ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР

20
№ 2 (62), 2014   
 
 
                                   Regional Bulletin of the East
онда ол сан нөл цифрымен аяқталмайды» деген теорема «Егер натурал х саны 
5-ке  бөлінсе,  онда  ол  сан  нөл  цифрымен  аяқталады»  деген  теоремаға  қарама-
қарсы, ал соңғы теорема «Егер натурал х саны нөл цифрымен аяқталса, онда ол 
сан 5-ке бөлінеді» деген теоремаға кері теорема болады.
(1)  және  (3)  түріндегі  теоремалардың  мәндес  екендігін,  яғни  екеуінің 
бірдей не ақиқат, не жалған болатындығын аңғару қиын емес. Міне, осы жағдай 
контрапозиция  әдісі  (қарсы  жақтан  дәлелдеу  әдісі)  бойынша  дәлелдеудің 
негізін құрайды. Оның маңызы мынада: (∀×∈Х)(А(х)⇒В(х)) (1) теоремасының 
ақиқаттығын дәлелдеу үшін, (∀×∈Х)(
Â
(х)⇒
À
(х)) (3) теоремасының ақиқатты-
ғын дәлелдейді, өйткені егер (3) теореманың ақиқаттығы дәлелденсе, онда (1) 
түрдегі теорема да ақиқат болады.
Контрапозиция  әдісімен  «Егер  екі  түзу  үшінші  түзуге  параллель  болса, 
онда олар өзара параллель болады» деген теореманы дәлелдейік. Бұл теореманы 
(∀×, у∈Х)(А(х,у)⇒В(х,у)) түрінде жазуға болады. Мұндағы Х – жазықтықтағы 
түзулер жиыны. А(х,у) – «х және у түзулері с түзуіне параллель», ал В(х,у) – «х 
түзуі у түзуіне параллель» деген екі орынды предикаттар болады [4].
Енді  теореманың  қорытындысы  В(х,у)  жалған  дейік,  яғни  х  түзуі  у 
түзуіне параллель емес болсын. Бұдан х және у түзулерінің жазықтықтың бір 
Р  нүктесінде  қиылысатыны  келіп  шығады.  Бұл  жағдайда,  Р  нүктесі  арқылы  с 
түзуіне параллель екі түзу өтетін болады. Бұл параллельдік аксиомасы бойынша 
мүмкін емес. Олай болса, х түзуінің у түзуіне параллель еместігінен олардың с 
түзуіне параллель еместігі келіп шығады. Басқаша айтқанда, (∀×, у∈Х)(
Â
(х,у)⇒
À
(х,у)) түріндегі теорема ақиқат, ендеше, берілген «Егер екі түзу үшінші түзуге 
параллель болса, онда олар өзара параллель болады» деген теорема, яғни (∀×, 
у∈Х)(А(х,у)⇒В(х,у)) түріндегі теорема да ақиқат болады.
ЖАТТЫҒУЛАР
1 Мына теоремалардың қайсысы ақиқат  болады?  Олардың қайсысы бір-
біріне қарағанда кері, қарама-қарсы теорема болады?
а)  егер  қосылғыштардың  әрқайсысы  7-ге  бөлінсе,  онда  қосынды  да  7-ге 
бөлінетін болады;
ә) егер қосылғыштардың бірде-бірі 7-ге бөлінбесе, онда қосынды да 7-ге 
бөлінбейтін болады;
б) егер қосынды 7-ге бөлінсе, онда әрбір қосылғыш 7-ге бөлінетін болады;
в)  егер  қосынды  7-ге  бөлінбесе,  онда  қосылғаштардың  бірде-бірі  7-ге 
бөлінбейді.
2 Келесі теоремаларды контрапозиция (қарсы жақтан дәлелдеу) әдісімен 
дәлелдеңіздер:
а) егер түзу параллель түзулердің бірін қиып өтсе, онда екіншісін де қиып 
өтеді;
М.Н. ЧУКотаЕв, Е.М. НУРтаЗиНа

21
Шығыстың аймақтық хабаршысы · Региональный вестник Востока                № 2 (62), 2014
ә)  кез  келген  үшбұрыштың  үлкен  бұрышына  қарсы  үлкен  қабырғасы 
жатады.
Қорыта  айтқанда,  мектеп  оқушылары  көптеген  теоремалардың  ақи-
қаттығына  көз  жеткізу  үшін,  «қарсы  жору»  әдісіне  жүгінеді,  бірақ  оның  мән-
мағынасын  жеткілікті  түрде  түсіне  бермейді.  Сондықтан  пән  мұғалімдері 
сыныптан тыс сабақтарда теоремалар туралы және олардың түрлерінен мәлімет 
беріп отырса, оқушылар кері теоремаға қарама-қарсы теореманың ақиқаттығына 
көз жеткізу арқылы тура теореманы да саналы түрде оңай дәлелдейтін болады, 
яғни оның да ақиқаттығына көз жеткізе алады.
ӘДЕБИЕТТЕР ТіЗіМі
1. Виленкин Н.Я. Математика / Н.Я. Виленкин [и др.]. – М.: Просвещение, 1977. 
– 352 с.
2.  Стойлова  Л.П.  Математика:  учебник  для  студ.  высш.  пед.  учеб.  заведений  / 
Л.П. Стойлова. – М.: Изд. центр «Академия», 1999. – 424 с. 
3. Виленкин Н.Я. Задачник-практикум по математике / Н.Я. Виленкин [и др.]. – 
М.: Просвещение, 1977. – 205 с.
4. Чукотаев М.Н. Математика: оқу құралы / М.Н. Чукотаев. – Өскемен: ШҚМУ 
Баспасы, 2001.
REFERENCES
1. Vilenkin N.y., Pushkalo A.M., Rozhdestvenskaya V.B., Stoilova L.P., Matematika, 
1977, 352 (in Russ).
2. Stoilova L.P., Matematika. Uchebnik dlya stud.vush.ped.ucheb.zavedenyi, 1999, 424 
(in Russ).
3.  Vilenkin  N.y.,  Lavrova  N.N.,  Rozhdestvenskaya  V.B.,  Stoilova  L.P.,  Zadachnik-
praktikum po matematike, 1977, 205 (in Russ).
4. Chukotayev M.N., Matematika: oku kuraly. ShKMU Baspasu, 2001 (in Kaz).
УДК 004.75
Р. дУаНҚаНОв, Е.а. МалГаЖдаРОв
Восточно-Казахстанский государственный университет имени С. Аманжолова, 
г. Усть-Каменогорск, Казахстан
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ 
ЖИДКОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБЛАСТЯХ 
МЕТОДОМ ДОПОЛНЕННЫХ ОБЛАСТЕЙ
В данной работе рассматривается метод дополненных областей для численного 
моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости в сложных геометрических об-
ластях. Задача рассматривается в дискретно заданной двусвязной области с криволиней-
ной границей. Проводится сплайн-интерполяция криволинейных границ. Разработана 
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

22
№ 2 (62), 2014   
 
 
                                   Regional Bulletin of the East
монотонная  конечно  разностная  схема  и  алгоритм  численной  реализации  уравнения 
Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Получены численные результаты при 
различных количествах узлов сетки. 
Ключевые слова: численное моделирование, сплайн-интерполяция, конвектив-
ные  слагаемые,  криволинейные  сетки,  дополненная  область,  течения  несжимаемой 
жидкости.
ТҰТҚЫР СЫҒЫЛМАЙТЫН СҰЙЫҚТЫҚТЫҢ АҒЫСЫН 
КҮРДЕЛі ОБЛЫСТАРДА ТОЛЫҚТЫРЫЛҒАН АЙМАҚТАР 
ӘДіСі КӨМЕГіМЕН САНДЫҚ ҮЛГіЛЕУ
Берілген  жұмыста  тұтқыр  сығылмайтын  сұйықтықтың  ағысын  күрделі  гео-
метриялық  облыстарда  толықтырылған  аймақтар  әдісі  көмегімен  сандық  үлгілеу 
қарастырылады. Сандық үлгілеу кезінде қисық сызықты шекарасы бар дискретті берілген 
облыс  қолданылады.  Қисық  сызықты  шекараларға  сплайн-интерполяция  жүргізіледі. 
Сандық үлгілеу үшін Навье-Стокстың тұтқыр сығылмайтын сұйықтыққа қолданылатын 
теңдеуі  таңдалған.  Монотонды  ақырлы  айырымдық  сұлба  мен  сандық  жүзеге  асыру 
алгоритмі әзірленді. Тордың әртүрлі түйіндері негізінде сандық нәтижелер алынды.
түйін сөздер: сандық үлгілеу, сплайн-интерполяция, конвективті қосылғыштар, 
қисық сызықты торлар, толықтырылған аймақ, сығылмайтын сұйықтық ағысы.
NUMERICAL MoDELING oF THE CURRENT To VISCoUS 
INCoNDENSABLE LIQUID IN FREE AREA By METHoD 
oF THE CoMPLEMENTED AREAS 
In given work is considered method of the complemented areas for the numerical mod-
eling of the current to viscous incondensable liquid in complex geometric area. At modeling 
is  used  discrete  given  two  liason  areas  with  curvilinear  border.  Spline-interpolation  of  the 
curvilinear borders is Conducted. Equations Navie-Stoksa is chose for the numerical model-
ing for viscous incondensable liquid. It Is designed monotonous certainly scathing scheme and 
algorithm to numerical realization. Numerical results are Received under different amount of 
the nodes of the net.
Keywords: numerical modeling, spline-interpolation, convectional composed, curvi-
linear nets, complemented area, currents to incondensable liquid.
Интенсивное развитие высокоскоростной вычислительной техники в по-
следнее время позволило приступить к решению сложных задач сплошных сред, 
имеющих важное практическое значение. Численное моделирование установив-
шихся течений жидкости в криволинейных границах производилось в большей 
части работ на основе модели вязкой несжимаемой жидкости. Широкое распро-
странение получили алгоритмы, основанные на уравнениях Навье-Стокса, ис-
пользующие метод конечных разностей. 
Численные методы краевой задачи математической физики в сложных об-
ластях рассматривали во многих работах зарубежные и отечественные ученые 
такие, как Вабищевич П.Н., Отелбаев М.О., Смагулов Ш.С., Данаева Н.Т., Бал-
дыбек Ж., Темирбеков Н.М. и т.д.
Р. дУаНҚаНов, Е.а. МалГаЖдаРов

23
Шығыстың аймақтық хабаршысы · Региональный вестник Востока                № 2 (62), 2014
В настоящее время существует несколько методов для численного решения 
краевых задач в сложных геометрических областях, это метод криволинейных 
сеток и метод фиктивных областей. Использование метода криволинейных се-
ток требует преобразования уравнения в криволинейные координаты, которые 
имеют более сложный вид, чем исходные уравнения. И к тому же многообразные 
требования, накладываемые на разностные сетки, делают построения криволи-
нейных сеток сложной математической проблемой. 
Метод  фиктивных  областей  в  его  традиционной  постановке  прост  в  ис-
пользовании и легко реализуется на ЭВМ. Но его недостатком является потеря 
точности из-за присутствия во вспомогательных уравнениях малого параметра, 
который приведет к плохой обусловленности системы разностных уравнений. 
В данной работе рассматривается численное моделирование течения вяз-
кой несжимаемой жидкости в дискретно заданной двусвязной области методом 
дополненных областей. Предлагается алгоритм численной реализации предло-
женного метода в работе [1], в котором отсутствует малый параметр. 
Рассмотрим уравнения Навье-Стокса в двумерной области 
Ω
 с границей 
Ω
∂
. 
 
(
)
f
u
p
u
u
t
u





+
∆
=
∇
+
∇
⋅
+
∂
∂
µ
;  
(1)
 
0
=
⋅
∇
u

.  
(2)
с начальными и граничными условиями 
( )
y
x
u
u
,
0

 =
 при 
( )
Ω
∈
y
x,
, 
0
=
t
 
(
)
t
y
x
u
,
,
ϕ
=

 при 
( )
Ω
∂
∈
y
x,
, 
(
]
T
t
,
0
∈
.  
(3)
Здесь
y
x,
 - декартовы координаты, 
t
 - время, 
u

 - поле скоростей, 
p
 - от-
клонения давления, 
µ
 - коэффициенты вязкости. 
Всю рассматриваемую область непрерывного изменения аргумента заме-
ним областью дискретного изменения, то есть введем сетку следующего вида: 
 
( )
( )
;
1
,
1
,
,
2
1
2
2
2
1
1
1




−
=
−
=
=
=
=
Ω
h
j
y
h
i
x
n
l
h
n
l
h
j
i
h
 
 (4)
.
,1
,
,1
2
1
n
j
n
i
=
=
В работе использовался разнесенный сеточный шаблон, в котором давле-
ние и дивергенция определяются в узлах разностной сетки, функция тока в цен-
тре разностной ячейки, а компоненты скорости в центрах ее граней. 
Компоненты скорости, давления и функция тока определяются в точках:
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

24
№ 2 (62), 2014   
 
 
                                   Regional Bulletin of the East
(
)
{
}
;
,
2
1
:
2
1
h
j
y
h
i
x
u
j
i
=
−
=
(
)
{
}
.
2
1
,
:
2
1
h
j
y
h
i
x
j
i
−
=
=
υ
{
}
.
,
:
2
1
h
j
y
h
i
x
p
j
i
=
=
 
(
)
(
)
{
}
.
2
1
,
2
1
:
2
1
h
j
y
h
i
x
j
i
−
=
−
=
ψ
 
Разностные аналоги уравнений (1), (2) 
(1’)
 
(2’)
где 
  
Р. дУаНҚаНов, Е.а. МалГаЖдаРов
q
n
j
i
h
q
n
j
i
n
j
i
n
j
i
h
n
j
i
n
j
i
f
u
h
p
p
u
L
u
u
+
Λ
=
−
+
+
−
−
−
−
−
+
−
,
2
/
1
1
,
1
,
,
2
/
1
,
2
/
1
2
/
1
,
2
/
1
µ
τ
q
n
j
i
h
q
n
j
i
n
j
i
n
j
i
h
n
j
i
n
j
i
f
h
p
p
L
+
Λ
=
−
+
+
−
−
−
−
−
+
−
2
/
1
,
1
1
,
,
2
/
1
,
2
/
1
,
2
/
1
2
/
1
,
υ
µ
υ
τ
υ
υ
0
2
1
2
/
1
,
1
2
/
1
,
1
1
,
2
/
1
1
,
2
/
1
=
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
+
h
h
u
u
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
υ
υ
(
)
(
)
(
)
(
)








−
−
+
−
+
+
+








−
−
+
−
+
=
−
+
−
+
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
2
,
2
/
1
1
,
2
/
1
2
/
1
,
2
/
1
2
/
1
,
2
/
1
2
1
,
2
/
,
2
/
1
2
/
1
,
2
/
1
2
/
1
,
2
/
1
1
,
2
/
1
,
2
/
1
,
,
1
,
2
/
3
,
2
/
1
,
1
,
1
,
2
/
1
2
1
2
1
h
u
u
h
u
u
h
u
u
u
u
h
u
u
u
u
u
L
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
h
υ
υ
υ
υ
(
)
(
)
(
)
(
)








−
−
+
−
+
+
+








−
−
+
−
+
=
−
+
−
−
−
−
−
−
+
−
+
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
2
2
/
1
,
2
/
1
,
,
,
2
2
/
3
,
2
/
1
,
1
,
1
,
1
2
/
1
,
2
/
1
,
1
2
/
1
,
2
/
1
2
/
1
,
2
/
1
1
2
/
1
,
1
2
/
1
,
2
/
1
,
2
/
1
2
/
1
,
2
/
1
2
/
1
,
2
1
2
1
h
h
h
u
u
h
u
u
L
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
h
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ

25
Шығыстың аймақтық хабаршысы · Региональный вестник Востока                № 2 (62), 2014
разностные  аналоги  соответствующих  конвективных  и  диффузионных  слагае-
мых. Для конвективных слагаемых использовалась разностная схема с учетом 
знака  и  значение  компонентов  в  неопределяющих  узлах  сетки  определяется 
осреднением. Например 
2
2
/
1
,
2
/
1
,
,
n
j
i
n
j
i
n
j
i
−
+
+
=
υ
υ
υ
.
Опишем алгоритм численного решения задачи (1)-(3). Для численной реа-
лизации используем метод расщепления по физическим процессам.
В первую очередь определим промежуточные значения скорости 
( )
υ
,
u
u =

 
без учета давления:
 
; 
 (5)
Затем по промежуточному значению определяем поле давления. Для того 
чтобы получить уравнение для давления следующие выражения
 (6)
 (7)
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ








−
−
−
+
+








−
−
−
=
Λ
−
−
−
−
−
−
+
−
+
−
−
−
−
−
+
−
2
1
,
2
/
1
,
2
/
1
2
/
1
,
2
/
1
,
2
,
2
/
1
1
,
2
/
1
2
/
1
,
2
/
1
,
2
1
,
2
/
3
,
2
/
1
,
1
,
1
,
2
/
1
,
2
/
1
,
,
1
,
2
/
1
1
1
h
u
u
h
u
u
h
h
u
u
h
u
u
h
u
n
j
i
n
j
i
j
i
x
n
j
i
n
j
i
j
i
y
n
j
i
n
j
i
j
i
x
n
j
i
n
j
i
j
i
x
n
j
i
h
q
µ
µ
µ
µ
µ








−
−
−
+
+








−
−
−
=
Λ
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
−
2
2
/
3
,
2
/
1
,
1
,
,
2
2
/
1
,
2
/
1
,
,
,
2
1
2
/
1
,
1
2
/
1
,
2
/
1
,
2
/
1
,
1
2
/
1
,
2
/
1
,
1
2
/
1
,
2
/
1
,
1
2
/
1
,
1
1
h
h
h
h
h
h
n
j
i
n
j
i
j
i
y
n
j
i
n
j
i
j
i
y
n
j
i
n
j
i
j
i
x
n
j
i
n
j
i
j
i
x
n
j
i
h
q
υ
υ
µ
υ
υ
µ
υ
υ
µ
υ
υ
µ
υ
µ
q
n
h
q
n
h
n
n
f
u
u
L
u
u
+
Λ
+
−
=
−
+




µ
τ
2
1
1
1
,
1
1
,
2
/
1
,
2
/
1
1
,
2
/
1
h
p
p
u
u
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
+
−
+
+
−
+
−
−
−
=
τ
2
1
1
,
1
,
2
/
1
2
/
1
,
1
2
/
1
,
h
p
p
n
j
i
n
j
i
n
j
i
n
j
i
+
−
+
+
−
+
−
−
−
=
τ
υ
υ

26

жүктеу/скачать 6,69 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: