Нахождение частного решения неоднородного уравнения

 
52 
будет решением системы 
























b
B
q
p
A
p
a
В
p
A
q
p
2
2
2
2
2
2










.  
 
     (11) 
Данная  система  имеет  решение  тогда  и  только  тогда,  когда 

,
, q
p
  и 

 
удовлетворяют одному из условий 
2
2






q
p
 или 
2
p



, то есть 
2
p



 или 
4
4
4
2
2
D
p
q





.   
 
 
         (12) 
При этом 












































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
p
q
p
p
a
q
p
b
B
p
q
p
p
b
q
p
а
А




















.  
 
         (13) 
Таким образом мы пришли к выводу,что уравнение (9) имеет решение вида (10), 
тогда и только тогда, когда выполнено условие (12), при этом значения 
A
  и 
B
, при 
которых (10) будет решением (9), можно найти по формулам (13). 
В случае невыполения условия (12), то есть когда 
2
p



 и 
4
2
D



 
 
 
 
         (14) 
согласно  приведенному  нами  выше  выводу,  функция  вида  (10)  не  может  быть 
решением  уравнения  (9).  В  этом  случае  решение  уравнения  (9)  ищем  в  более  общем 
виде: 
 
 


x
x
v
x
x
u
е
y
х



sin
cos


,  
 
         (15) 
где 
 
x
u
 и 
 
x
v
 дважды дифференцируемые неизвестные функций. 
Подставляя  функцию  (15)  в  уравнение  (9)  с  учетом  (14)  приходим  к  тому,  что 
функция  вида  (15)  будет  решением  уравнения  (9)  при  любых 
 
x
u
  и 
 
x
v
 
удовлетворяющих уравнениям 
b
v
u






2
 и 
a
v
u





2
.   
 
         (16) 
Если функции 
 
x
u
 и 
 
x
v
 искать в виде 
 
Ax
x
u

 и 
 
Bx
x
v

, 
где 
A
  и 
B
  -  неизвестные  постоянные,  то  уравнения  (16)  преобразуются  в  линейные 
алгебраические уравнения 
b
A



2
 и 
a
B


2
, 
каждые из которых, в силу условия 
0


, имеет единственное решение 

2
b
A


 и 

2
a
B

   
 
 
         (17) 
Таким  образом  мы  пришли  к  выводу:  если 
2
p



  и 
4
2
D



,  то  решение 
уравнения (9) можно искать в виде 

 
53 


x
sin
B
x
cos
A
xе
y
х





, 
где 
A
 и 
B
 - постоянные числа определяемые равенствами (17). 
Резюмируя вышеизложенные приходим к следующей схеме нахождения частного 
решения неоднородного уравнения (9): 


x
b
x
a
е
qy
y
p
y
х



sin
cos






 - неоднородное уравнение, 
0
,
0
2
2




b
a
. 
q
p
D
4
2


 - дискриминант характеристического уравнения. 
 
№ 
Случай 
относительно 

,
, q
p
 и 

 
Вид частного решения 
неоднородного уравнения 
Постоянные 
A
 и 
B
 
I 
2
p



 
или 
4
2
D



 


x
sin
B
x
cos
A
е
y
х





 
















2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
2
p
q
p
p
a
q
p
b
B
p
q
p
p
b
q
p
а
А










































 
II 
2
p



 
и 
4
2
D



 


x
sin
B
x
cos
A
xе
y
х





 
,
2

b
A


 

2
a
B

 
 
В  данной  схеме  показаны  формулы  для  нахождения  постоянных 
A
  и 
B
,  в 
которых особенно в случае  I, не легко запомнить, поэтому целесообразно предложить 
студентам  найти 
A
  и 
B
  подстановкой  решения  соответствующего  вида  в 
уравнение (9). 
 
 
1.
 
Ильин В.А., Куркин А.В. Высшая математика.-М.: Проспект, 2002.-592 с. 
2.
 
Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник.-М.: 1998.-463 с. 
3.
 
Крамер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. -М.: Банки и биржи, 1998.-471 с. 
 
 
 
ӘОЖ 378. 1: 53: 51(574) 
М.Т. Бекжігітова 
 
ЭЛЕМЕНТАР МАТЕМАТИКА КУРСЫНДА ШЫҒАРЫЛАТЫН 
ФИЗИКАЛЫҚ МАЗМҦНДЫ ЕСЕПТЕРДІҢ ЖІКТЕЛУІ 
 
(Алматы қ., Абай атындағы ҚазҰПУ) 
 
Мақалада  физикалық  мазмұнмен  берілген  есептің  топтамалары  берілген. 
Пәнаралық есептерді шешудің математикалық әдісінің рӛлі ашылған. Математикалық 
модельді құрудың кезеңдері кӛрсетілген. Физика мен математиканы оқытудағы ойлау 
тәжірибелерінің рӛлі ашылған. Математиканың кӛмегімен физикалық заңдылықтарды 
зерттеу ұсынылады. 
 В  статье  рассмотрена  классификация  задач  с  физическим  содержанием.  Раскрыта 

 
54 
роль  метода  математического  моделирования  в  решении  межпредметных  задач. 
Показаны  этапы  составления  математической  модели.  Раскрыта  роль  мысленного 
эксперимента в изучении физики и математики. Излагается исследование физических 
закономерностей с помощью математики. 
 Classification  of  problems  with  physical  contents  is  considered  in  the  article.  The 
function  of  mathematical  modeling  method  for  solving  interdisciplinary  problems  is 
revealed.  The  stages  of  constructing  a  mathematical  model  are  shown.  The  role  of  mental 
experiment in studying Physics and Mathematics  is shown. Research of physical laws with a 
help of Mathematics is presented. 
 
 Физикалық  мазмұнды  пәнаралық  есептерді  шешуде  математикалық  модельдеу 
әдісінің қолданылуына байланысты оларды жіктеп кӛрсетуге болады (Кесте 1). 
 
 Кесте 1. Физикалық мазмұнды пәнаралық есептердің жіктелуі 
Р
Реті 
Физикалық мазмұнды пәнаралық есептер 
1  Математикалық модельдеуге қажетті барлық шамалар есеп шартында 
кӛрсетілген есептер (№1). 
2  Есеп шартында берілген модельді алдын-ала ыңғайлырақ басқа түрге 
келтіріп алуды қажет ететін есептер (№2). 
3  Есеп шартында математикалық модель құруда қандай шамалар арасында 
байланыс орнату керектігі және ол үшін қажетті мәліметтермен қамтылған 
есептер (№3). 
4  Математикалық модель құру үшін қажетті мәліметтер есеп шартында 
кӛрсетілген, бірақ қай шаманы аргумент ретінде алу керегі айтылмаған (№4). 
5  Математикалық модельдеудің үш кезеңі де қарастырылатын есептер (№5). 
6  Нақты физикалық құбылысқа қатысты талаптар ғана тұжырымдалған 
есептер (№6). 
7  Математикалық модельдеуге қажетті кейбір шамаларды алдын-ала есептеп 
алу немесе анықтамалық құралдардан тұрақтылардың мәнін табуды қажет 
ететін есептер (№7). 
  
Мысалдар қарастырамыз. 
 Математикалық  модельдеуге  қажетті  барлық  шамалар  есеп  шартында 
көрсетілген  есепті  шешу  кезінде  модельдеуді  математикалық  тұрғыдан  зерттеп, 
нәтижені  қарастырылған  құбылыстың  терминдерін,  ұғымдарын  пайдаланып  түсіндіру 
қажет. 
 №1. 
Материялық  нүктенің  уақытқа  тәуелділігі 
   
at
v


0
t
v
 
және 
     
2
0
0
t
x
2
at
t
v
x




 заңдарымен ӛрнектеледі. Қозғалыстағы нүкте бастапқы мезетте 
(
0
t

), координаталар басында 


0

x
 болса және жылдамдықтың уақытқа тәуелділігі 
t
v
6

  теңдеуімен  берілсе  материялық  нүктенің  300  м-ге  орын  ауыстыруға  жұмсаған 
уақытын табыңыздар. 
 Бұл  есепті  шешу  теңүдемелі  қозғалысты  сипаттайтын  жылдамдық  -
   
at
v


0
t
v
)  пен  орын  ауыстырудың  - 
     
2
0
0
t
x
2
at
t
v
x




  формулаларын 
салыстыра  отырып  квадрат  теңдеуді  шешуге  келіп  тіреледі.  Есеп  шарты  бойынша 
 
 
0
0
,
6
,
0
0
v



x
a
.  Демек,  орын  ауыстыру 
2
3t
x

  заңдылығымен  сипатталады. 
Егер 
300

x
  болса,  онда 
300
3
2

t
.  Кӛрсетілген  толымсыз  квадрат  теңдеудің  екі 

 
55 
шешімі  бар: 
10
t
1


және 
10
2

t
.  Бірақ,  уақыт  физикалық  шама  ретінде  тек  оң  мән 
қабылдайтындықтан (
0

t
) 
10

t
 болады. Яғни, 10 секунд ӛткенде материялық нүкте 
300 м қашықтыққа орын ауыстырады. 
 
 
 
 
Жауабы: 10 с. 
 Есеп  шартында  берілген  моделді  алдын-ала  ыңғайлырақ  басқа  түрге  келтіріп 
алуды қажет ететін есепті қарастырайық. 
 №2.    Еңіске  қарай  жүріп  бара  жатқан  поездың  қозғалысы 
2
v
S
2
0
at
t


  және 
at


0
v
v
  заңдылықтарымен  сипатталады.  Поездың  еңіс  басталған  жердегі 
жылдамдығы қандай? Поездың 20 с ішінде 340 м жүргені және жылдамдығын 19 м/с-қа 
арттырғаны белгілі. 
 Берілген  математикалық  моделді  жүйе  түрінде  жазып  алып  шығарған  ыңғайлы 
(теңдеулер жүйесін шешу әдістерін қарастырғанда осы есепті ұсынуға болады): 








at
v
v
at
t
0
2
0
2
v
S




2
2
0
2
0
2
2
2
t
S
vt
a
at
at
v
S
at
v
v
at
v
S
















 (1)  
(1) ӛрнекті 
at
-
v
v
0

 ӛрнегіне қоямыз: 
t
S
vt
v




2
v
0
. 
 Егер 
есеп 
шартында 
берілген 
мәліметтерді 
ескерсек, 
0
19 20 340
19 2
19 4 15
20
м
v
с


 

 

 
 
 
    
 
 
 
: 15
м
Жауабы
с
 
 Бұл  есептерді  шығарту  барысында  білім  алушылардың  түрлі  матема-тикалық, 
физикалық есептерді шешуде белсенді қолданылатын теңдеу шешу, ӛрнектерді теңбе-
тең түрлендіру, т.б. математикалық іскерліктері мен дағды-ларын жетілдіруге болады. 
 Есеп  шартында  математикалық  модель  құруда  қандай  шамалар  арасында 
байланыс орнату керектігі және ол үшін қажетті мәліметтермен қамтылған есепке 
мысал келтірейік. 
 №3. Кішкене шар тыныштық күйден 20 см/с
2
 үдеумен кӛлбеу науаның бойымен 
домалайды.  Жүрген  жолдың  уақытқа  тәуелділігін  сипаттайтын  теңдеуді  жазыңыздар. 
90 см жол жүру үшін шар қанша уақыт қозғалады? 
 Есеп  шартында  сипатталған  жағдайдың  математикалық  моделін  құру  үшін 
теңүдемелі  қозғалысты  сипаттайтын  формуланы  еске  түсіру  керек: 
2
v
S
2
0
at
t


. 
Есептің шарты бойынша 
0
v
0

, сондықтан шардың қозғалысы 
2
S
2
at

 формуласымен 
сипатталады.  Демек 
2
10 t
90
 
  теңдеуін  (қарастырылған  ахуалдың  математикалық 
моделін)  шешу  арқылы  қойылған  сұраққа  жауап  беруге  болады: 
3
t

с  (
0

t
 
болғандықтан, -3 саны есептің шешімі бола алмайды).   
 
      Жауабы: 3 с. 
 Математикалық  модель  құру  үшін  қажетті  мәліметтер  есеп  шартында 
көрсетілген,  бірақ  қай  шаманы  аргумент  ретінде  алу  керегі  айтылмаған  есепті 
қарастырайық..  Бұл  топтағы  есептерде  модель  ішінде  шешуде  қажет  болатын 
шамалардың  кестелік  мәндері,  физикалық  тұрақтылар  берілмеуі  мүмкін,  оларды 
студенттер ӛз бетттерінше табуы керек. 
 №4.  Дене  20  м/с  жылдамдықпен  тік  жоғары  лақтырылған.  Дене  қандай  уақыт 
аралығы ӛткенде 15 м биіктікте болады? 
Шешуі:  Математикалық  модель  құру  кезінде  ең  алдымен  есептің  шартындағы 

 
56 
құбылыстың 
2
h
h
2
0
0
gt
t
v



 формуласымен сипатталатынын еске түсіру керек. Есеп 
шарты бойынша 
0
0

h
, демек бұл есепті шешу 
0
15
20
5
,
5
20
15
2
2





t
t
t
t
 квадрат 
теңдеуін шешуге келіп тіреледі: 
1
2
1 ,
3
t
c t
c


. 
 Яғни, дене 15 м биіктікте 2 рет бола алады: 1 с және 3 с ӛткен соң. 
Жауабы: 1 с және 3 с. 
 Математикалық  модельдеудің  үш  кезеңі  де  қарастырылатын  есептердің 
міндеті  білім  алушыларды  болмысты  зерттеуде  (оның  ішінде  физикалық 
құбылыстарды)  қолданылатын  математикалық  модельдеу  әдісімен  тереңірек 
таныстыру,  олардың  математикалық  білімін  тереңдету  және  жетілдіру.  Мысал 
қарастырайық. 
 №5.  Автомобиль  қандай  да  бір  бастапқы  жылдамдықпен  теңүдемелі  қозғалып 
келеді. Автомобиль берілген қашықтықты қанша уақытта жүріп ӛтеді? 
 Бұл  есепті  параметрлі  квадрат  теңдеулерді  шешу  тақырыбын  қарастырғанда 
шешуге  болады.  Математикалық  модель  құру  үшін  белгілеулер  енгіземіз: 
автомобильдің бастапқы жылдамдығы: 
0
v
 (
с
м / ), үдеуі: 


2
/
а м с
, берілген қашықтық 
S (м), қозғалыс уақыты t (с). 
 Есепті  шешу  үшін  теңүдемелі  қозғалыс  үшін 
2
v
S
2
0
at
t


  формуласын 
пайдаланамыз. 
 
2
v
S
2
0
at
t


  ӛрнегін  мына  квадрат  теңдеуге  келтіреміз: 
0
2
2
at
0
2



S
t
v
, 
мұндағы 
а
- квадрат теңдеудің бірінші коэффициенті, 
0
2v
- екінші коэффициенті, 
S
2

- 
үшінші коэффициенті. Алынған теңдеудің шешімін 
a
ac
b
b
x










2
2
,
1
2
2
 
(
b  - жұп сан ) формуласы бойынша есептейміз (
0
2
v
D
2
0



aS
, теңдеудің екі 
шешімі бар): 
a
aS
v
v
2
t
2
0
0
1




  және 
a
aS
v
v
t
2
2
0
0
2




.  Бірақ, 
0

t
  болғандықтан, 
a
aS
v
v
t
2
2
0
0




. 
 Бастапқы  жылдамдығы  (
0
v
)  мен  үдеуі 
 
a
  берілген  теңүдемелі  қозғалған 
автомобиль S  қашықтықты 
a
aS
v
v
2
2
0
0



 с уақытта жүріп ӛтеді. 
Жауабы: 
a
aS
v
v
2
2
0
0



 
 Нақты  физикалық  құбылысқа  қатысты  талаптар  ғана  тұжырымдалған 
есептерді шешудің ерекшеліктерін қарастырамыз. 
 №6.  Үстелдің  шетінде  бір  нәрсені  (тиындық,  резеңке)  қойып,  шертіп  еденге 
түсірдіңіз делік. Нәрсенің бастапқы жылдамдығын қалай есептеп шығаруға болады? 
 Белгілеулер  енгіземіз: 
h
  -  үстелдің  биіктігі,  S   -  ұшудың  горизонталь 

 
57 
қашықтығы,  t  - нәрсенің ұшу уақыты, 
0
v
 
- бастапқы жылдамдығы. 
 Бұл  типтегі  есептерді  шешу  барысында  студенттер  ең  алдымен  есеп  шартында 
қарастырылған  құбылысты  толық  сӛзбен  сипаттау  үшін  ойша  эксперимент  жасайды. 
Жасалған  экспериментті  сипаттайтын  формуланы  (құбылыстың  математикалық 
моделін) жазып, ұшу уақытын тауып алуға болады:  
2
gt
h
2

g
2h
t


 (1) 
 Горизонталь  бағыттағы  қозғалыс  бірқалыпты,  себебі  үдеудің  (
g
) тек вертикаль 
құраушысы  бар.  Сонда,  нәрсенің  горизонталь  бағытта  ұшу  қашықтығы  мына 
формуламен ӛрнектеледі:
t
0
v
S

. Осыдан 
t
S
v

0
 (2). Демек, (1)

(2): 
h
g
S
v
2
0

 
0
:
2
g
Жауабы v
S
h

 
 Мұндай  есептерді  шешкенде  білім  алушылар  берілген  шаманы  сипаттау  үшін 
қандай  математикалық  модель  алу  керегін  немесе  шамалардың  қайсысын  ӛлшеуді, 
ӛлшеу нәтижелері бойынша соңғы нәтижені алуды ӛздері шеше білуі керек. Бұл түрдегі 
есептер  жоғарыда  аталған  есептерден  қандай  да  бір  физикалық  заңдылықтарды 
математика құралдарымен зерттеу жӛніндегі практикалық жұмыстармен ерекшеленеді. 
 Сонымен 
математикалық  модельдеумен  байланысты  сұрақтарды  оқып 
үйренгенде оқытудың барлық деңгейінде пәнаралық материалға сүйенеміз. 
 Пәнаралық есептерді шешудің негізінде сәйкес математикалық және физикалық 
материалдарды  білу,  сонымен  қатар  математикалық  модельдеу  әдісін  есеп  шешуде 
қолдана  білу  іскерлігі  жатыр.  Математикалық  модель  құрып  алған  соң  есептің 
пәнаралық  сипатын  қарастырмаймыз,  есептің  математикалық  мазмұнына  назар 
аударамыз. 
 «Математикалық  модельдеу»  ұғымының  мәнін  және  технологиясын  пәнаралық 
есептерді шығару барысында әңгіме жүргізу арқылы түсіндіруге болады.  
 Алынған  (1),  (2)  ӛрнектер  есепте  сипатталған  ахуалдың  (физикалық 
құбылыстың) математикалық моделі. Мұндай модель құру үшін кӛп жағдайларға назар 
аудармадық: биіктік дәл 10 м, кӛлбеу бұрыштары дәл 
0
30
және 
0
60
  болуы,  туристтің 
жылдамдығы  бүкіл  жол  бойы  ӛзгермеуі  мүмкін  емес.  Ауа  кедергісін  ескермедік,  дене 
ешбір  кедергіге  кездеспей  кӛтерілгенде  және  түскенде  түзу  сызықтың  белгілі  бір 
бӛлігімен қозғалды деп есептедік. Яғни, біз құбылысты жуықтап сипаттадық. 
 2-кезең (модель ішінде шешу):  
0
0
1
1
2
10
)
10 2
31,8(
sin 30
sin 60
3
S
м

















), 
0
0
1
1
1
10
10
3
22,9( )
30
60
3
r
м
tg
tg

















 
 3-кезең. r
S

,  яғни  орын  ауыстырудың  модулі  жүрілген  жолдың  сан  мәнінен 
аз.  Бұлай  болуы  мүмкін.  Демек,  алынған  жауап  есептің  нақты  мағынасына  сәйкес 
келеді. 
 Алынған  мәннің  есеп  шартында  сипатталған  ахуалға  сай  келуін  үшбұрыштар 
теңсіздігі  бойынша  да  тексеруге  болады:  Үшбұрыштың  кез  келген  қабырғасы  оның 
басқа  екі  қабырғасының  қосындысынан  кіші,  бірақ  оның  айырымының  модулінен 
артық болады (
20 3
20
22,9
31,8
3



).   
 
 
Жауабы: 31,8 м., 22,9 м. 

 
58 
 Математикалық  модельдегі  кейбір  шамаларды  алдын-ала  есептеп  алу  немесе 
анықтамалық  құралдардан  тұрақтылардың  мәнін  табуды  қажет  ететін  есепке 
мысал келтірейік. 
 №7. 
Тікұшақтың  қозғалысын  сипаттайтын  сызба  1-суретте  берілген 







2
0
1
45
sin
v
sin
v

,  мұндағы 
2
v
-  тікұшақтың  жермен  салыстырғандағы  жылдамдығы. 
Тікұшақтың ауамен салыстырғандағы жылдамдығы 
 
v
 25 м/с. Егер солтүстік батыстан 
меридианға  45
0
  бұрыш  жасай  жел  соқса,  тікұшақтың  меридианнан  шығысқа  қарай 
ұшатын  бағыты  арасындағы  бұрышы 
 

,  яғни  тікұшақтың  курсы  қандай  болғаны? 
Желдің жылдамдығы 
 
1
v
 10 м/с. 
 Бұл  есепті  шешу  үшін  алдын-ала  тригонометриялық  функциялардың  берілген 
бұрыштардағы  мәндерін  білу  керек.  Сонымен  қатар  тікұшақтың  жермен 
салыстырғандағы  жылдамдығын  (
2
v
)  есептеп  алу  керек.  Ол  үшін  косинустар 
теоремасын пайдаланамыз (1-сурет):  
0
2
1
2
2
1
2
2
45
cos
2
v
v
v
v
v



, 
v
v
v
v
v
1
2
2
1
2
2



, 
3
,
19
2

v
( м/с). 
 
 
 
 
Сурет 1. №7 есепті шешуге арналған кӛмекші модель 
 
Енді  есеп  шартында  берілген  қатынастан  алынатын  ӛрнекті  қарастырамыз: 
2
0
1
45
sin
v
sin
v



. Осыдан 
3664
,
0
sin


.  
 В. М. Брадистің тӛрт таңбалы математикалық кестесін (
 
154
, 52б.) пайдаланып 
табатынымыз: 
0
/
0
5
,
21
30
21



.  
 Жауабы:  тікұшақтың меридианнан шығысқа қарай ұшатын бағыты арасындағы 
бұрышы 
0
5
,
21
 
0
45
 
v

 
1
v
 
2
v

 


 

 
59 
Мұндай  есептерді  шешу  барысында  білім  алушылар  математикалық  модельдеу 
әдісін күнделікті ӛмірде кездесетін мәселелерді шешуге пайдалануға дағдыланады. 
 
 
1. Володарский В.Е. Физические задачи на уроках математики. // Математика в школе, 
1976, №4, с. 35-37. 
2.  Касаткина  И.Л.  Репетитор  по  физике.  Механика.  Молекулярная  физика. 
Термодинамика /Под ред. Т.В. Шкиль. – Ростов н/Д: изд-во «Феникс», 2000.-896с. 
3. Рымкевич А.П., Рымкевич П.А. Сборник задач по физике для 8-10 классов средней 
школы. Издание второе.-М.: Просвещение, 1976.-208с. 
 
 
 
 
УДК 517.956.3+519.642.5 

жүктеу/скачать 4,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: