Практикум по алгебре

6 
Задание
1.
Доказать
: 
1.
 C
⊂
A
⇒
(
A
∩
B
)
∪
C
=
A
∩
(
B
∪
C
). 
2.
(
A
∩
B
)
∪
C
=
A
∩
(
B
∪
C
) 
⇒
C
⊂
A.
3.
A
⊂
B
∪
C
⇒
A
∩
B
⊂
C.
4.
A
∩
B
⊂
C
⇒
A
⊂
B
∪
C.
5.
A
∪
B
=
A
∩
B
⇒
A
=
B.
6.
A
∩
B
=
B
⇒
B
⊂
A.
7.
A
∪
B
=
B
⇒
A
⊂
B.
8.
A
⊂
B
⇒
B
⊂
A
. 
9.
A
⊂
B
⇒
A
\
C
⊂
B
\
C.
10.
 A
⊂
B
⇒
C
\
B
⊂
C
\
A.
11.
 A
∩
(
B
\
A
) 
=
∅
. 
12.
(
A
∪
B
)
∩
A
=
A
∩
B.
13.
B
A
\
=
A
∪
(
B
∩
A
). 
14.
 A
\(
B
∪
C
) 
=
(
A
\
B
)\
C.
15.
 A
\(
B
\
C
) 
=
(
A
\
B
)
∪
(
A
∩
C
). 
16.
(
A
∪
B
)\
C
=
(
A
\
C
)
∪
(
B
\
C
). 
17.
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
B
) 
=
A.
18.
 A
\
B
=
A
\(
B
∩
A
). 
19.
 A
\(
A
\
B
) 
=
A
∩
B.
20.
(
A
∪
B
)
∩
A
=
A.
21.
 A
∩
(
B
\
C
) 
=
(
A
∩
B
)\
C.
22.
 A
∩
(
B
\
C
) 
=
(
A
∩
B
)\(
A
∩
C
). 
23.
(
A
\
B
)\
C
=
(
A
\
C
)\(
B
\
C
). 
24.
 A
∪
B
=
A
∪
(
B
\
A
). 
25.
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
B
) 
=
A.
26.
(
A
\
B
)
∪
(
B
\
A
) 
=
∅
⇒
A
=
B.
27.
(
A
∪
B
)\(
A
∩
B
) 
=
∅
⇒
A
=
B.
28.
 A
∩
B
=
∅
⇒
(
A
∪
B
)\
B
=
A.
29.
(
A
∪
B
)\
B
=
A
⇒
A
∩
B
=
∅
. 
30.
 A
\
B
=
A
⇒
B
\
A
=
B.
Задание
2.
Упростить
с
помощью
равносильных
преобразований
. 
1.
(
Х
→
(
X
→
Y
))
→
(
X
→
Y
). 
2.
X
∨
(
X
∧
Y
→
X
∨
Y
)
∧
(
X
→
Y
). 
3.
(
Y
→
Z
)
→
((
X
→
Y
)
→
(
X
→
Z
)). 
4.
(
X
→
Y
)
→
((
Y
∧
Z
)
→
(
X
→
Z
)). 
5.
(
X
→
Y
)
→
(
X
∧
Z
→
Y
∧
Z
). 
6.
(
X
∧
Z
→
Y
∧
Z
)
→
(
Y
→
Z
). 
7.
(
X
∨
Y
→
X
∨
Z
)
→
X
∨
(
Y
→
Z
). 
8.
X
∨
Y
→
((
X
→
Z
)
→
Z
Y
∧
).
9.
(
X
→
Y
)
→
(
X
∨
Z
→
Y
∨
Z
). 
10.
(
X
∨
Y
)
∧
(
X
∨
Y
)
∧
(
X
∨
Y
). 
11.
(
X
∧
Y
→
X
)
∨
Y
→
X
∧
Y
. 
12.
Y
X
∧ →
Y
X
∨ ∨
X
∧
Y
. 
13.
X
∨
X
∧
Y
∨
X
∧
Y
∧
Z
∨
X
∧
Y
∧
Z
. 
14.
(
Z
→
X
)
→
X
∧
Y
∨
Y
∧
Z
∨
X
. 
15.
(
X
→
Y
)
∧
Y
X
∧ ∨
X
∧
Y
→
(
X
→
Y
X
∧
). 
16.
(
X
∨
X
∧
Y
∨
Y
∧
Z
∨
X
∧
Z
)
∧
(
X
∨
Z
). 
17.
(
X
∨
Y
)
∧
( 
Y
∨
Z
)
∨
(
X
∨
Y
)
∧
(
Y
∨
Z
). 
18.
Y
∨
(
X
∧
Y
∧
Z
∨
X
∨
Y
∨
Z
)
∧
X
. 
19.
(
X
∧
Y
∧
Z
→
X
∨
Y
)
∧
Z
→
Z
Y
X
∧
∧
. 
20.
(
X
∧
Y
∨
Z
∨
(
X
∨
Y
)
∧
Z
∧
(
X
∨
Z
))
∧
(
X
∨
Z
). 

7 
21.
X
∧
Y
∧
Z
∨
X
∧
Y
∧
Z
∨
X
∧
Y
∧
Z
∨
X 
∧
Y
∧
Z
∨
X 
∧
Y
∧
Z
∨
X
∧
Y
∧
Z
. 
22.
(
X
∧
Z
→
X
∧
Y
)
→
Y
∧
Z
. 
23.
(
X
∧
Y
→
Z
)
∧
(
X
∧
Z
→
Y
). 
24.
(
Y
→
Z
)
∧
(
Z
→
Y
)
∨
X
∨
Y
. 
25.
(
X
∧
Y
∧
Z
→
X
∧
Z
)
∧
(
Y
Z
→ ∨
Z
). 
26.
X
∧
Y
∧
Z
∨
X
∧
Y
∧
Z
∨
X
∧
Y
∧
Z
∨
X
∧
Y
∧
Z
∨
X
∧
Y
∧
Z
. 
27.
(
X
∧
Y
∧
Z
→
X
∨
Y
)
∧
Z
→
Z
Y
X
∧
∧
. 
28.
(
X
∧
Y
→
Z
)
∧
( 
Z
→
X
∧
Y
). 
29.
((
X
→
Y
)
→
((
X
→
Y
)
→
X
))
→
X
. 
30.
X
∨
Y
→
((
X
→
Y
)
→
Y
). 
Задание
3.
Является
ли
последняя
формула
следствием
совокупности
предыдущих
формул
? 
1.
X
∨
Y
→
Z
, 
X
→
Y 
⇒
Z.
2.
Y
X
∨
→
(
Z
∧
T
), 
Z
∨
T
⇒
X
∨
Y.
3.
X
∨
Y
→
(
Z
→
T
), 
X
∧
Y
⇒
Z
∧
T.
4.
X
→
(
Y
→
Z
), (
X
∨
Z
)
∧
( 
Z
∨
Y
) 
⇒
X.
5.
X
∧
Y
→
Z
∧
,
Y
Z
∨
Y
⇒
X
∨
Y
. 
6.
X
→
Y
, 
Z
∨
,
Y
Z 
⇒
X.
7.
X
→
(
Y
∨
Z
), 
Y
∨
Z 
⇒
X
∧
Y
∨
Z.
8.
X
∧
Y
∨
Z
∧
T
, 
X
→
X
⇒
Z.
9.
X
∨
Y
, 
Z
∨
Y
⇒
X
→
Z
.
10.
X
→
Y
, 
X
→
Z 
⇒
X
→
Y
∧
Z.
11.
X
→
Y
, 
Z
→
T
, 
X
∨
Z 
⇒
Y
∨
T.
12.
X
→
(
Y
→
Z
), 
T
∨
X
, 
Y 
⇒
T
→
Z.
13.
X
→
Z
, 
Y
→
Z 
⇒
X
∨
Y
→
Z.
14.
X
→
Y
, 
X
∨
Z
, 
T
∨
Z
, 
T 
⇒
Y.
15.
X
, 
Y
, 
Z
∧
X
→
Y
⇒
Z
. 
16.
X
, 
X
→
Y
, 
Y 
⇒
X
∨
Z
→
Y.
17.
X
∧
Y
→
Z
, 
X
, 
Y
→
Z 
⇒
Y
X
∧
. 
18.
X
→
(
Y
→
Z
), 
T
∨
X
, 
Y 
⇒
T
→
Z.
19.
X
→
Y
, 
Z
Y
∧
⇒
X .
20.
X
→
Y
, 
Z
→
Y
, 
T
→
X
∨
Z
, 
T 
⇒
Y.
21.
X
∨
Y
→
Z
∧
T
, 
Z
→
U
, 
U
⇒
X
. 
22.
X
∨
Y
, 
Z
→
Y
⇒
X
→
.
Z
23.
X
∨
Y
→
Z
∧
T
, 
T
∨
U
→
V 
⇒
X
→
V.
24.
X
→
Y
, 
Z
→
T
, 
X
∨
Z 
⇒
Y
∧
T.
25.
(
X
→
Y
)
∧
(
Z
→
T
), 
T
∧
Y
→
F
, 
F
⇒
X
∨
.
Z
26.
X
→
Y
, 
Y
→
Z
, 
Z
∨
T
, 
X
→
T 
⇒
T.

8 
27.
X
↔
Y
, 
Y
→
Z
, 
Z
∨
T
, 
X
→
T 
⇒
T
. 
28.
X
→
Y
, 
Y
→
Z
, 
X
→
T
, 
T
→
Z
, 
Z
→
U 
⇒
U.
29.
X
∧
Y
→
Z
, 
Z
∧
T
→
U
, 
F
→
T
∧
T
⇒
X
∧
Y
→
F
. 
30.
X
→
Y
, 
Y
→
Z
, 
Z
→
T
, 
U
→
X
, 
Y 
⇒
X.

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