Абай атындағы

 
44 
тех  пор,  пока  n  и  s  не  достигают  устойчивого  состояния.  Происходит  постепенное 
балансирование  усиления  и  потерь  в  резонаторе.  В  полупроводниковом  лазере  время 
жизни  фотонов  t
p
  значительно  отличается  от  времени  жизни  носителей  заряда  t
e 
(см. 
Табл. 1.). 
 
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10
-8
0
1
2
3
x 10
24
t
n
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10
-8
-2
0
2
4
6
x 10
21
t
s
 
Рис. 1. Эволюция концентрации носителей n и плотности фотонов s в 
полупроводниковом лазере. 
 
Таким образом, быстрые темпы взлета и падения плотности фотонов, связанные с 
быстрым временем распада фотонов,  являются причиной образования крутых и узких 
лазерных пичков. 
Демпфированные  колебания    траекторий  системы  подтверждает  также    и  
фазовый портрет системы, где  значения концентрации носителей и плотности фотонов 
строятся на координатах x и y соответственно.  
На  рис.  2.  представлена  типичная  сходимость  к  предельной  точке  устойчивого 
состояния  лазера.  Фазовые  траектории  на  рисунке  имеют  вид  спиралей,  медленно 
накручивающихся  на  особую  точку.  Один  оборот  спирали  соответствует  пичку  в 
излучении.  

 
45 
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
24
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x 10
23
n
s
 
Рис. 2. Фазовый портрет балансной модели лазера, представленной системой уравнений 
(1, 2) при значениях параметра накачки выше порогового. 
Другой  задачей  является  установление  того  ,  как  изменение  значения  параметра 
накачки  влияет  на    систему.  Для  этого  понизим  значение  тока  накачки  I  до    0.03I
th
  и 
повторно  вычислим  траектории  системы.  С  новым  значением  накачки  (ниже 
порогового  уровня)    параметр  n    не    достигает  значения,      являющимся  достаточным 
для начала лазерного излучения,   т. е  критического  уровня, который мы наблюдали 
ранее. Вследствие этого, соответствующего увеличения плотности фотонов (инверсной 
населенности)  в  системе    не  образуется.  Плотность  фотонов,  при  недостаточном 
значении накачки, равна нулю (Рис. 3.).  
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10
-8
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
22
t
s
,n
 
Рис. 3. Изменение плотности фотонов s и концентрации носителей n при значении тока 
накачки ниже порогового значения (I=0.03I
th
). 
 
Пороговое значение тока I
th
 выводится с помощью скоростных уравнений ниже 
порогового  уровня  [4],  когда  стимулированным  излучением  можно  пренебречь  и 
плотность  фотонов  S  =  0.  Учитывая  данные  условия,  система  уравнений  (1-2) 
приводится к следующему виду: 

 
46 
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10
-8
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10
24
t
s
,n
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10
-8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x 10
24
t
s
,n
e
dN
I
N
dt
eV
t


 
В устойчивом состоянии концентрация носителей выражается в виде: 
                                                                    
e
I
N
t
eV

                                                             (4) 
Так  как  полученное  выражение  (4)  является  справедливым      при  увеличении  
концентрации  N  с  нуля  до  порогового  значения  N
th
,  пороговое  значение  тока  примет 
вид: 
th
th
e
eV
I
N


 
Таким  образом,  к  снижению    значения    I
th 
приводит  меньшее  значение  N
th
  и 
длительное значение 
e
t . С  помощью  модели также  можно  установить,  что  увеличение 
тока накачки вызывает увеличение частоты релаксационных колебаний и уменьшение 
времени  задержки  при  включении  и  продолжительности  процесса  перехода.  Решения 
системы при различных значениях  тока накачки изображены на рис. 4. 
Р
ис.4. Временные развертки плотности фотонов и концентрации носителей при I=2.5I
th 
(слева) и I=3I
th 
(справа). 
 
Получаемые  с  помощью  предложенного  моделирования  позволяют  проследить 
поведение динамическое системы во времени и изучить влияние изменения параметра 
на характер динамических переходов и релаксационных колебаний в системе.  
 
 
1.
 
Грибковский В.П.  Полупроводниковые лазеры. - Мн.: Университетское, 1988. – 304 с. 
2.
 
Agrawal G.P., Dutta N.K. Semiconductor lasers. - New York.: Van Nostrand Reinhold, 1993. 
– 616с.  
3.
 
Levi A. Applied Quantum Mechanics. - New York.: Cambridge university press, 2003.-523с. 
4.
 
Numai  T.  Fundamentals  of  semiconductor  lasers.  -  New  York.:  Springer,  Verlag,  2004.  – 
259с. 
 
 
 

 
47 
УДК 511:517 
П.Б. Бейсебай, Г.Х. Мухамедиев
 
 
ОБ ОДНОЙ МЕТОДИКЕ ИЗЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ 
«ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С 
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ» 
 
(г.Усть-Каменогорск, ВКГТУ имени Д. Серикбаева) 
 
Жұмыс  «Екінші  ретті  тұрақты  коэффициентті  сызықтық  дифференциалдық 
теңдеудің дербес шешімдерін құру» тақырыбын баяндау мәселесіне арналған. Жұмыста 
біртекті теңдеудің сызықтық тәуелсіз дербес шешімдері мен біртексіз теңдеудің дербес 
шешімін  комплекс  сандар  ұғымын  қолданбай  құру  жолдары  кӛрсетілген.  Ұсынылып 
отырған  әдіс  бойынша  екінші  ретті  біртекті  теңдеудің  сызықты  тәуелсіз  дербес 
шешімдері,  бірінші  ретті  сызықтық  теңдеуді  шешуде  қолданылатын  Бернулли  әдісін 
пайдалану арқылы құрылады. Сонымен қатар, оң жағы экспоненциалдық функция мен 
косинус  пен  синустың  тұрақты  коэффициентті  сызықтық  комбинациясының 
кӛбейтіндісі  түрінде  берілген  біртексіз  теңдеудің  дербес  шешімі  сипаттамалық 
теңдеудің түбірлеріне байланыссыз анықталады. 
Работа  посвящена  к  вопросу  об  изложении  темы  «Построение  частных  решений 
линейного  дифференциального  уравнения  второго  порядка  с  постоянными 
коэффициентами». В ней предлагаются пути построения линейно независимых частных 
решений  однородного  и  частного  решения  неоднородного  уравнений,  не  пользуясь 
понятием  комплексного  числа.  Суть  предлагаемого  метода,  в  случае  однородного 
уравнения, заключается в использовании метода Бернулли, применяемого для решения 
линейного уравнения первого порядка, при построении линейно независимых частных 
решений  линейного  уравнения  второго  порядка.  В  случае  неоднородного  уравнения  с 
правой  частью  в  виде  произведения  экспоненциальной  функции  и  линейной 
комбинации  косинуса  и  синуса  с  постоянными  коэффициентами,  частное  решение 
уравнения определяется вне связи с корнями характеристического уравнения. 
Work is dedicated to question about interpretation of the subject "Building of the quotient 
decisions of the linear differential equation of the second order with constant factor". In she is 
offered way of the building linear independent quotient of the decisions uniform and quotient 
of the decision of the lumpy equations, not using notion integrated numbers. The Content of a 
proposition  method,  in  the  event  of  uniform  equation,  is  concluded  in  use  the  method 
Bernoulli  applicable  for  decision  of  the  linear  first-order  equation,  at  building  linear 
independent quotient of the decisions of the linear equation of the second order. In the event of 
lumpy  equation  with  right  part  in  the  manner  of  making  the  exponential  function  and  linear 
combination of the cosine and sine with constant factor, quotient decision equations is defined 
outside of relationship with root of the indicative equation. 
 
Имеются  специальности,  в  которых  согласно  ГОСО  и  Типовых  программ,  в 
содержании  дисциплины  математики  не  предусмотрены  комплексные  числа  и  тем 
более  комплекснозначные  функции,  в  следствии  чего,  при  изложении  темы  о 
построении линейно независимых частных решений однородного и частного решения 
неоднородного линейных уравнений с постоянными коэффициентами в случаях, когда 
характеристическое  уравнение  не  имеет  действительных  корней  или  правая  часть 
уравнения  задана  в  виде  произведения  экспоненциальной  функции  и  линейной 
комбинации косинуса и синуса, виды частных решений выдаются без обоснования, как 
известный факт [1-3]. 
В  данной  работе  предлагается  методика  изложения  выше  названных  тем,  в 

 
48 
которой не используется понятие комплексного числа. 
 
1. Нахождение линейно независимых решений однородного уравнения 
Дано линейное однородное уравнение второго порядка 
0





qy
y
p
y
, 
 
 
 
 
 (1) 
где 
p
 и  q  - постоянные действительные числа. 
Частные решения уравнения (1) будем искать в виде произведения двух функций от 
х
: 
   
x
v
x
u
y

,  
 
 
 
 
 (2) 
где 
 
x
u
 и 
 
x
v
 - неизвестные дважды дифференцируемые функций. 
Подставляя (2) в уравнение (1), имеем: 

 

0
2











u
qv
v
p
v
u
pv
v
v
u
 
 
 
 
 (3) 
Выберем функцию 
v
 такой, чтобы 
0
2



pv
v
.  
 
 
 
 
 (4) 
Интегрируя, получаем 
 
с
x
p
e
x
v



2
, 
где 
с
 - произвольное постоянное. 
Так как нам достаточно какого-нибудь отличного от нуля решения уравнения (4), то за 
функцию 
 
x
v
 возьмем функцию, соответствующую случаю 
0

с
: 
 
x
p
e
x
v
2


. 
Подставляя найденное значение 
 
x
v
 в (2) и в (3), получим, что решение имеет вид 
 
x
p
e
x
u
у
2


, 
 
 
 
 
 (5) 
где функция 
 
x
u
 является ненулевым решением уравнения. 
0
4
4
2




u
q
p
u
 
 
 
 
 
 (6) 
Заметим, что число 
q
p
D
4
2


 является дискриминантом квадратного уравнения 
0
2



q
pk
k
.  
 
 
 
 
 (7) 
Уравнение (7) называется характеристическим уравнением уравнения (1). 
Чтобы  получить  два  линейно  независимых  решений  уравнения  (1),  достаточно 
взять в качестве 
 
x
u
 два линейно независимых решений уравнения (6). Уравнение (6) 
является уравнением, допускающее понижение порядка. 
Введя в нем замену 
 
du
dz
z
u
u
z
u




,
, 
преобразуем его в уравнение первого порядка относительно функции 
z
 и интегрируя 
его получим его общий интеграл: 
1
2
2
4
c
u
D
z


, 
где 
q
p
D
4
2


 - дискриминант характеристического  уравнения (7), 
1
с
 - произвольная 
постоянная. 

 
49 
Введя  обратную  замену 
u
z


  получим  дифференциальное  уравнение  первого 
порядка относительно функции 
 
x
u
 
1
2
2
4
c
u
D
u



   
 
 
 
 (8) 
Ход  решения  уравнения  (8)  зависит  от  знака  дискриминанта 
D
 
характеристического уравнения (7). Рассмотрим каждый из случаев 
0
,
0


D
D
 и 
0

D
 
отдельно. 
Случай 1: 
0
4
2



q
p
D
. 
Так как нам достаточно двух линейно независимых решения, то в данном случае, 
мы можем ограничиваться в уравнении (8) значением постоянной 
0
1

с
: 
0
4
2
2



u
D
u
. 
В силу 
0

D
, левую часть уравнения можно разложить на множители: 
0
2
2

















u
D
u
u
D
u
. 
Отсюда имеем: 
0
2



u
D
u
 или 
0
2



u
D
u
. 
Интегрируя эти уравнения, получим 
2
2
c
x
D
e
u


 или 
3
2
c
x
D
e
u



. 
Полагая 
0
2

с
 и 
0
3

с
 получим два линейно независимых решения уравнения (8): 
 
 
x
D
x
D
e
х
u
e
х
u
2
2
2
1
,



. 
Подставляя  их  поочередно,  в  (5)  получим  два  линейно  независимых  решения 
уравнения (1): 
x
D
p
x
D
p
e
y
e
y
2
2
2
1
,







 или 
x
k
x
k
e
y
e
y
2
1
2
1
,




, 
где 
2
1
D
p
k



 и 
2
2
D
p
k



 - корни характеристического уравнения (7). 
Случай 2: 
0

D
. 
В этом случае из (8) получим уравнение вида 
1
2
с
u


 или 
4
с
u


 
Откуда 
 
5
4
c
x
с
x
u


. 
Полагаясь в начале, что 
0
4

с
 и 
1
5

c
, затем 
1
4

с
 и 
0
5

c
 получим два линейно 
независимых решения уравнения (8): 
 
 
х
х
u
х
u


2
1
,
1
. 
Подставляя их поочередно, в (5) имеем 

 
50 
x
p
x
p
xe
y
e
y
2
2
2
1
,




 или 
x
k
x
k
xe
y
e
y
1
1
2
1
,


, 
где 
2
1
p
k


 единственный корень характеристического уравнения (7). 
Случай 3: 
0

D
. 
В этом случае уравнение (8) можно записать в виде 
1
2
2
2
c
u
D
u






 


. 
Так как левая часть уравнения неотрицательная, то надо полагать 
0
1

c
. Но при 
0
1

c
  уравнение  (8)  имеет  только  нулевое  решение 
0

u
,  поэтому  полагаем 
2
6
1
c
c

, где 
0
6

c
. 
2
6
2
2
2
c
u
D
u






 


 
2
2
6
2





 



u
D
c
u
 или 
2
2
6
2





 




u
D
c
u
. 
Решая первое уравнение, получим 










7
6
2
sin
2
c
x
D
D
c
u
. 
Отсюда,  задавая  произвольной  постоянной 
7
c
  различные  значения,  разности 
которых  не  кратны  числу 

  можно  получить  бесконечную  систему  линейно 
независимых функций. 
Выбирая для простоты сначала 
0
,
2
7
6



c
D
c
, 
затем 
2
,
2
7
6




c
D
c
 
получим 
 
 
x
D
х
u
x
D
х
u
2
cos
,
2
sin
2
1




. 
Подставляя их поочередно в (5) имеем 
x
D
e
y
x
D
e
y
p
p
2
cos
,
2
sin
2
2
2
1






. 
Резюмируя вышеизложенные, приходим к следующей схеме нахождения линейно 
независимых  частных  решений  однородного  линейного  уравнения  с  постоянными 
коэффициентами (1): 
0





qy
y
p
y
 - однородное уравнение; 

 
51 
0
2



q
pk
k
 - характеристическое уравнение; 
q
p
D
4
2


 - дискриминант характеристического уравнения. 
 
Случаи 
относиӛте
льно 
дискри 
минанта 
D
 
Корни характеристичес 
кого уравнения 
Линейно независимые частные 
решения 
 
 
Общее решение 
 
1
y
 
 
2
y
 
 
 
0

D
 
Характеристическое 
уравнение имеет два 
различных корня: 
2
,
2
2
1
D
p
k
D
p
k






 
 
 
x
k
e
y
1
1

 
 
 
x
k
e
y
2
2

 
 
 
x
k
x
k
e
c
e
c
y
2
1
2
1
1


 
 
 
0

D
 
Характеристическое 
уравнение имеет 
единственный корень: 
2
1
p
k


 
 
 
x
k
e
y
1
1

 
 
 
x
k
хe
y
1
2

 
 
 


x
k
e
x
c
c
y
1
2
1
1


 
 
 
0

D
 
Характеристическое 
уравнение не имеет 
действительных 
корней:
2
4
2
,
2
2
p
q
D
p








 
 
 
x
e
y
x


cos
1

 
 
 
x
e
y
x


sin
2

 
 
 
 


x
c
x
c
e
y
x



sin
cos
2
1
1


 
 
Теперь переходим к посторению частного решения неоднородного уравнения. 

жүктеу/скачать 4,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: