(1)
және матрица анықтауышы нөлге тең емес.
(2)
теңдеуі (1) берілген жүйенің сықытық теңдеулер комбинациясы деп аталады.
Анықтама 1. Екі сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі сызықты эквиваленттідеп аталады, егер бірінші жүйенің әрбір теңдеуінде екінші жүйе теңдеуінің сызықтық комбинациясы бар болса және екінші жүйенің әрбір теңдеуінде бірінщі жүйе теңдеуінің сызықтық комбинациясы бар болса.
Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін элементер түрлендіру деп, нөлден өзгеше санға көбейту, теңдеулер орындарын алмастыру және бір теңдеуге екінші теңдеуді қосу, кез келген санға көбейту амалдарын айтамыз.
Бұдан байқайтынымыз,элементер түрлендіру САТЖ сызықты эквивалентті теңдеуге алып келеді. Теорема 1. Берілген жүйенің матрица анықтауышы нөлден өзгеше болғандағы n белгісізді сызықты теңдеулер жүйесі элементер түрлендіруден кейін үшбұрышты матрица түріндегі жүйеге келеді.
белгісізді сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін:
, (1)
мұндағы - (1) жүйенің матрицасы; - (1) жүйенің кеңейтілген матрицасы
Кронекер-Капелли теоремасы. (1) сызықты теңдеулер жүйесі үйлесімді болуы үшін жүйе матрицасының рангысы кеңейтілген матрица рангысына тең болуы қажетті және жеткілікті.
САТЖ шешу барысында келесі жағдайлар кездеседі:
1 жағдай) , онда (1) жүйенің шешімі болмайды САТЖ үйлесімсіз;
2 жағдай) , т онда (1) жүйенің шешімі бар және , мұндағы - жүйе рангысы САТЖ үйлесімді; а) Егер , мұндағы теңдеулер жүйесі белгісіздерінің саны болса, онда (1) жүйенің бір ғана шешімі болады САТЖ үйлесімді анықталған жүйе; б) Егер , бұл жағдайда (1) жүйенің тұрақтысына тәуелді шексіз көп шешімі бар болады САТЖ үйлесімді анықталмаған жүйе болады.
Теорема 1. белгісізді біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің
(2)
шешімі бар болуы үшін жүйенің матрица рангысы белгісіздер санынан аз, яғни болуы қажетті және жеткілікті.
Теорема 2. Егер (1) жүйенің матрица рангысы белгісіздер санынан аз болса, яғни , онда (1) ) жүйе шешімі шешімінен тұрады. фундаментальды жүйелер шешімін құрайды.
белгісізді сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің матрица анықтауышы нөлге тең болғанда, САТЖ зерттеу үшін Кронекер-Капелли теоремасы қолданылады.
