Абай атындағы

 
64 
УДК 517.95. 
А.С. Бердышев, Б.Х. Турметов, Б.Ж. Кадыркулов 
 
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ 
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 
 
(г. Алматы, КазНПУ им. Абая, г.Туркистан, МКТУ им. Ясави,  
г. Ташкент,
 
Институт Востоковедения) 
 
Мақалада  бӛлшек  ретті  жылу  ӛткізгіштік  теңдеуінің  жалпыламасы  болып 
табылатын  бӛлшек  ретті  Капуто  мағынасындағы  дифференциалдау  операторы 
қатынасатын  теңдеу  үшін  Ионкин-Самарский  типіндегі  локальды  болмаған  есеп 
зерттелген. 
Есеп  шешімінің  жалғыздығы  туралы  теорема  дәлелденген.  Айнымалыларды 
ажырату әдісімен есеп шешімінің бар болуын қамтамасыз ететін шарттар табылған. 
В  работе  для  уравнения  с  оператором  дробного  дифференцирования  в  смысле 
Капуто,  обобщающее  известное  уравнение  теплопроводности  изучается  одна 
нелокальная задача типа Ионкина-Самарского.  
Доказана  теорема  единственности  решения  этой  задачи.  Применяя  метод 
разделения  переменных  найдены  условия,  обеспечивающие  существование  решения 
задачи. 
In  the  work  for  equation with  fractional  differentiation  operator  in  the  sense  of  Caputo, 
which generalizing well known heat conduction equation, one non-local problem of Ionkin-
Samarskii type studied.  
The uniqueness theorem of the solution of this problem is proved. Applying the method 
of separation of variables was found conditions, which is providing of existence of solution.  
 
В  настоящей  работе  для  уравнения  дробного  порядка  с  оператором  дробного 
дифференцирования  в  смысле  Капуто  изучается  задача  типа  Ионкина-Самарского. 
Рассматриваемое  уравнения  обобщает  известное  уравнения  теплопроводности. 
Применяя  метод  разделения  переменных  доказаны  теоремы  о  единственности  и 
существования регулярного решения этой задачи. 
Введение.  Пусть 


0
-  некоторое  действительное  число.  Для  функции 
)
(t
f
 
заданной на
 
T
,
0
, 


T
 введем следующий оператор 





t
ds
s
f
s
t
t
f
I
0
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(



, 
0

t
. 
Этот  оператор  называется  оператором  дробного  интегрирования    Римана- 
Лиувилля 

-порядка [1, 2]. 
Пусть 
,




n
 
,...,
1
,
0

n
 
1
0



. Для заданного 

 и функции 
)
(t
f
, имеющей 
на  интервале 
 
T
,
0
  производную 


1

n
  -  го  порядка,  оператором  дробного 
дифференцирование  в  смысле  Капуто  называется  выражение,  определяемое 
равенством [2] 











t
n
n
n
t
C
ds
s
f
s
t
t
f
I
t
f
D
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
0
)
(
)
(
)
1
(
1
)
(
)
(




 
Заметим, что, так как 
)
(
)
(
)
(
0
0
t
f
t
f
I
x
f
I


 




  почти  всюду  [1],  то  при  целых 
значениях  
n


 можно принять 
 
 
n
n
t
C
dt
t
f
d
t
f
D


0
. 

 
65 
Рассмотрим уравнения  
   
 
xx
t
C
u
t
x
u
D

,
0

 
 
 
 
 
    (1) 
в области 
 


.
1
,
0
 :
,




t
x
t
x
 
Известно  что,  если  рассмотреть  уравнение  с  оператором  дробного 
дифференцирования  в  смысле  Римана-Лиувилля  то  в  начальных  условиях  нужно 
задавать значение дробного интеграла искомой функции, а если рассмотреть оператор 
Капуто,  то  в  отличии  от  оператора  дробного  дифференцирования  Римана-Лиувилля  в 
начальных условиях можно задать значение самой функции или еѐ производных. 
В  данной  работе  для  уравнения  теплопроводности  дробного  порядка  (1)  в 
области Ω доказаны теоремы устанавливающие однозначную разрешимость  задачи 
 
с 
нелокальными  условиями.  Близкие  задачи  к  рассматриваемым  нами  задачам, 
рассмотрены в работах [1-11]. 
Постановка  задачи.  Для  уравнения  (1)  в  области  Ω  рассмотрим  следующую 
нелокальную задачу. 
Задача NS. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям 
 
   
1
0
 
,
1
,
0
,




x
x
x
au
x
u

       
 
                       (2) 
 
 
1
0
 
,
0
,
0



t
t
u
x
 
 
 
 
 
    (3) 
 
   
1
0
 
,
,
1
,
0



t
t
u
t
u
  
 
 
 
    (4) 
где 
a
 - заданное действительное число, а 
 
x

 - заданная достаточно гладкая функция. 
Отметим, что задача NS  было анносировано р в работе [7]. 
Под  регулярным  решением  задачи  NS  будем  понимать  функцию 
 
t
x
u ,
  такую, 
что
 




1
0
 
,
0
1








t
x
C
C
u
, 
 


C
u
u
D
xx
t
C
 
,
0

 удовлетворяющую уравнению (1) в 
области 

 и условиям (2)-(4). 
Единственность решения. Имеет место следующая теорема. 
Теорема  1.  Пусть 
a
  -  действительное  число,  такая,  что  для  любого 
,...
2
,
1

k
 
выполняется условия 


0
4
1
2
2
1
,






k
E
 
  
 
 
    (5) 
Тогда, если существует решение задачи NS, то оно единственно. 
Здесь
 
z
E


,
–известная функция Миттаг-Леффлера, которая имеет вид [12] 






0
,
)
(
)
(
k
k
k
z
z
E




 
Для доказательства теоремы нам понадобятся некоторые вспомогательные 
факты. Известны следующие утверждения [9,12]. 
Лемма 1. Системы функций 
 
 
 
 
,...,
2
,
1
  
,
2
sin
  
,
2
cos
  
,
1
2
1
2
0





k
kx
x
x
X
kx
x
X
x
X
k
k


,   
 
(6) 
и 
  

  

 
1,2,...,
k
  
,
2
sin
4
  
,
2
cos
1
4
  
,
1
2
2
1
2
0







kx
x
Y
kx
x
x
Y
x
x
Y
k
k


 
(7) 
являются биортонормированными системами. 
Лемма 2. Системы функций (6) и (7) замкнуты в пространстве 
 
1
,
0
2
L
.  
Лемма 3. Системы функций (6) и (7) образует базис Рисса в
 
1
,
0
2
L
. 
Лемма 4. Пусть функция 
)
(t
f
принадлежит классу 
 
l
L
,
0
1
. Тогда интегральное 
уравнение 
         
 







t
l
t
ds
s
y
s
t
t
f
t
y
0
1
,
0
  
,



 
где 
0


, 

- произвольный комплексный параметр, имеет единственное решение 

 
66 
   






 
 
l
t
ds
s
f
s
t
E
s
t
t
f
t
y
t
,
0
  
,
,
0
1













, 
принадлежащее классу 
 
l
L
,
0
1
. 
Доказательство леммы 4 приведено в [12]. 
Лемма 5. Пусть 
1
0



. Тогда общее решение уравнения 
( )
( )
0
C
ot
D y t
y t




 
принадлежащее классу 
1
1
(0, )
(0, )
C
L

 имеет вид 
,1
( )
(
)
y t
c E
t



 
, с = const. 
Доказательство последней леммы приведено в [7]. 
Доказательство  теоремы  1.  Пусть 
 
t
x
u ,
  -  решение  задачи  NS.  Следуя  [10] 
рассмотрим функции 
 
 

dx
x
t
x
u
t
u



1
,
2
1
0
0
 
  
 
 
    (8) 
 
 
 

,...
2
,
1
  
,
2
cos
1
,
4
1
0




n
dx
nx
x
t
x
u
t
u
n

   
 
    (9) 
 
  

,...
2
,
1
  
,
2
sin
,
4
1
0



n
dx
nx
t
x
u
t
v
n

   
 
 
  (10) 
Рассмотрим функцию (8). Действуя оператором 

t
C
D
0
  и  учитывая  уравнение (1), 
имеем 
 
 

 







1
0
1
0
0
0
0
1
,
2
1
,
2
dx
x
t
x
u
dx
x
t
x
u
D
t
u
D
xx
t
C
t
C


 
Интегрируя  по  частям  последний  интеграл,  учитывая  условия  (3),(4),  получим,  что 
функция 
 
t
u
0
 удовлетворяет следующему уравнению 
 
0
0
0

t
u
D
t
C

. 
  
 
 
  (11) 
Отсюда, применяя лемму 5, получим, что общее решение уравнение (11) имеет 
вид 
 
const
C
C
t
u


  
,
0
 
  
 
 
  (12) 
Из (8), учитывая условия (2), получим 
 
 
 
 








1
0
0
0
1
1
,
0
,
2
1
0
dx
x
x
au
x
u
au
u
 
или  
 
 
 





1
0
0
0
1
2
1
0
dx
x
x
au
u

 
 
 
 
  (13) 
Удовлетворяя в (12) условию (13), учитывая условия (5) получим единственное 
решение задачи (11), (13) в виде 
 
 





1
0
0
1
1
2
dx
x
x
a
t
u

    
 
 
 
  (14) 
Рассмотрим функцию (10). Применяя оператор 

t
C
D
0
 к функции 
 
t
v
k
 под знаком 
интеграла и учитывая уравнение (1), получим 

 
67 
 
 
 




1
0
1
0
0
0
2
sin
,
4
2
sin
,
4
xdx
n
t
x
u
xdx
n
t
x
u
D
t
v
D
xx
t
C
k
t
C




 
Интегрируя по частям в последнем интеграле, с учетом условия (3), (4) имеем  
 
 
0
4
2
2
0


t
v
n
t
v
D
n
n
t
C


 
 
 
 
  (15) 
Из (10), учитывая условие (2), получим, что 
 
t
v
k
 удовлетворяет условию 
 
 
  





1
0
,...
2
,
1
  
,
2
sin
4
1
0
n
dx
nx
x
av
v
n
n


 
Таким  образом,  функции 
 
t
v
k
  являются  решениями  следующей  нелокальной 
задачи: 
 
 
 
 
  






1
0
2
2
0
2
sin
4
1
0
  
,
0
4
dx
nx
x
av
v
t
v
n
t
v
D
n
n
n
n
t
C




    (16) 
Отсюда,  применяя  лемму  5,  легко  показать,  что  при  выполнении  условия  (5), 
решение задачи (16) существует, единственно и имеет вид  
 


  










t
n
E
dx
nx
x
n
aE
t
v
n
2
2
1
0
1
,
2
2
4
2
sin
4
1
4






 
 
  (17) 
Аналогичным образом, применяя, оператор 

t
C
D
0
 к функции (9) и учитывая 
уравнение (1), получим 
 
 
 

 
 







1
0
0
1
0
0
2
cos
1
,
4
2
cos
1
,
4
dx
x
k
x
t
x
u
dx
x
k
x
t
x
u
D
t
u
D
xx
t
C
n
t
C




. 
Так как  
 
 

 




  
 

     













1
0
2
2
1
0
1
0
2
cos
1
,
2
2
sin
,
4
2
cos
1
,
t
u
n
t
v
n
dx
x
n
x
t
x
u
n
dx
x
n
t
x
u
n
dx
x
n
x
t
x
u
n
n
xx







 
для нахождения функции 
 
t
u
n
 получим следующее уравнение 
 
 
 
t
v
n
t
u
n
t
u
D
n
n
n
t
C



4
4
2
2
0


 
 
 
 
 
  (18) 
Из (2),(9) также получим, что функция удовлетворяет нелокальному условию вида 
 
 
 
 

dx
nx
x
x
au
u
n
n




1
0
2
cos
1
4
1
0


 
 
 
 
(19) 
Отсюда, с учетом лемму 5 и условия (5), получим единственное решение задачи 
(18)-(19) в виде  
 






 
 

































t
n
a
n
a
n
ds
s
t
v
s
n
E
s
n
t
n
E
dx
nx
x
x
dx
s
v
s
n
E
s
na
n
aE
t
u
0
2
2
,
1
2
2
1
,
1
0
2
2
,
1
0
1
2
2
1
,
4
4
4
2
cos
1
4
1
4
2
4
1
1

















 
(20) 
где 
 
t
v
n
 - решение задачи (16) которая которое определяется по формуле (17).  
С помощью формул (14), (17) и (20) нетрудно доказать единственность решения 
задачи NS.  

 
68 
Действительно,  пусть 
 
y
x
u ,
решение  однородной  задачи  NS  (
 
0

x

на 
 
1
,
0
). 
Тогда из формул (14), (17) и (20) следует, что 
 
 
 
,...
2
,
1
  
,
0
  
,
0
  
,
0
0




n
t
u
t
v
t
u
n
n
  
В силу полноты системы функций (7) в 
 
1
,
0
2
L
, 
 
0
,

t
x
u
  в 

  [10].  Тем  самым 
единственность решения задачи NS доказано. 
Существование  решения.  Докажем  существование  решения  задачи.  Имеет 
место 
Теорема  2.  Пусть  выполняется  условия  (5), 
 
 
1
0
  
,
1
,
0
3







C
x
, 
 
0
0



, 
   
1
0



, 
 
 
1
0





 Тогда решение задачи NS существует и оно представимо в виде 
суммы ряда 
 
 





 






 
 






 
 




















































1
1
0
2
2
1
,
2
2
1
,
1
2
2
1
,
2
2
1
,
2
2
1
,
1
1
0
2
2
1
,
2
2
1
,
1
0
2
cos
2
cos
1
4
1
4
4
2
cos
2
1
4
1
4
4
1
8
2
sin
2
sin
4
1
4
4
1
1
2
,
n
n
n
nx
d
n
n
E
a
t
n
E
nx
t
F
F
n
E
a
t
n
E
a
n
E
a
n
nx
x
d
n
n
E
a
t
n
E
d
a
t
x
u




































 
где 
 
  







ds
s
t
n
E
s
n
E
s
d
n
t
F
t
a




















2
2
0
1
,
2
2
,
1
1
0
4
4
2
sin
 

жүктеу/скачать 4,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: