ) ( 1 x f D M k x kf D M
(4)
) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 2 1 2 1 x f D M x f D M x f x f D M
(5)
, 0 ) ( , ) ( ) ( 1 M M e e D M x x
(6) , 0 ) ( , ) ( cos cos ) ( 1 , ) ( sin
sin ) ( 1 2 2 2 2 2 a M a M ax ax D M a M ax ax D M (7)
, ) ( 1 ) ( 1 x v D M e x v e D M x x
(8)
). ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 2 1 2 1
f D M D M x f D M D M
(9)
Операторный многочлен ) (D M в уравнении (1) совпадает по структуре с характеристическим многочленом ) ( M . Поэтому одновременно с отысканием корней характеристического уравнения 0 )
решается проблема разложения многочлена ) (D M на неприводимые множители (линейные или квадратичные), например,
). ( 2 3 4 2 ) ( 2 2 2 x f Dy D D D D D y D M
Следовательно, задача отыскания частного решения в виде
) ( 2 3 4 2 1 ) ( 1 2 2 2
f D D D D D D x f D M y
сводится к последовательному действию на функцию простейших операторов вида . 2 1 ...,
, 2 1 , 1 2 D D D D Для оператора вида k D 1 или
, 0 4 1 2 2 q p q pD D действующих на p x , многочлен D Q p удобно находить, пользуясь биномиальным разложением вида[7-8].
1 1 3 2 1
(10) . ...
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 , ... 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 1 2 2 3 2 1 D D D D D D D D D D D D D D D
22
Рассмотрим следующие примеры: Пример 1. Найти частное решение уравнения ) (
x f y y . Его операторный вид
( 5
f y D Нахождение частного решения исходного уравнения состоит в применении формулы (2) к операторному уравнению и нужных свойств обратного оператора:
. ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 5 5 1 ) ( 5 1 ) ( 5 1 5 5 5 5 ) 3 ( 5 5 5 5 8 5 5 d f e e d f e e x f e D e x f e D e x f e e D x f D y x x x x x x x x x x x
Пример 3. Найти частное решение уравнения x y y 3 cos 9 . Операторный вид уравнения можно представить, как x y D 3 cos 9 2 . Нахождение частного решения исходного уравнения состоит в применении формулы (2) к операторному уравнению и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора:
6 3 sin 6 Re 1 1 6 Re 1 3 3 1 6 Re 3 3 3 1 Re 3 1 3 1 Re 3 cos 9 1 3 ) 3 ( 3 3 ) 8 ( 3 ) 6 ( 3 ) 9 ( 2
x i x e D i e i i D i e i i e i D e i D i D x D y ix ix ix ix ix Пример 4. Найти частное решение уравнения
x y y 2 cos 1 4 2 . Тогда операторный вид уравнения x x y D 2 cos 1 4 2 2 .
Нахождение частного решения исходного уравнения состоит в применении формулы (2) к операторному уравнению и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: . 1 4 1 1 Re 1 4 2 1 Re 1 4 1 Re 2 cos 1 4 1 2 2 2 2 2 ) 8 ( 2 2 2 2 2
i D D e x i D e x e D x x D y ix ix ix
Вычислим в последнем выражении результат действия оператора 1 16 1 4 1 4 1 1 16 4 1 4 1 1 ... 4 4 1 4 1 1 4 1 4 1 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 x D x i D x i x D i D i x i D i D i x i D i x i D
. 8 7 2 4 1 2 16 1 2 4 1 1 4 1 2 2 i x x i x i x i
Учитывая последнее выражение, получим частное решение, . 4 2 sin 8 7 3 16 2 cos 8 7 4 3 4 Re 8 7 2 1 4 Re 3 2 2 3 2 2 2
x x x x x i x x i e i x x D i e у ix ix Пример 5. Найти частное решение уравнения . 5
4 х y y y Его операторный вид
. 5 2 4 2 х y D D
Нахождение частного решения исходного уравнения состоит в применении формулы (2) к операторному уравнению и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: 23
. 30 2 15 5 2 5 5 4 5 8 5 4 2 5 5 4 2 4 2 1 2 1 5 4 2 4 2 1 2 1 5 ... 2 2 1 2 1 5 2 1 2 1 5 2 1 2 3 4 4 3 4 2 4 4 4 3 2 4 3 2 2 4 2 2 2 4 1 2 4 2 х x x х х D х D х D х х D D D х D D D D х D D D D х D D х D D y
В этом примере знаменатель оператора не разложим на множители с вещественными коэффициентами, поэтому в биномиальном разложении типа мы имеем дело уже с более громоздкой конструкцией. Так как изучение математики способствует как культурному, так и интеллектуальному развитию студента, в результате чего создается необходимая база для высокого уровня его общеобразовательной и профессиональной подготовки.
1. Сулейменов Ж.С. Методика преподавания дифференциальных уравнений. Алматы: «Қазақ университеті».-2009.-199с. 2.
Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.-М.: Наука, 1980.
3.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Наука, 1970. 4.
Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи.-Киев: Вища школа,1984. 5.
Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения.М.:Физматлит.-2003.-С.165-190. 6.
1969.-Ч.1.- 608с. 7.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Наука, 1966.-Ч.2.- 800с. 8.
У.Д.К.372.851 жүктеу/скачать 15,22 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|