№
|
Жаңа ұғымдар
|
Мазмұны
|
1
|
2
|
3
|
|
Алғашқы функция
|
Егер аралығындағы дифференциалданатын және, теңдігі орындалатын болса, онда ол берілген аралықтағы функциясының алғашқы функциясы деп аталады
|
|
Анықталмаған интеграл
|
Егер функциясы функциясының белгілі бір аралықтағы алғашқы функциясы болса, онда функциялар жиынтығы берілген функциясының анықталған интегралы деп аталады да символымен белгіленеді, мұндағы С-ерікті тұрақты
|
|
Анықталмаған интегралдағы айнымалыларды ауыстыру
|
Айталық мұндағы бірсарынды және дифференциалданатын функция. Онда
|
|
Бөліктеп интегралдау формуласы
|
|
|
интегралының рекурентті формуласы
|
|
|
Мына төмендегі интегралдарды есептеу
|
Үшмүшеліктің
толық квадратын бөліп алып, ауыстыруын қолданамыз.
|
7
7
|
Рационал функцияларды интегралдау мұндағы көпмүшеліктер
|
1) егер бөлшегі бұрыс болса, онда көпмүшелігін көпмүшесіне бөлеміз, сонда бөлінді бүтін бөлікке және дұрыс бөлшекке жіктеледі ;
2) көпмүшені көбейткіштерге жіктейміз;
3) дұрыс бөлшекті қарапайым бөлшектердің қосындысына келтіреміз;
4) белгісіз коэффициенттерді жеке мәндер және анықталмаған коэффициенттер әдісітерімен табамыз.
5) қарапайым бөлшектердің интегралын есептейміз.
|
8
|
Мына түрдегі интеграл
мұндағы -рационал функция;
бүтін оң сандар.
|
алмастыруын жүргіземіз, мүндағы - саны бөлшектерінің ортақ бөлімі
|
9
|
Төмендегі интегралдарға
1)
2)
3)
|
Келесі алмастырулар жүргізіледі:
1)
2)
3)
|
10
|
Мына түрдегі интегралдарға
|
Төмендегі формулаларды қолдану керек
|
11
|
Келесі интегралдарға
мұндағы m,n-бүтін сандар
|
1) Егер - оң тақ сан болса, ондаалмастыруын жүргіземіз.
2) Егер - оң тақ сан болса, онда алмастыруын жүргіземіз.
3) Егер - жұп оң сандар болса, онда мына формулалар қолданылады:
4) Егер жұп теріс сан болса, онда алмастыруын жүргіземіз.
|
12
|
Мына түрдегі интегралдарға
мұндағы- функциясы арқылы рационал функция.
|
универсал ауыстыруын жүргіземіз. Сонда
болады. Дербес жағдайлар:
1) Айталық онда ауыстыруын жүргіземіз.
2) Айталық , онда ауыстыруын жүргіземіз.
3) Айталық онда ауыстыруын жүргіземіз.
|
13
|
Анықталған интегралдың анықтамасы
|
Егер нөлге ұмтылғанда интегралдық қосынды аралығын бөлу тәсіліне және нүктелерін қалай сайлап алуға тәуелді емес бір тиянақты шекке ұмтылса, онда осы шекті функциясының аралығында алынған анықталған интегралы деп атайды және былай белгіленеді:
|
14
|
Ньютон-Лейбниц формуласы
|
, мұндағы функциясы функциясының алғашқы функциясы
|
15
|
Анықталған интегралды бөліктеп интегралдау формуласы
|
Айталық, және олардың туындылары -аралығында үзіліссіз болса, онда төмендегі формула орындалады.
|
16
|
Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру
|
Егер функциясы аралығында үзіліссіз, ал өз кезегінде функциясы кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданатын функция және болсын. Онда
|
17
|
Бірінші текті меншіксіз интегралдар (өзіндік емес интегралдар). Шектері ақырсыз интегралдар
|
|
18
|
Екінші текті меншіксіз интегралдар (өзіндік емес интегралдар). Шектелмеген функциялар интегралы
|
Егер функциясы болғанда үзіліссіз және онда анықтама бойынша орындалады.
|
19
|
Жоғарғы жағынан, үзіліссіз қисықпен, төменгі жағынан өсімен , бүйір жақтарынан
түзулермен қоршалған қисық сызықты трапецияның ауданы
|
|
20
|
қисықтарымен шектелген фигураның ауданы
|
|
21
|
Фигура параметрлік теңдеулермен барілген қисықтарымен шектелген. Осы фигураның ауданы
|
|
22
|
сәулелерімен және қисығымен шектелген фигураның ауданы
|
|
23
|
теңдеуімен берілген доғаның ұзындығы
|
|
24
|
параметрлік теңдеулерімен берілген кеңістіктегі қисықтың доғасының ұзындығы
|
|
25
|
параметрлік теңдеулерімен берілген кеңістіктегі қисықтың доғасының ұзындығы
|
|
26
|
Қисықтың теңдеуі поляр координаттарында берілсе, онда қисықтың доғасының ұзындығы
|
|
27
|
аралығында орналасқан теңдеуімен берілген қисық доғасының өсі арқылы айналғанда пайда болған айналу бетінің ауданы
|
|
28
|
параметрлік теңдеулермен берілген қисық доғасының өсі арқылы айналғанда пайда болған айналу бетінің ауданы
|
|
29
|
поляр координаттарында берілген қисық доғасының өсі арқылы айналғанда пайда болған айналу бетінің ауданы
|
|
30
|
Денің көлемі
|
мұндағы өсіне перпендикуляр денеге жүргізілген қиманың аудуны
|
31
|
функциясы графигі арқылы алынған қисықсызықты трапецияны өсімен айналдырғанда пайда болған айналу бетінің көлемі
|
|
32
|
фигурасы графигі арқылы алынған қисықсызықты трапецияны
өсімен айналдырғанда пайда болған дененің көлемі
|
|
