Три взгляда

знаков  К =   1,370388 = ( 2 , 0 0 0 1 183)5/|| =  
=   [2  +   ( 5 / 7
)“ 1/2
 •  10- 4 ] 5/"  =   [2  +  
+   (||тЩ)  _
1
/
2
-Ю _4] 5/и.  Здесь  и  осно-
вание  числа  К  и  его  логарифм  (5/11) 
связаны  с  0,417.  Три  нуля  после  за п я ­
той  указывают  на  загадочный  смысл 
трехзначности.
3.  С вязь  с  числом   Ф.  ю
0418'2
 
=
=   10(0,417 -
2 ) 10
 =  Ф*.  Кроме  того,  ме­
ра  S H 
в
 
§  19,  в  частности,  равна:  / / У 2;
Ф
 • 2~ 1
=
—=^~  =   0,417-2.
//V2
4.  Связь  с  числом   а  показана  в 
табл. 
27, 
где 
x r =  ^ J a b = ^ J а д / а
21
  =
=  д /а
23
  =   -^0,484  =   0,417 -
2
.  Все  числа
-
1
табл.  27  находятся  в  Д .  С  помощью 
0,417  устанавливается  связь  внутри 
диапазонов  S K,  охватывающая  все 
11 
степеней  а.  Этот  порядок  создает  свое­
образную  числовую  замкнутость  внут­
*  Следует  помнить,  что  трехзначные  числа  не 
точные,  а  округленные.  В  случае 
10-  (0 ,4 1 7 -2 ) 
= Ф ,   число 0,417  в  пределах  семи
знаков  равно  0,4167433.
ри  диапазонов  —  своеобразную  ритми­
ческую  структуру  степеней  а.  Пример, 
показывающий  связь  числа  0,417  с  5 Н: 
в  табл.  7  основные  числа  S H
  связаны 
5
Г  с  центром  х г =  д/
1
/
2
;  в  табл.  27  сте­
пени  а  связаны  S r с  центром  хг =  д/0,484;
0,484  :  4 - =   «   ("а
23
  ±   "а).
Z 
/  N
5.  С вязь  с  рядом   (А).  Возьмем  ряд
(А)  в~Д  и ~ Д :  7 /1 0 ,  2 / 3 ,  5 / 8 ,   3 / 5 ,   9 /1 6 , 
8 /1 5 ,  1/2,  15/32,  4 / 9 ,  5 /1 2 ,  2 / 5 ,  3 / 8 ,  
5 /1 4 .  Центр  S K
 
э т о г о
 
ряда  х к= 1 / 2 ,   но 
*к=т^*а,  т.  е.  х АФ \ / 2 .   Это  нарушение 
симметрии  можно  наблюдать  и  по  о т ­
клонению  суммы  симметричных  членов 
ряда  от  единицы:  7 /1 0  +  5 / 1 4 = 3 7 / 3 5 ;  
2 / 3  +  3 / 8  =  25/24; 
5 / 8  +  2 / 5  =  41 /4 0 ;
3 / 5   +   5 /1 2   =   61/60; 
9 / 1 6   +   4 /9   =
=   145/144;  8 / 1 5 + 1 5 / 3 2  =  481/480.  Ве­
личина,  превышающая  единицу  в  че­
тырех  случаях  (из  шести),  связана  с 
числом  0,417 
(точнее 
0 ,4 1 (6 )): 
а)
1/24 =  0,041(6) =  0,417-  1 0 -';  б)  1/60 =  
=  0,01(6) =  0,417 - 22-  10“ 2; 
в)  1/144 =  
=   0,0069(4)  =   (0,417 - 2 ) 2-  10“ 2; 
г) 
1/480  =   0,00208(3)  =   0 , 4 1 7 . 2 - ' .   1 0 - 2.
6
.  А н а л о ги ч н о е  число  встречается 
в  природе  и  имеет  фундаментальный 
смысл.  Постоянная  тяготения: 
гравитационное  притяжение  _
электрическое  отталкивание
1
=  
104
У;  т.  е.  отношение  силы  элек­
трического  отталкивания  к  силе  гра­
витационного  притяжения  двух  элек­
тронов  равно  0,4 1 7-  1043.
7
.  Связь  с  числам и  табл.  6.  Опре-
J t r  
и 
С
делим  хгар  =   —  каждой  пары  чисел
в  табл. 
6
,  связанных  S r  в  соответствии 
с  табл. 
7
  и  усредним  полученные  зна-

чения 
Хгар. 
Среднее 
х гар=   0,834
=   0,417-2.
8
. 
С вязь 
чисел 
а  
и 
р. 
О бо­
значим  число  ж   0,792  буквой  d.  В  вы­
ражении  (44) 
=  0,791754;  в  формуле
(35) 
(п.  2  настоящего  параграфа)
d =  0,792260. 
Возьмем 
случай 
d =  
=  0 , 7 9 1 8 2 9 =   Ю - , + 0’898631;  убирая  пер­
вую  цифру 
8
  мантиссы  и  сдвигая  ман­
тиссу  влево  на  один  знак,  получаем 
! о 
- 1
 + о,98бз. =  0,96898 =  а. 
Далее, 
та - 
ким  же  способом  получаем 
10“ 1
 
+ 0
 
8631
 =  
=  0,7297 =   1,3704 
=  
=  
Это
число 
10
- '  + 
° ’8631
 =   Ю“ 
1
 + 0’8000+ 0-0631- 
вычитая  из  мантиссы  величину  0,0631, 
получаем
i + o,
8
ooo=   ю .0 ,0 6 3 1   = 0 , 6 3 1   = d ~ l - 2 ~ l 
(46),
чисел  а и р   выглядит  так:  d
10-10
 =  a; 
(d
10
- Ю
)10
 =  р- 1 .  Равенство  (46)  указы­
вает  на  связь  числа  0,800  (второй  шаг 
в  табл. 
2
)  с  числом  d.  А  так  как 
0,800_ 1 = ( 2  + 
1
  +
2
_
1
) -
2
- 1 ,  то  выраже­
ние  (46)  можно  записать:
ю -
—  
2
 
-  
1 
т.  е.  0,631  _1_  0,792.  Это  говорит  о  с у ­
ществовании  внутричислового  ритма, 
связанного  со  сложным  взаимодейст­
вием  принципов  па  и  а п  и  с  важным 
смыслом  числа  10.  Показанная  связь
10-' + [ ( 2 + '+2  ')2  ']  ' =   Ю 
1 - 2 “ 1 -  10“ ') =  £ /-' - 2-
и,  следовательно:
а ,0 =  р - |  =   / ( - |  =   1 0 - 1 + [ ( 2+1  +  2 _ 1 ) - 2 “ ' Г 1 +   >0“ |+[(2+' +2  ',-2 
* - ю - ' =   1 ^ 3 7 - 1  
(
47
) * .
Более  точное  значение  р  '  см.  на 
рис. 
12
.
В  этой  связи  число  0,800  приобре­
тает  особый  смысл. 
На  диаграмме 
(рис. 
1 1
)  второй  большой  пик  справа
0  492
принадлежит  числу  0,969  =   q ^ ;   вто­
рой  большой  пик  слева — числу  0,800 =  
=  
(кроме  того  0 ,800~ 1 =   ю
0,969'10
  ; 
0 , 9 6 9 - '  =  
1 0 ° 137
 
10
  ).  Число  d ~ ] =   \ ,26
(0,631  _L  0,792  _L  1,26);  учитывая  осо ­
бый  смысл  числа  0,800,  а  также  числа 
2 
(случай  уравнения 
(3) 
при  а =  п  — 
основа  S K),  выделим  следующие  три 
числа: 
2
; 
0,800; 
1,26, 
связанные  с
устойчивостью  в  музыке 
(2
  —  значе­
ние  октавы;  0,800  —  мажорной  терции; 
число  d  выражается  через  0,417  —  з н а ­
чение 
минорной 
терции, 
см. 
(4 5 ) ). 
Применяя  к  этим  числам  цифровую 
симметрию,  можно  получить 
2
, 
8
, 
20
, 
126.  Эти  числа  в  физике  входят  в  число 
так  называемых  магических  чисел,  свя­
занных  с  устойчивостью  атомных  ядер.
Факты  этого  параграфа  указывают 
на  существование  связи,  в  частности, 
следующих  двух  проблем:  магические 
числа,  с  одной  стороны,  и  связь  грави­
тационного  и  электромагнитного  по­
лей  —  с другой.  Факты  этого  параграфа 
также  показывают,  что  наше  восприя­
тие  минора  в  музыке  как  глубины  не 
случайно.
*  О тметим  следую щ ее:  1)  свя зь   чисел  2  и  10 
л еж и т  в  основе  связи   ф орм ул  (1)  и  (2 ),  см. 
§  19;  2)  в  лестнице,  приведенной  в  в ы р а ж е ­
нии  (47),  10л + 10 
10 
более  точное  значение
Р -1 
будет 
при 
п  =   —  1  +   { [ ( 2+ | + 2 - 1 )  X  
Х 2 _ | ]  _ , + 6 3 1   •  10- 7 };  см.  рис.  12.

10
[(-1*[(?*1.2-T)-2-’]-1).(lo"U[<2*V2',)'2''r j-1o-4] +10K-'
12.  Р и тм и ч еская  структура  десятичного  л о г а р и ф ­
ма  числа  137.  Н а с т о я щ а я   структура  т а  же,  что  и 
в  вы раж ен и и   (4 7 ),  только  с  прибавлением   ещ е 
одной  струпеньки  той  же  самой  лестницы.  Э та  з а ­
гад о ч н ая  д во й н ая  лестн и ц а  р а вн яется  числу  р 
с  п оразительной  точностью   (7  зн ач а щ и х   ц и ф р ),
30.  ЗАГАДКА  ЧИСЛА  3
В  выражении  (37)  имеем  д/З  *,  в 
выражении  (38)  под  знаком  радикала 
3 
раза 
повторяется 
комбинация  — 
тройка  с  нулем  (ритм  303030).  Число 
d ~ l =   1,26 =  2 1/3.  Возьмем  числа  Ф  и 
1,37.  Так  как  ф п =  ф
п~ 1
 +  Ф п~ \   то 
важный  случай  золотого  сечения  (деле­
ние  единичного  отрезка)  связан  с  чис­
лами  Ф
2
  и  Ф.  Связь  Ф  с  1,37  в  §  22
Ф ~ 2 
0,486
выглядит  так: 
Q486
  =   -ф~ т,  или,  при­
меняя  S K:
2 2-Ф
1,528
__  1,374 
Щ Ч  
—   2- Ф _ 1 ’  Т '  е '  1,374
1,374 
1,236  ’
что  соответствует  выражению
(48)
откуда  а =  х 2/3.  Если  в  выражении  (48) 
вместо  х г =   1,374  положить  х г=   1,370,
1,521
тогда  а =  1,233,  и  мы  получим
,370
1,370
10
'
= 1, 370 3509 ‘ 1= / 5 ' 1
— 
12
зз»  при  этом  разность 
1,370—
— 1 ,2 3 3 = 0 ,1 3 7   указывает  на  связь  чис­
ла  1,233  с  числом  10.  Изменим  урав­
нение  (3)  так:
а п =  п Л / а .  
(49)
Здесь  при  п =   10,  а =  1 ,2 3 2 8 4 7 =   101/п  =
_   iqo/id-
2
. 
10
 
что  ГОВОрИТ  о 
ф у н ­
даментальности  числа  1,23.  Разность
*  О б р ащ аем   вним ание  на  появление  числа  3 
всюду,  т ак ж е   и  в  п о к азате л ях   степеней,  и  в
Д ,  где  i  =   — 3,  + 3   и  т.  д.
что  я в л я ется   ещ е  одним  аргум ентом   в  пользу 
ф у н д ам ен тальн ости   д есяти зн ач н ой   системы  счис­
лен ия,  т ак   к ак   при веден н ая  на  рисунке  ритм иче­
ск а я   структура  есть  структура  десятичного  л о г а ­
риф м а  числа  р
между  числами  / ( = 1 , 3 7 0 3 8 8   и  lgK  =
=  0,136844  равна  1,233544.  Разность
между  числами  (3= 1,3703509  и  /gP =
=  0,136832  равна  1,2335189.  Если  в
физике  будут  обнаружены  кварки,  то
появится  и  число  123,  так  как  в  числе
h c / e 2  вместо  е  будет  ( 1 / 3 ) е,  и  число
h c / e 2  увеличится  в  девять  раз  (1,370Х
Х 9 -   10
- 1
 =   1,233).  Число  123  состоит  из
первых  трех  чисел  натурального  ряда;
эта  тройка 
чисел  уникальна: 
х А  =
a - \- b  
1  -(-3 
q  
1
  I  о
=   —
=  
2
, 
причем 
1
 
+ 2
 =
=  3**.  Согласно  (48) 
1,2333/2=   1,37. 
Кроме 
того, 
1,23 ж  л/3/2. 
Заметим
1 0 ,л з/
2
)  - ю 
-
2
-  = 2   3 9 7 ;  
2 ^
7   j _   о
д
т
.
Число л /3 /2  =  х г =  л[аЬ =  ^ Ъ / А ^ Ь / Ъ  свя­
зывает  значения  мажорной  (5/4)  и  ми­
норной  (6/5)  терций,  т.  е.  S r,  основан­
ная  на  числе  3  (xr =  ^j3/2)  переводит 
(или  смещает)  мажор  в  минор  и  наобо­
рот,  причем  числа  0,800_1 =  5 / 4   ( 
Д )
и  0 , 4 1 7 = 5 / 1 2  
( 
Д )  
ряда 
(40) 
связаны 
так: 
5 / 4  
•  3 ~ ‘ =  
5 / 1 2 .  
Эта  симметрия 
переводит  число 
5 / 4  
не  в  симметрич­
ный  по  S K  член  ряда 
( 4 0 ), 
т.  е.  в  число 
2 / 5 ,  
а  в  соседний  член 
( 5 / 1 2 ) .  
Такую 
симметрию 
назовем 
поворотной 
или
**  Это  есть  важ н ы й   случай  S \   а — х  =  х  — b  (5 0 ), 
при  а =  х-\-Ь,  откуда  а =  ЗЬ,  или  а =  3,  х  =  2, 
b =  1.  С лучай  (50)  м ож но  за п и с а ть   а — х  =  
=  х  — (а — х); 
это 
ариф м етический 
ан ал о г  
золотого 
сечения: 
а : х   =   х : ( а  — х), 
откуда
х = ^ ~ 1 =0,618 =  
0
-'.

смещающей.  В  связи  с  этим  обратим
внимание  на  следующие  загадочны е
смещения,  связанны е  с  трехзначностью.
Возьмем  (д/Ф )~ ' = Х/У  при  х - \ - у = \ .
З д есь   х = 0 , 4 4 0   1370385  21...,  т.  е.  3
зн а к а   после  запятой  плюс  7  цифр  числа
К\ —  1,370385  08  (см.  § 21),  что  говорит
о 
фундаментальности 
числа 
\ Ф   *.
Д а л е е ,  число 
р ~ 10-  10
3
 =  42,823485 =
. 
0,4  516 
, ,
=   42  4-  „  - 
.  Мы видим  знакомые
1  0,о  484
516 
_2
смещенные  троики  чисел  - щ -   =   а 
=
Такие  смещения  часто  встречаются 
в  музыке.  В  табл.  28  даны  два  примера 
музыкальных  произведений, 
о т н о с я ­
щихся  к  мировым  шедеврам.  О к руг­
л я я   числа  табл.  28  и  п реобразуя  их
„  
0,45 
0 
0,62 
.
по  5 К,  имеем  тг=-  •  2  =   ^ = - 
«   Ф.
U,oo 
U,oo
Числа  в  табл.  29  означают,  в  каком 
отношении  г \ / г 2  делит  к а ж д а я   планета 
среднее  расстояние  меж ду  двумя  б л и ­
жайш ими  планетами  (
-| -г2) .  С м е щ е ­
ния  указанны х  троек  чисел  очевидны, 
особенно  в  первой  тройке  планет  (М е р ­
курий,  Венера,  З е м л я ),  причем  у  З е м ­
ли  они  идут  с р а зу   после  нуля.  Число 
Земли  0,486/0,514 «  Q,  т.  е.  в ы р а ж а е т  
золотое  сечение.
Итак,  какими  ж е  числами  характе-
*  У каж ем   на  лю бопытную   с вязь  чи сла  д/Ф   с 
геометрией.  Т ак   к а к   в аж н ы е  частны е  случаи 
сущ ественны ,  то  зам етим ,  что  есть  ли ш ь  один 
прямоугольны й  треугольник,  стороны   которого 
(пропорц иональны е  целым  чи слам   3,  4,  5) 
образую т  ариф м етический  ряд.  Т ак ж е   есть 
л и ш ь  один  прям оугольны й  треугольник,  сто р о ­
ны  которого  об р азу ю т  геометрическую   прогрес­
сию  (р авн о   S r)  а / х  =  х / Ь ,   где  а  —  гипотенуза, 
Ь  —  м алы й  катет.  Т ак   как  x 2 =  a b   и  т ак   как 
а 2= х 2-\-Ь2  (по  теорем е  П и ф а г о р а ),  то  имеем 
a 2/ b 2 =  a / b - \ - 1,  т.  е.  а / Ь  =  Ф  (т а к   как  Ф 2 =  
=  Ф + 1 ) ,   отсю да  а / х = х / Ь = л [ Ф _   [12,  с.  38, 
48  ,  там   ж е  см.  о  связи   числа  л[Ф  с  больш ой 
пирамидой  Г и з е ] .
Н азван и е  произведений
А\
А + В
Бетховен,  С им ф он ия  №   9,  ч.  1
0,4  516 
0,5  484
М оц арт,  Симфония  соль-минор,  ч.  1
0,4  515 
0,5  485
Т а б л и ц а   29*
П ланеты
г \ / г 2
М еркурий
0,46  484 
0,53  516
В енера
0,4  514 
0,5  486
З ем л я
0,486
0 5 1 4
М арс
0,4  488 
0,5  512
Астероиды
0,482
0,518
Ю питер
0,4753
0,5247
С атурн
0,4735
0,5247
Уран
0,4700
0,5300
Нептун
0,46  519 
0,53  481
*  „  
, 
Меркурии-Солнце
Д л я   Меркурия  г , / г г  =   —-----  
.  „--------;  для  Венеры
Меркурии-Венера
Венера-Меркурий
Г
1
/Г
2
  =   tz---------- ^------ ------  и  т . д .   Числа  пре образованы  по
]  Венера-Земля
S K 
в  
Д  
и  в ы р а ж е н ы   в
виде  х / у   при  х + у =   1.

ризуется  Земля?  В  табл.  24  (§ 2 6 )  это 
0,811;  в  табл.  26 
(§ 2 6 )  — 0,967;  в
табл.  29  —  число  Q.
— 
1
 
1 
Число  0,811  _L  1,23;  фундаменталь­
ность  числа  1,23  предсказана  в  настоя­
щем  параграфе.  Число  0,967 ж  а   в  пер­
вой 
степени 
( а  =  0,9689845). 
Число 
Q  —  золотое  сечение.  Все  три  числа 
фундаментальны.  И,  несмотря  на  то, 
что  Уран  (третья  планета  от  Плуто­
на)  в  табл.  24  и  26  побивает  рекорды 
по  точности  совпадения  чисел,  Земля 
(третья  планета  от  Меркурия)  все  же 
выходит  на  первый  план  по  фундамен­
тальности  чисел  во  всех  трех  таблицах 
(24,  26,  29).  По  этим  данным  Земля  — 
самая  гармоничная  планета  в  солнеч­
ной  системе.
Факты  этого  параграфа,  хотя  и  ука­
зывают  на  сложность  проблемы  числа
3
,  все  же  можно  сказать,  что  смысл 
числа  3  отличен  от  смысла  числа  7  и 
явно  связан  с  устойчивостью,  целост­
ностью  любых  систем  как  таковых  *. 
Не  случайно  оказалось,  что  закон  II 
основан  на  числе  -уЗ.
*  Д ополн ительн ы е  ф акты   в  пользу  этого  со о б р а­
ж ени я.  В  основе  устойчивости:  1)  в  музыке: 
трезвучие,  т ер ц о в а я   структура  аккорд ов,  закон 
изменения 
в 
4-й 
р а з  
и 
др.; 
2) 
тр и ад а  
( А В Л \  —  следстви е  формулы   (1)  )  в  музыке,  в 
архитектуре,  в  познании;  3)  в  м атем ати ке  и 
логи ке  третий  член  необходим  д л я   связи   двух, 
что  относится  и  к  зависим ости  y  =  f{х)\  4)  си м ­
м етрия  (3  ч л е н а ):  левое,  правое,  середи н а; 
5)  в  ф изике:  п ространство  трехм ерно;  3  кон­
станты   h y  с ,  е\  3  основные  частицы   а то м а : 
протон,  нейтрон,  электрон;  наконец,  н еобходи­
м ая  тройка  —  грам м ,  сантим етр,  секунда;  6)  в 
т аб л и ц е   М ен д елеева:  3  группы  элем ен тов  — 
основные,  переходны е,  лан тан и д ы ;  3  первые 
периода  состоят  т о ль к о   из  основны х  эл ем ен ­
тов,  т.  е.  н аи более  устойчивы х  и  р асп р о с т р а ­
ненных  в  природе;  3  первые  периода  о б ъ ед и ­
няю тся  основным  ритмом  целого  18  (таб л .  2 3 );
31. 
ЗНАЧЕНИЕ  СИММЕТРИИ 
И  НАРУШЕННОЙ  СИММЕТРИИ 
В  ВЫРАЖЕНИИ  ГАРМОНИИ
О 
связи  гармонии  с  нарушенной 
симметрией  был  особый  разговор  в 
§  15  и  27.  Продолжим  его,  но  начнем 
с  симметрии,  причем  с  симметрии  кон­
кретных  предметов.
Фигура  симметрична,  если  она  сов­
мещается  сама  с  собой  после  некото­
рых  преобразований:  поворотов,  пере­
носов 
(трансляций), 
отражений 
в 
плоскостях  и  т.  д.  С  помощью  таких 
элементов  симметрии  можно  размно­
жать  фигуры,  как,  например,  в  бордю­
рах,  орнаментах.  Но  не  только  фигу­
ры,  а  и  законы.  Так,  в  физике  законы 
природы  не  изменяются  при  переходе 
от  одной  системы  координат  к  другой, 
т.  е.  законы  инвариантны  относительно 
определенных  преобразований  (напри­
мер,  преобразований  Лоренца).  Это 
своеобразное 
размножение 
(обобщ е­
ние):  симметрия  (преобразования)  д е ­
лает  законы  всеобщими,  действитель­
ными  в  любой  системе.
То  же  самое  у  нас  с  той  разницей, 
что  здесь  преобразование  происходит 
не  с  фигурами,  а  с  числами,  и  не  с  по­
мощью  поворотов  и  отражений,  а  по 
формуле  (21).  По  этой  формуле  числа 
(подобно  фигурам)  можно  размножать 
по  диапазонам  S K.  Пример  такой  транс­
ляции  числа  Ф  приведен  в  §  13.  П о ­
вторим  его:
7)  в  генетике:  триплеты ;  8)  трехзн ач ность: 
7  о к т а в = 2 7= 1 2 8   —  первое  трех зн ач н о е  число 
целых  степеней  числа  2.  Все  эти  ф акты   у к а з ы ­
ваю т  на  с в я з ь   пон ятия  «тройственность»  с  по­
нятиям и  «устойчивость»,  «целостность».

+  
2
 
+ 1
 
— 1
 
— 2
 
— 3 
— 4
. .. ± 1 ,6 1 8   ± 1 , 2 3 6   ± 0 , 8 0 9   ± 0 , 6 1 8   ± 0 , 4 0 5   ± 0 , 3 0 9   ±   ... 
(51)
Принадлежность  именно  этих  чи­
сел  к  золотому  сечению  была  извест­
на,  а  вот  точный  закон  получения  их 
(т.  е.  S K)  известен  не  был.  Благодаря 
S K
 
раскрывается 
многообразное 
с о ­
держание  золотого  сечения  и  расши­
ряется  это  понятие  числами,  ранее  с 
золотым  сечением  не  связываемыми. 
Например,  в  табл.  24  число  Марса 
0,03863  понять  как  число  Ф  можно 
только  с  помощью  S K.  То  же  самое 
с  законом  II.  Он  вообще  возник  как 
сущность  S K
  и  благодаря  этому  полу­
чил  многообразное  выражение  в  виде 
числовых  рядов  S H.
Таким  о б разом ,  как  законы   ф и з и ­
ки  обобщаются  симметрией  на  все 
системы,  так  и  законы  гармонии  II  и 
I I I   обобщаются  S к  на  все  диапазоны , 
т.  е.  на  всю  ч исловую   ось.
Кроме 
того, 
преобразования 
S K
 
связывают  законы  II  и  III,  т.  е.  числа 
Р  и  Ф,  и  благодаря  этому,  а  также  б л а ­
годаря  другим  приложениям,  S K
  р аз­
множает  количество  чисел,  выражаю­
щих  законы  II  и  III  в  одном  и  том  же 
диапазоне.  Например,  только  диапазон
— 
1
  содержит 
12
  чисел  золотого  сече­
ния  (см.  табл.  17),  каждое  из  которых 
может  быть  размножено  по  формуле 
(
2 1
)  во  все  диапазоны.
Выходит,  что  физики,  обнаружив 
число  137,  тем  самым  обнаружили  з о ­
лотое  сечение  в  природе.  Выходит  так­
же,  что  загадка  золотого  сечения  (н а­
личие  в  одних  шедеврах  искусства  и 
отсутствие  в  других)  объясняется  тем, 
что 
его 
многообразное 
выражение 
просто  не  было  известно.
Таково 
принципиальное 
значение 
S K
 
в
 
выражении  гармонии.  Рассмотрим 
теперь  значение  законов  II  и  III  в  вы­
ражении  гармонии.
Закон  II: 
~ь  =   у   ( x = x rap).  Его
смысл:  на  какую  часть  меньшей  вели­
чины  среднее  превосходит  меньшую, 
на  такую  же  часть  большей  величины 
эта  большая  превосходит  среднее.  В 
гармонической  пропорции  неравенство 
частей  уравновешивается  равенством 
отношений  разниц  между  частями  и 
средним  и  самих  частей  [21,  с.  2 3 ].
Закон  III: 
^  _   а-Н>  (а =  Хгу  £ го
о 
а 
4 
'
смысл:  меньшая  часть  так  относится 
к  большей,  как  большая  —  к  целому, 
т.  е.  в  золотом  сечении  неравенство 
частей  «уравновешивается  однородным 
отношением  их  между  собой  и  с  це­
лым»  [14,  с.  26].
Итак,  в  з а к о н а х   II  и  II I  среднее 
пр опорциональ ное  являет ся  р е г у л и р у ю ­
щ им   звеном  св я зи   частей  в  целое.  Но 
в  законе  I  такого  смысла  среднее  х к 
не  содержит.  В  чем,  собственно,  з а ­
ключается  симметрия  в  законе  I?  Возь­
мем  пару  из  золотых  чисел:  1,618  и 
1,236.  Симметрия  здесь  заключается 
в  том,  что  формула  (
2 1
)  переводит 
число  1,618  в  1,236,  а  1,236  —  в  1,618, 
так  что  пара  этих  чисел  остается  не­
изменной,  переходит  сама  в  себя.  Это 
неизменение,  т.  е.  сохранение,  и  есть 
сущность  S K,  как  и  всякой  симметрии.
Таким  образом,  законы   II  и  I I I  в ы ­
ражают  связь  частей  в  целое  —  суть 
гармонии,  и  эту  суть  сохраняют  и  р а з ­

множают  п реоб разован ия  S K.  Если  го­
ворить  строго,  то  законы  II  и  III  всег­
да  выражаются  через  S Ky  даж е  тогда, 
когда  числа,  казалось  бы,  получены 
без  преобразований:  ведь  перевод  чис-
ла,  например  из  Д   в  Д ,  по  формуле
(21)  означает  просто  умножение  числа 
на  единицу.  А  это  есть  тоже  преобра­
зование.
Итак,  S K
  есть  форма  выражения  з а ­
конов  II  и  III.  Если  ее  отделить  от  этих 
законов,  т.  е.  преобразовать  по  S K,  ска­
жем,  случайные  числа,  тогда  инвариан­
ты  S K
  потеряют  содержание  и  оголится 
чистый  смысл  симметрии  как  таковой: 
это  форма  (правильность)  —  преобра­
зования,  движение,  дисгармония.  П а ­
радоксально!  Симметрия  и  дисгармо­
ния!
Действительно,  рассмотрим  только 
закон  I.  Он  выражается  числами  (д'2)". 
Так  как  п  —  целое,  то  возможны  два 
случая:  n =  2k  и  п =  2 / г + 1 .   В  случае 
n =  2k  получаем  числа  1,  2,  4,  8, 
т.  е.  дихотомию.  В  музыке  это,  в  част­
ности,  прима  и  октавы.  Казалось  бы, 
октава  —  самая  что  ни  на  есть  устой­
чивость.  Но  только  из  одних  октав  (т.  е. 
из  одного  звука)  музыки  не  бывает. 
Или  если  она  бывает,  то  это  дисгармо­
ния.
Другой  пример.  Идеализируем  д е ­
ление  клеток  в  биологии.  Пусть  в  каж ­
дом  акте  деления  все  клетки  делятся 
«одновременно».  Такое  деление  будет 
выражать  только  дихотомию,  и  не  ясно, 
как  оно  может  прекратиться,  т.  е.  био­
логический  объект  будет  расти  беско­
нечно,—  опять  дисгармония. 
(В  § 1 5  
мы  предполагали,  что  неодновремен- 
ность  актов  деления  приводит  к  мно-
О б м а н  
з р е н и я
( ф р а г м е н т ) ^
s i n  
45°= c o s 4 5 ° = y ^
13.  О бм ан  зрения  (ф р а гм е н т ).  Sin  45° =  cos45° =
= л[Щ
гообразию  «числового  дерева»  нару­
шенной  симметрии  и  тем  самым  к  це­
лостности  и  гармонии.)
Возьмем  теперь  случай  п =  
2 / ? + 1 ,  
т.  е.  числа: 
д 2 ,   (д/2)- 1 ,  (д/2)- ^  
и  т. д.  
В  музыке  (в  темперации) 
д ' 2
—  зн а ­
чение  тритона  —  диссонанса-наруши- 
теля. 
Кстати,  отношения  ритмов-на- 
рушителей 
в 
таблице 
Менделеева 
(см. 

жүктеу/скачать 57,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: