Пікір берушілер
Кері тригонометриялық функциялар
жүктеу/скачать 5,73 Mb.
|
Матанализдің кейбір есептерін теңсіздіктерді пайдаланып шешу
| Кері тригонометриялық функциялар.
. Кері тригонометриялық функциялар: Алдымен бұлардың біріншісіне тоқталайық. функциясы аралығында анықталған, оның мәндері аралығын тұтас толтырады. осіне параллель түзу синусоиданы, яғни функциясының графигін шексіз көп нүктелерге қияды; басқаша айтқанда, - тің аралығындағы әрбір мәніне - тің шексіз көп мәндері сәйкес. Сондықтан деп белгіленетін кері функция (шексіз) көп мәнді функция болады. Әдетте, бұл функцияның - тің - ден - ге дейін өзгеруіне сәйкес бір ғана «тармағын» қарастырады; - тің аралығындағы әрбір мәніне ол аралықта - тің тек бір ғана мәні сәйкес болады; оны деп белгілеп, арксинустың бас мәні деп атайды. Синусоиданың бірінші координаталық бұрыштың биссектрисасынан айналдыра бұра отырып көп мәнді функциясының графигін шығарып аламыз; бұл функцияның бас тармағы графигі тұтас сызықпен көрсетілген, бұл тармақ - тің аралығында мәндерінде бір мәнді анықталады және теңсіздігін қанағаттандырады, бұл теңсіздік функцияны басқа тармақтардың арасында ерекше көрсетіп тұр. Элементар тригонометрияда синустың берілген мәніне сәйкес бұрыштың барлық мәндері оның біреуі арқылы өрнектелетінін еске түсірсек, арксинустың барлық мәндерін өрнектейтін формуланы жазу қиын емес: немесе Синус үшін қосу теоремасынан: арксинус үшін қосу теоремасын шығарып алуға болады. Бұл жерде ( және -тер мен аралығында) деп белгілейміз; сонда болады, радикалдар оң таңбамен ғана алынады: Арксинустың бас мәнінің өзіне тән қасиеті бойынша, және бұрыштар және аралығында болатындықтан, олардың косинустары оң болады. Сөйтіп, бұрышы егер аралығынан шықпаса ғана бұл формуланы ықшам түрде жазуға болады: Егер де және аргументтер (олармен қоса және да) әр таңбалы болса, бұл шарт өзінен өзі – ақ орындалады. Таңбалары бірдей болған жағдайда, айтылған шарт мына теңсіздікпен мәндес екендігін байқау оңай. Осы сияқты талқылау функциясы жөнінде де жасалады.Бұл жерде де кері функция (шексіз) көп мәнді болады. Бір мәнді тармағын бөліп алу үшін, оны мына шартқа бағындырады, мұнымыз арккосинустың бас тармағы функциясы - пен қатынасы арқылы байланысқан, шынында, бұрыштың косинусы - ке тең болып қана қоймай, бұрыштың өзі де мен аралығында болады. - тің қалған мәндері оның бас мәні арқылы формуласымен өрнектеледі. функциясы - тің мәндерінен басқа мәндері үшін анықталады. - тің мәндері бұл жерде аралығын толтырады, сонымен бірге - тің мәніне - тің шексіз көп мәні сәйкес келеді. Сондықтан аралығында берілген кері функциясы (шексіз) көп мәнді болады. функциясының графигі бірінші координаталық бұрыштың биссектриссасынан айналдыра - қа бұрғанда функциясының графигі шығады. Көп мәнді осы функцияның теңсіздіктерін қанағаттандыратын мәні, арктангестің, бас мәні делінеді. Осы жолмен - тің барлық мәндері үшін берілген бір мәнді функция арктангенстің бас тармағы анықталады. Арктангенстің қалған мәндері төмендегіше табылатындығы көрсету қиын емес. Тангенс үшін қосу теоремасы Егер және демек, онда теңдіктен болғанда шығатыны олай болса, бұл жағдайда да, тек , яғни болғанда ғана теңдік мынадай: ықшам түрге келеді. және функцияларының арасындағы тікелей байланысты: не көрсету қиын емес. Мысалы, егер , демек , онда болады және де болғандықтан, радикал оң таңбамен алынады; бұдан шығады. Енді функциясына тоқтап өтейік; оның бас мәні теңсіздіктерімен анықталады және - пен мынадай: қатысы арқылы байланысады. Арккотангенстің қалған мәндері: түрінде жазылады. және және функцияларына тоқталмаймыз және бұларды талдап түсінуді оқушылардың өздеріне ұсынамыз. жүктеу/скачать 5,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|