ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

10
№ 2 (62), 2014   
 
 
                                   Regional Bulletin of the East
Таблица 2 – Химический состав поперечного сечения сплава 67КН5Б после облучения 
ионами до дозы 2*10
17
ион/см
2
 (в весовых %)
Спектр
o
N
Fe
Co
Ni
Nb
Al
Si
Ca
Итого, %
Спек. 1 9.06 1.82 1.35 50.88 22.86 4.78
8.37
0.51
0.37
100.00
Спек. 2 4.69 0.00 1.53 58.96 25.73 4.94
3.70
0.44
100.00
Спек. 3 4.36 0.00 1.74 59.34 26.08 4.74
3.22
0.52
100.00
Спек. 4 3.83 0.00 1.57 59.84 25.86 5.12
3.15
0.34
0.28
100.00
Электронно-микроскопическими  исследованиями  установлено,  что  в  ре-
зультате электронного облучения происходит изменение морфологии поверхно-
сти образцов сплава (рисунок 3). Видно, что поверхность неоднородна, имеет 
развитый рельеф. В результате облучения электронами с энергией 1,3 МэВ до 
дозы 0,28×10
19
 е
-
/см
2
 на поверхности образца сплава 67КН5Б были обнаруже-
ны поры и мелкодисперсные включения размерами 0,1-0,5 мкм. Для выяснения 
химического состава дефектов был проведен микроанализ в режиме энергетиче-
ского дисперсионного анализа. На рисунке 4 приведены результаты рентгенов-
ского  микроанализа  в  области  микровыделений  и  изображение  соответствую-
щего участка поверхности сплава 67КН5Б, облученного электронами с энергией 
1,3 МэВ до дозы 0,28×10
19
 е
-
/см
2
. Видно, что мелкодисперсные включения обо-
гащены ниобием. Предполагается, что эти мелкодисперсные включения образу-
ются в результате поверхностной сегрегации ниобия.
Рисунок 3 – Микроструктуры поверхности сплава 67КН5Б после облучения электро-
нами с энергией 1,3 МэВ до дозы 0,28×10
19
 е
-
/см
2
На  рисунке  5  представлены  рентгенограммы  сплава  67КН5Б  с  облучен-
ной электронами и с противоположной облучению стороны мишени. Из их со-
поставления следует, что на облученной стороне отражения от плоскости (220) 
становятся более интенсивными, что свидетельствует об изменении ориентации 
кристаллитов. При этом было установлено, что параметр решетки по сравнению 
Б.К. Рахадилов, М.К. СКаКов, Е.а. алтаЕв

11
Шығыстың аймақтық хабаршысы · Региональный вестник Востока                № 2 (62), 2014
с исходным не меняется (в пределах погрешности). Но рентгеноструктурный ме-
тод не фиксирует однозначно глубину структурных изменений. Рентгенограмма 
необлученной стороны мишени аналогична рентгенограмме исходного образца. 
Рентгеноструктурный анализ не смог дать информацию о фазовом составе мел-
кодисперсных  включений,  возможно,  ввиду  их  низкой  концентрации  и  малой 
глубины образования.
Рисунок 4 – Результаты рентгеновского микроанализа в области микровыделений (а) 
и  изображение  соответствующего  участка  поверхности  сплава  67КН5Б,  облученного 
электронами с энергией 1,3 МэВ до дозы 0,28×10
19
 е
-
/см
2
 (б)
Рисунок 5 – Рентгенограммы поверхности образцов сплава 67КН5Б необлученной (а) и 
облученной (б) стороны электронами до дозы 0,28×10
19
 е
-
/см
2
 энергией 1,3 МэВ
Микротвердость  сплава  67КН5Б  в  исходном  состоянии  составляет 
5000 МПа и увеличивалась после облучения ионами азота в зависимости от дозы 
облучения  (рисунок  6).  Микротвердость  образцов,  облученных  ионами  азота, 
увеличивается на 10-50% по сравнению с исходным значением, что согласуется 
с представлением об упрочняющем воздействии ионно-лучевой обработки ма-
териалов. На рисунке 6 представлена зависимость микротвердости от дозы им-
плантированных ионов. Видно, что максимальное увеличение микротвердости 
(7800 МПа) образцов наблюдается при дозе 5×10
17
 ион/см
2 
(нагрузка на индентор 
20 г.). Предполагается, что увеличение микротвердости при облучении связано 
с интенсивным образованием радиационных дефектов и обнаруженных каплео-
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
  а 
  б 
  б 
  а 

12
№ 2 (62), 2014   
 
 
                                   Regional Bulletin of the East
бразных частиц новых фаз.
Рисунок 6 – Зависимость микротвердости сплава 67КН5Б от дозы имплантированных 
ионов азота
На рисунке 7 приведены зависимости микротвердости от нагрузки (то есть 
распределение микротвердости по глубине) сплава 67КН5Б, облученных элек-
тронами с энергией 1,3 МэВ до дозы 0,28×10
19
 е
-
/см
2
. Микротвердость поверхно-
сти сплава после электронного облучения, при малых нагрузках на пирамидку, 
увеличивается почти в 2 раза, по сравнению с исходным значением, что согла-
суется с представлением об упрочняющем воздействии электронно-лучевой об-
работки материалов.
Рисунок 7 – Микротвердость поверхностных слоев сплава 67КН5Б до и после облуче-
ния непрерывными электронами (1,3 МэВ, D=0,28×10
19
 е
-
/см
2
) при различных нагрузках 
индентора
Б.К. Рахадилов, М.К. СКаКов, Е.а. алтаЕв

13
Шығыстың аймақтық хабаршысы · Региональный вестник Востока                № 2 (62), 2014
Выявлено, что электронное облучение приводит к возрастанию микротвер-
дости сплава на Co-Ni-основе почти в 2 раза. Предполагается, что увеличение 
микротвердости  облученного  сплава  обусловлено  изменениями  структурно-
фазового  состояния  поверхностных  слоев  с  образованием  мелкодисперсных 
включений и радиационных дефектов при обработке электронным пучком.
Таким образом, проведенные исследования свидетельствуют об увеличе-
нии микротвердости образцов, облученных ионами азота и электронами. Опре-
делено, что в результате облучения ионами азота и электронами на поверхности 
сплава образуются мелкодисперсные включения за счет поверхностной сегре-
гации ниобия. Сформированные в результате облучения ионами азота и элек-
тронами мелкодисперсные включения и радиационные дефекты способствуют 
повышению микротвердости поверхностного слоя дисперсионно-твердеющего 
сплава 67КН5Б. Впервые, обнаружен эффект поверхностной сегрегации ниобия 
при облучении сплава 67КН5Б ионами азота и электронами, авторы утвержда-
ют, что для модификации поверхности подобных сплавов, можно использовать 
ионное и электронное облучение. Тем не менее, чтобы понять механизм взаимо-
действия ускоренных ионов и электронов с твердым телом, который приводит 
к макроскопическим изменениям, требуется большой объем дальнейшей экспе-
риментальной и теоретической работы. Для исследования этого механизма не-
обходимо использовать новые экспериментальные методы. Как считают авторы 
работы [6], ими должны стать атомно-ядерные неразрушающие методы, которые 
не вносят искажений в процессе исследований и могут дать надежную информа-
цию о профилях распределения внедренных ионов и протяженности области с 
повышенной концентрацией дефектов. 
Заключение
Анализируя полученные в работе результаты, можно сделать следующие 
выводы:
– установлено, что при обработке поверхности электронными и ионными 
пучками имеют место морфологические изменения и изменения элементного со-
става сплава 67КН5Б;
– впервые обнаружено, что в результате облучения ионами азота и электро-
нами  на  поверхности  дисперсионно-твердеющего  сплава  67КН5Б  образуются 
мелкодисперсные включения за счет поверхностной сегрегации ниобия; 
– установлено, что ионная имплантация приводит к возрастанию микро-
твердости на 10–50%, в зависимости от дозы облучения. Микротвердость дости-
гает максимума при дозе 5×10
17
 ион/см
2
. Предполагается, что увеличение микро-
твердости при облучении связано с интенсивным образованием радиационных 
дефектов и каплеобразных частиц новых фаз;
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

14
№ 2 (62), 2014   
 
 
                                   Regional Bulletin of the East
– определено, что микротвердость поверхности сплава после электронного 
облучения увеличивается почти в 2 раза. Увеличение микротвердости облучен-
ного сплава обусловлено изменениями структурно-фазового состояния поверх-
ностных  слоев  с  образованием  мелкодисперсных  включений  и  радиационных 
дефектов при обработке электронным пучком; 
– разработан и предложен для практического применения способ обработ-
ки дисперсионно-твердеющих сплавов на Co-Ni-основе ионной имплантацией 
N
+
 c энергией 100 кэВ и интегральной дозой облучения 10
17
÷5×10
17
 ион/см
2
, при-
водящий к увеличению микротвердости до 7800 МПа.
Таким образом, полученные в работе экспериментальные данные помогают 
предсказать максимальное увеличение микротвердости сплава 67КН5Б при раз-
личных видах обработок. Разработанные в работе способы и режимы упрочняю-
щих обработок, позволяют практикам-материаловедам решить проблему упроч-
нения сплава 67КН5Б методами ионной имплантации и электронно-лучевой об-
работки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Курзина И.А. Нанокристаллические интерметаллидные и нитридные структу-
ры, формирующиеся при ионно-лучевом воздействии / И.А. Курзина [и др.] – Томск: 
Изд-во НТЛ, 2008. – 324 с.
2. Кадыржанов К.К. Ионно-лучевая и ионно-плазменная модификация материа-
лов / К.К. Кадыржанов [и др.]. – М.: Изд-во МГУ, 2005, 640 с.
3. Комаров Ф.Ф. Ионная имплантация в металлы / Ф.Ф. Комаров. – М.: Металлур-
гия, 1990. – 216 с.
4. Суховаров В.Ф. Прерывистое выделение фаз в сплавах / В.Ф. Суховаров – Но-
восибирск: Наука, 1983. –164 с.
5.  Ерболатулы  Д.  Влияние  структурных  превращений  на  сверхпластические  и 
прочностные  свойства  аустенитных  никель-хромовых  и  кобальт-никелевых  сплавов  / 
Д. Ерболатулы, Д.Л. Алонцева, М.К. Скаков // Вестник КарГУ, серия Физика. – 2004. – 
№2 (34). – С. 18-21.
6. Диденко А.Н., Шаркеев Ю.П., Козлов Э.В., Рябчиков А.И. Эффекты дальнодей-
ствия в ионно-имплантированных металлических материалах / А.Н. Диденко [и др.]. – 
Томск: НТЛ. 2004. – 326 с.
REFERENCES
1. Kurzina I.А., Nanokristallicheskie intermetallidnye i nitridnye struktury, formiruy-
ushhiesya pri ionno-luchevom vozdeystvii, 2008, 324 (in Russ).
2. Kadyrzhanov K.K., Ionno-luchevaya i ionno plazmennaya modifikatsiya materialov, 
2005, 640 (in Russ).
3. Komarov F.F., Ionnaya implantatsiya v metally, F.F. Komarov, Metallurgiya, 1990, 
216 (in Russ).
4. Sukhovarov V.F., Preryvistoe vydelenie faz v splavakh, V.F. Sukhovarov, 1983, 164 
Б.К. Рахадилов, М.К. СКаКов, Е.а. алтаЕв

15
Шығыстың аймақтық хабаршысы · Региональный вестник Востока                № 2 (62), 2014
(in Russ).
5. Erbolatuly D., Vliyanie strukturnykh prevrashhenij na sverkhplasticheskie i prochnos-
tnye  svojstva  austenitnykh  nikel’-khromovykh  i  kobal’t-nikelevykh  splavov,  D.  Erbolatuly, 
D.L. Аlontseva, M.K. Skakov, Vestnik KarGU, seriya Fizika, 2004, №2(34), 18-21 (in Russ).
6.  Didenko  А.N.,  SHarkeev  yU.P.,  Kozlov  EH.V.,  Ryabchikov  А.I.,  Effekty 
dal’nodejstviya v ionno-implantirovannykh metallicheskikh materialakh, 2004, 326 (in Russ).
ӘОЖ 51:373
М.Н. ЧУКОтаЕв
1
, Е.М. НУРтаЗиНа
2
1
С. Аманжолов атындағы Шығыс Қазақстан мемлекеттік университеті, Өскемен қ., Қазақстан
2
Шығыс Қазақстан облысының ББЖ БАҰО «Өрлеу» АҚ филиалы, Өскемен қ., Қазақстан
ТЕОРЕМАЛАР
Мақалада  математикалық  логика  элементтерін  қолдана  отырып,  теореманы 
контрапозиция әдісімен дәлелдеу жолы көрсетілген.
түйін  сөздер:  квантор,  конгруэнтті,  контрапозиция  әдісі,  импликация  ұғымы, 
предикат ұғымы.
ТЕОРЕМЫ
В статье показан способ доказательства теоремы методом контрапозиции, с при-
менением элементов математической логики.
Ключевые слова: квантор, конгруэнтный, метод контрапозиции, понятие импли-
кации, понятие предиката.
THEoREMS
At the article shows the way of proving the theorem by contraposition using elements 
of mathematical logic.
Keywords: the quantifier, the congruent, the method of contraposition, the notion of 
implication, the notion of predicate. 
1 
ТЕОРЕМА ҚҰРЫЛЫСЫ
Мектеп  оқушылары  математика  курсынан  әртүрлі  теоремалармен  таныс. 
Енді біз квантор, пікір, предикат және оларға қолданылатын амалдар ұғымдарына 
сүйеніп, теореманың құрылысын, түрлерін анықтайық.
Мәселен,  «Егер  нүкте  бұрыштың  биссектрисасында  жатса,  онда  ол  осы 
бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта жататын болады» деген теорема-
ны  алайық  [1].  Бұл  теореманың  шарты  «Нүкте  бұрыштың  биссектрисасында 
жатыр»,  ал  қорытынды  бөлігі  «Нүкте  бұрыштың  қабырғаларынан  бірдей 
қашықтықта жатыр» деген предикаттар болады. Бұл теореманы жазықтықтың Р 
нүктелер жиынында берілген екі предикаттың импликациясының түрінде жазып 
көрсетуге болатынын байқаймыз, яғни А(х)⇒В(х) символымен жазуға болады. 
Бұл  екі  предикаттың  импликациясы  бұрыштың  биссектрисасында  жатқан 
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР

16
№ 2 (62), 2014   
 
 
                                   Regional Bulletin of the East
барлық нүктелер жиынында ақиқат пікірге айналатын болғандықтан, жалпылық 
кванторын  пайдаланып,  берілген  теореманы  мына  (∀×∈Р)(А(х)⇒В(х))  түрде 
жазуға  болады  және  оны  «Жазықтықтың  кез  келген  х∈Р  нүктесі  үшін,  егер 
А(х) болса, онда В(х) болады» деп оқиды. Мұндағы А(х) предикаты – «Нүкте 
бұрыштың биссектрисасында жатыр», ал В(х) предикаты – «Нүкте бұрыштың 
қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатыр» деген сөйлемдер болады.
Дәл  осылай  басқа  да  теоремаларды,  олардың  сөйлеммен  берілген 
тұжырымдамасында «егер..., онда...» сөз тіркестері болмаған жағдайда да жазуға 
болады.  Мысалы,  «Ромбының  диагональдары  өзара  перпендикуляр  болады» 
деген теореманы алып қарайық. Бұл теореманы «Егер төртбұрыш ромб болса, 
онда  оның  диагональдары  өзара  перпендикуляр  болады»  түрінде  берейік. 
Мұндағы  теореманың  шарты  болып  А(х):  «Төртбұрыш  х-ромб»  предикаты, 
ал  оның  қорытындысы  болып  В(х):  «х  ромбысының  диагональдары  өзара 
перпендикуляр»  предикаты  саналады.  Жазықтықтағы  төртбұрыштар  жиынын 
Х-пен, ал кез келген осы жиыннан алынған ромбыны х-пен белгілеп, теореманы 
мына (∀×∈Х)(А(х)⇒D(х)) (1) түрде жазамыз.
Сонымен кез келген теореманы екі А(х) мен В(х) предикаттарының импли-
кациясы (1) түрінде жазып көрсетуге болады.
Бұдан теореманың үш бөліктен тұратынын байқауға болады:
1 Мәлімдеу (түсіндіру) бөлігі. Оған ∀×∈Х жазбасы жатады. Бұл символ-
дың  көмегімен  теоремада  сөз  болып  отырған  объектілер  жиыны  туралы  және 
нені мәлімдеу керектігі айтылады.
2  Теореманың  шарты.  Ол  А(х)  предикаты  арқылы  беріледі  және  импли-
кацияның шарты болып табылады.
3 Теореманың қорытынды бөлігі. Ол В(х) предикаты арқылы беріледі және 
импликацияның қорытындысы болып табылады.
(∀×∈Х)(А(х)⇒В(х)) түрінде жазылған кез келген пікір үнемі ақиқат бола 
бермейтініне  көңіл  аудару  керек.  Мысалы,  барлық  төртбұрыштар  жиынында 
А(х): «Төртбұрыш х-параллелограмм» және В(х): «х төртбұрышының диагональ-
дары конгруэнтті» деген предикаттарды қарастырайық. Сонда «Егер төртбұрыш 
х параллелограмм болса, онда оның диагональдары конгруэнтті болады» деген 
теореманың жалған екендігін көрсету қиын емес.
Енді (∀×∈Х)(А(х)⇒В(х)) түрінде жазылған теорема ақиқат болсын делік. 
Мұндай  жағдайда  В(х)  предикаты  А(х)  предикатынан  логикалық  түрде  келіп 
шығады дейді. Сондықтан теореманың қорытындысы В(х) предикаты А(х) шар-
ты үшін қажетті шарт, ал А(х) шарты қорытынды В(х) предикаты үшін жеткілікті 
шарт болып табылады.
Мысалы, «Ромбының диагональдары өзара перпендикуляр болады» деген 
теореманы былай оқуға да болады:
М.Н. ЧУКотаЕв, Е.М. НУРтаЗиНа

17
Шығыстың аймақтық хабаршысы · Региональный вестник Востока                № 2 (62), 2014
1 Төртбұрыш ромб болуы үшін, оның диагональдары перпендикуляр болуы 
қажетті.
2 Төртбұрыштың диагональдары перпендикуляр болуы үшін, оның ромб 
болуы жеткілікті.
Кейде «қажетті шарт», «жеткілікті шарт» деген сөз тіркестерінің орнына 
«қажеттілік  белгі»,  «жеткілікті  белгі»  деген  терминдерді  пайдаланады.  Кейде 
олардың орнына жай «белгі» деп те айта береді. Сол себепті де «Егер натурал 
санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетін болса, онда ол санның өзі де 
3-ке бөлінетін болады» деген теореманы 3-ке бөлінгіштік белгі дейді.
ЖАТТЫҒУЛАР
1  Мына  теоремаларды  мәлімдеу,  шарт  және  қорытынды  бөліктерге  жік-
теңіздер. Оларды ∀,⇒ т.б. символдар арқылы жазыңыздар:
–  егер  натурал  сан  екі  нөлмен  аяқталатын  болса,  онда  ол  4-ке  бөлінетін 
болады;
–  егер  үшбұрыштың  екі  бұрышы  конгруэнтті  болса,  ол  тең  бүйірлі 
болады;
– жұп санның квадраты жұп сан болады;
– кез келген үшбұрышты сырттай шеңбер сызуға болады;
– тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты оның катеттерінің 
квадраттарының қосындысына тең.
2  Жазықтықтағы  үшбұрыштар  жиынында  А(х):  «х  үшбұрышы  тең  бүй-
ірлі»;  В(х):  «х  үшбұрышының  екі  ішкі  бұрышы  өзара  конгруэнтті»;  С(х):  «х 
үшбұрышының үш ішкі бұрыштары өзара конгруэнтті»; Д(х): «х үшбұрышының 
екі  биіктігі  өзара  конгруэнтті»;  Е(х):  «х  үшбұрышының  үш  биіктігі  өзара 
конгруэнтті»;  F(х):  «х  үшбұрышының  бір  бұрышы  45°-қа  тең»  предикаттары 
берілген.
– осы предикаттардың сәйкес жұптарынан теорема құрыңыздар;
– «Қажетті шарт», «жеткілікті шарт» терминдерін пайдаланып, осы теоре-
маларды тұжырымдаңыздар.
2 КЕРі ТЕОРЕМА
Сандардың  3-ке  бөлінгіштігінің  «Егер  натурал  санның  цифрларының 
қосындысы 3-ке бөлінетін болса, онда ол санның өзі де 3-ке бөлінетін болады» 
деген  белгісін  қарастырайық.  Бұл  теореманы  мына  (∀×∈N)(А(х)⇒В(х))  түрде 
жазуға  болады.  Мұндағы  ∀×∈N  жазбасы  теореманың  мәлімдеу  бөлігі,  А(х): 
«Натурал  санын  цифрларының  қосындысы  3-ке  бөлінеді»  деген  предикат 
теореманың  шарты,  ал  В(х):  «Натурал  сан  3-ке  бөлінеді»  деген  предикат 
теореманың қорытындысы болып саналады.
Осы  теореманың  мәлімдеу  бөлігін  өзгертпей,  оның  шарты  мен  қоры-
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР

18
№ 2 (62), 2014   
 
 
                                   Regional Bulletin of the East
тындысының  орындарын  ауыстырайық.  Онда  мынадай  (∀×∈N)(В(х)⇒А(х)) 
түрдегі  жаңа  теореманы  аламыз.  Бұл  теорема  былай:  «Егер  натурал  сан  3-ке 
бөлінетін  болса,  онда  цифрларының  қосындысы  3-ке  бөлінетін  болады»  деп 
оқылып, ол алғашқы теоремаға кері теорема деп аталады.
Сонымен А(х) және В(х) предикаттары Х жиынында берілсе, онда (∀×∈Х)
(А(х)⇒В(х))  және  (∀×∈Х)(В(х)⇒А(х))  теоремалары  өзара  кері  теоремалар  деп 
аталады [2]. Олардың мәлімдеу бөлігі бірдей болады.
Осы  қарастырылған  екі  теорема  да  ақиқат  болды.  Дегенмен  бұлай  әр 
уақытта бола бермейді.
Х  –  барлық  төртбұрыштар  жиынында  А(х):  «Төртбұрыш  х-ромб»  және 
В(х): «х төртбұрыштың диагональдары өзара перпендикуляр» деген предикаттар 
берілсін. «Егер төртбұрыш ромб болатын болса, онда оның диагональдары өзара 
перпндикуляр»  деген,  яғни  (∀×∈Х)(А(х)⇒В(х))  теореманы  қарастырайық.  Бұл 
теореманың  ақиқат  екендігі  белгілі.  Осыған  кері  теореманы  құрайық:  (∀×∈Х)
(В(х)⇒А(х)).  Бұл  теореманы  «Егер  төртбұрыштың  диагональдары  өзара 
перпендикуляр болса, онда ол ромб болады» деп оқуға болады. Бұл теореманың 
жалған екендігін көрсету қиын емес. 1-суретте АВСД төртбұрышы кескіндел -
ген. Оның диагональдары өзара перпендикуляр, бірақ төртбұрыш ромб емес.
 
В
 
А
 
С
  
Д
1-сурет
Егер (∀×∈Х)(А(х)⇒В(х)) және (∀×∈Х)(В(х)⇒А(х)) теоремаларының екеуі  
де ақиқат болатын болса, онда оларды бір теоремаға(∀×∈Х)(А(х)⇔В(х)) бірікті-
руге  болады.  Мұндай  жағдайда  А(х)  және  В(х)  предикаттарының  әрқайсысы 
екінші сіне  қажетті  және  жеткілікті  шарт  болып  саналады.  «Қажетті  және 
жеткілікті» сөздерінің орнына «сонда және тек сонда ғана», «сол және тек сол 
ғана» сөз тіркестерін де қолдануға болады. Мысалы, жоғарыда қарастырылған 
өзара кері екі теореманы біріктіріп, «Натурал санның 3-ке бөлінуі үшін оның 
цифрларының қосындысының 3-ке бөлінуі қажетті және жеткілікті» деген бір 
теорема түрінде тұжырымдауға болады. Бұл теореманы «Натурал сан 3-ке сонда 
және тек сонда ғана бөлінеді, егер оның цифрларының қосындысы 3-ке бөліне-
 
М.Н. ЧУКотаЕв, Е.М. НУРтаЗиНа

19
Шығыстың аймақтық хабаршысы · Региональный вестник Востока                № 2 (62), 2014
тін болса» деп те айтуға болады.
ЖАТТЫҒУЛАР
1  Мына  төмендегі  әрбір  жағдайда  (∀×∈Х)(А(х)⇒В(х))  теоремасын  және 
оған  кері  теореманы  сөзбен  тұжырымдаңыздар,  қайсы  жағдайда  кері  теорема 
ақиқат болатындығын көрсетіңіздер:
а) А(х): «х үшбұрышы тең бүйірлі»; В(х): «х үшбұрышының екі медианасы 
өзара конгруэнтті»;
ә)  А(х):  «х  төртбұрышы-ромб»;  В(х):  «х  төртбұрыштың  диагональдары 
оның бұрыштарын қақ бөледі»;
б)  А(х):  «Натурал  х  саны  9-ға  бөлінеді»;  В(х):  «Натурал  х  санының 
цифрларының қосындысы 9-ға бөлінеді».
2 Пифагор теоремасын және оған кері теореманы тұжырымдаңыздар. Кері 
теорема ақиқат бола ма?
3  Әрбір  теорема  үшін  оның  кері  теоремасын  тұжырымдаңыздар.  Кері 
теоремалардың ақиқаттығын анықтаңыздар. Егер кері теорема жалған болатын 
болса, оның себебін көрсетіңіздер:
а)  егер  бір  үшбұрыштың  үш  қабырғасы  екінші  үшбұрыштың  сәйкес  үш 
қабырғасына конгруэнтті болса, онда осы үшбұрыштардың сәйкес бұрыштары 
да конгруэнтті болады;
ә) ромбының диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
б) егер қабырғалары а, в және с болатындай етіп үшбұрыш салуға болатын 
болса, онда осы кесінділердің кез келгені қалған екеуінің қосындысынан кіші 
болады.
3 ҚАРАМА-ҚАРСЫ ТЕОРЕМА
Егер  (∀×∈Х)(А(х)⇒В(х))  (1)  түріндегі  теореманың  шарты  мен 
қорытындысын олардың теріс ұғымдарымен ауыстырсақ (∀×∈Х)(
À
(х)⇒
Â
(х)) 
(2) түріндегі жаңа теореманы аламыз. Бұл (2) теореманы (1) түрдегі теоремаға 
қарама-қарсы теорема деп атайды. Мысалы, барлық N натурал сандар жиынында 
А(х): «х натурал саны нөл цифрымен аяқталады» және В(х): «х натурал саны 
5-ке бөлінеді» деген предикаттарды қарастырсақ, онда (1) түрдегі теорема «Егер 
х натурал саны нөл цифрымен аяқталса, онда ол сан 5-ке бөлінеді» деп оқылатын 
болады.  Ал  оған  қарама-қарсы  теорема  «Егер  х  натурал  саны  нөл  цифрымен 
аяқталмаса, онда ол сан 5-ке бөлінбейді» деп оқылатын болады. Бұл жағдайда (1) 
түрдегі теорема ақиқат, ал оған қарама-қарсы теорема жалған болады (мысалы 5, 
15, 25, т.с.с. сандар нөл цифрымен аяқталмаса да 5-ке бөлінеді). Кейде берілген 
теорема және оған қарама-қарсы теорема да ақиқат болады.
Мына (∀×∈Х)(
Â
(х)⇒
À
(х)) (3) түріндегі теореманы кері теоремаға қарама-
қарсы теорема деп атайды [3]. Мысалы, «Егер натурал х саны 5-ке бөлінбесе, 

жүктеу/скачать 6,69 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: