[a,b] сегментінде үздіксіз y=f(x) функциясы берілсін. интегралын қарастырайық. Жоғары шегі айнымалы болатын интеграл кезкелген х-тің функциясы болады .
Теорема. Жоғары шегі айнымалы болатын интегралдың туындысы интегралдау айнымалысы жоғары шегімен алмастырылған интеграл астындағы функцияға тең болады .
Теорема. Кезкелген үздіксіз функция f(x) тің алғашқы функциясы болады, соның бірі интегралы болады.
3. Ньютон-Лейбниц формуласы.
Жоғары шегі айнымалы болатын интегралдың туындысы туралы теорема интегралдың қосынды мен шекке көшусіз ақ анықталған интегралды есептеудің жеңіл жолын көрсетуге көмектеседі. Сондықтан, егер F(x)-f(x) функциясының бір алғашқы функциясы болса, онда I(x)=F(x)+C немесе (*) болады.
болғандықтан, (*) теңдікте х=а қойсақ, болады. Бұдан C=-F(a) болады. Олай болса, болады. Егер х=в болса, (**) болады. Бұл (**) формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. Ол анықталған интегралды есептеу үшін қолданылады. F(b)-F(a) айырмасын белгілейміз. . Осы белгілеуді пайдаланып, Ньютон-Лейбниц формуласын былай жазуға болады. .
