Практикум по алгебре

Q
/
Z
, 
обладающий
свойством
na
∈
Z
, 
совпа
-
дает
с
одним
из
элементов
этой
указанной
подгруппы
. 
25. 
Каков
порядок
этой
группы
? 
26. 
Заменить
равенство
ab
=
ba
равносильным
и
воспользоваться
критерием
нормальной
подгруппы
. 
27. 
Показать
, 
что
Н
подгруппа
индекса
2. 
28. 
Использовать
теорему
об
эпиморфизмах
и
теорему
Лагранжа
. 
30. 
Смотреть
указание
к
задаче
28. 
Сколько
элементов
должно
бы
содержать
ядро
такого
эпиморфизм
? 
32. 
Не
встречалась
ли
уже
такая
задача
? 
33. 
а
) 
Воспользоваться
теоремой
Лагранжа
. 
б
) 
Такой
гомоморфизм
только
один
. 
Какой
?
34. 
Связать
ответ
со
свойствами
натуральных
кратных
элементов
. 
35. 
Использовать
задачу
19 
и
теорему
о
гомоморфных
образах
циклической
группы
. 
36. 
Использовать
теорему
о
подгруппах
группы
〈
Z
; +
〉
. 
39. 
Рассмотреть
в
качестве
Н
класс
эквивалентности
K
e
, 
порожденный
нейтральным
элементом
е
.
§ 4 
2. 
Найти
пересечение
подпространств
и
размерность
пересечения
. 
4. 
б
) 
Использовать
задачу
1.8. 
5. 
а
) 
Сравнить
размерность
подпространств
U
1
+
U
2
, 
U
1
, 
U
2
и
U
1
I
U
2
. 
6. 
а
) 
Найти
пересечение
U
и
W
и
использовать
величины
размерностей
этих
подпространств
. 
8. 
Использовать
свойство
ступенчатых
систем
векторов
. 
11. 
Использовать
свойства
размерностей
подпространств
. 
12. 
Доказать
методом
от
противного
. 
15. 
Показать
, 
что
x
– 
y 
∈
V 
⊥
. 

94 
18. 
Использовать
равенство
U
=
(
U 
⊥
)
⊥
. 
19. 
д
) 
Применить
свойство
г
) 
для
U
1
⊥
и
U
2
⊥
. 
24. 
Отметим
, 
что
{
b
1
, 
b
2
, …, 
b
k
} 
и
{
c
1
, 
c
2
, … 
c
k
} — 
ортогональные
базисы
подпространства
L(a
1
, 
a
2
, …, 
a
k
). 
Ут
-
верждение
доказывается
индукцией
по
k
. 
25. 
Связать
с
решениями
системы
линейных
однородных
уравнений
. 
§ 5 
1. 
Подействовать
на
базисные
векторы
i, j, k.
4. 
Связать
с
матрицами
линейных
отображений
. 
5. 
Какова
размерность
векторного
пространства
(
использовать
задачу
3 
б
))? 
6. 
Использовать
задачу
3 
б
). 
8. 
Показать
, 
что
данное
утверждение
равносильно
следующему
: 
ϕ
переводит
базис
в
базис
. 
9. 
Доказать
, 
что
ϕ
сюръекция
и
использовать
задачу
3 
б
). 
10. 
Использовать
задачу
8. 
12. 
Использовать
равенство
x
=
ϕ
(
x
) + (
x
– 
ϕ
(
x
)).
13–14. 
Использовать
теорему
об
описании
линейных
отображений
через
образы
векторов
базиса
. 
15. 
Определить
размерности
Ker
ϕ
и
Ker
ψ
. 
Дополнить
базис
Ker 
ϕ
до
базиса
V
. 
16. 
Проверить
, 
что
ненулевая
линейная
комбинация
собственных
векторов
, 
принадлежащих
различным
собст
-
венным
значениям
, 
уже
не
является
собственным
вектором
. 
17. 
Учесть
равенство
|
λ
2
E
– 
A
2
| 
=
|
λ
E
– 
A
||
λ
E
+ 
A
|. 
20. 
Воспользоваться
свойством
определителя
транспонированной
матрицы
. 
21. 
Использовать
задачу
20 
и
доказать
равенство
|
λ
E
– 
A
–1
| 
=
|
A
–1
|
λ
n
|
A
– 1/
λ
E
|. 
22. 
Положить
для
определенности
, 
что
А
невырожденная
матрица
. 
24. 
Использовать
изоморфизм
каждого
из
этих
пространств
с
соответствующим
пространством
матриц
. 
25. 
Использовать
задачу
24. 
26. 
Вспомнить
формулу
связи
координат
вектора
и
координат
образа
этого
вектора
.
 
 
§ 6 
5. 
а
) 
Вычислить
(
a
+
b
)
2
.
б
) 
Аналогичен
а
). 
7. 
Использовать
задачу
2.8. 
11. 
Использовать
равенство
x
p
–1
– 1 
=
(
x
(
p
–1)/2
– 1)(
x
(
p
+1)/2
+ 1) 
и
тот
факт
, 
что
многочлен
над
полем
имеет
корней
не
больше
, 
чем
его
степень
. 
20. 
Рассмотреть
множество
степеней
этого
ненулевого
элемента
. 
21. 
Укажем
, 
что
в
Z
(
p
)
, 
с
точностью
до
ассоциированности
, 
существует
только
один
простой
элемент
. 
22. 
Использовать
теорему
об
эпиморфизмах
колец
и
задачу
16. 
24. 
а
) 
Так
как
〈
Z
; +
〉
циклическая
группа
, 
то
всякий
гомоморфизм
определяется
действием
на
образующий
эле
-
мент
группы
. 
б
) 
Чему
равен
ϕ
 
(
x
)? 
25. 
Воспользоваться
теоремой
об
эпиморфизмах
колец
. 
26. 
Рассмотреть
декартово
произведение
кольца
с
единицей
и
кольца
без
единицы
. 
29–30. 
Рассмотреть
уравнение
x
2
=
2 
в
каждом
из
этих
колец
. 
31. 
Учесть
, 
что
всякий
автоморфизм
кольца
на
множестве
Q
действует
тождественно
(
проверьте
!). 

95 
32. 
Вспомнить
о
связи
колец
главных
идеалов
и
факториальных
колец
. 
§ 7 
3. 
Рассмотреть
комбинации
суммы
остатков
от
деления
a
2
и
b
2
на
7. 
4. 
Сравнить
любые
два
таких
числа
по
модулю
М
. 
5. 
Какие
остатки
от
деления
на
4 
могут
иметь
суммы
квадратов
двух
чисел
? 
6. 
Какой
может
быть
последняя
цифра
числа
n
(
n
+ 1)/2? 
8. 
Каков
остаток
от
деления
этой
суммы
на
4? 
9. 
Разложить
число
240 
на
взаимно
простые
множители
и
доказать
, 
что
выражение
делится
на
каждый
из
этих
множителей
. 
11. 
Вспомнить
, 
как
доказывалась
‘
по
Евклиду
’ 
бесконечность
множества
простых
чисел
. 
14. 
Использовать
свойства
функции
‘
целая
часть
числа
’. 
15. 
На
что
делится
q
? 
16. 
Доказать
методом
от
противного
. 
17. 
Воспользоваться
определением
логарифма
. 
19. 
Воспользоваться
равенством
a
2
+ 
ab
+ 
b
2
=
(
a
– 
b
)
2
+ 3
ab
. 
21. 
Применить
признаки
делимости
. 
24. 
В
знаменатель
формулы
для
ϕ
 
(
x
) 
входят
простые
множители
только
в
первой
степени
, 
причем
наибольшее
простое
число
сократиться
с
числителем
не
может
(
доказать
!) 
27. 
Предположив
, 
что
р
общий
простой
делитель
чисел
(
a
+ 
b
)
n
и
(
a
– 
b
)
n
, 
попытайтесь
найти
его
. 
29. 
Воспользоваться
коммутативностью
и
ассоциативностью
(
доказать
!) 
опера
-
ции
взятия
НОД
. 
30. 
Умножить
обе
части
доказываемого
равенства
на
а
. 
40. 
Воспользоваться
тем
, 
что
всякое
рациональное
число
разлагается
в
цепную
дробь
единственным
образом
. 
41. 
Вспомнить
формулировку
теоремы
-
критерия
для
этого
случая
.
§ 8 
2. 
Умножить
и
поделить
многочлен
на
x
–1. 
7. 
Свести
к
задаче
6, 
введя
однородные
переменные
x
k
=
y
k
/
y
n
+1
. 
8. 
Связать
корни
делимого
и
делителя
. 
14. 
б
) 
Разложить
на
множители
над
R
. 
16. 
Найти
рациональные
корни
. 
19. 
Рассмотреть
многочлен
x
n
– 1. 
23. 
Исключить
радикалы
. 
24. 
Использовать
трансцендентность
π
. 
25. 
Использовать
производную
. 
29. 
а
) 
Доказать
, 
что
3
– 
2
∈
Q
(
3
+ 
2
). 
б
) 
Использовать
задачу
23. 
в
) 
Использовать
правую
часть
равенства
.
30. 
Использовать
задачу
29 
в
). 
Каковы
образы
базисных
элементов
? 
32. 
Использовать
каноническое
разложение
над
R
. 
33. 1-
й
способ
: 
разложить
297 
на
множители
. 
2-
й
способ
: 
произвести
группировку
множителей
. 
34. 
Связать
с
кратностью
корней
f
. 
36. 
Доказать
, 
что
коэффициенты
при
x 
и
x
3
равны
нулю
. 

96 
Оглавление
 
Предисловие
……………………………………………………………………. 
3 
ЧАСТЬ
1. 
Система
индивидуальных
заданий
……………………………….. 
4 
ЧАСТЬ
2. 
Система
групповых
заданий
………………………………………. 
77 
ЧАСТЬ
3. 
Система
заданий
к
семестровым
экзаменам
……………………... 
100 
§ 1. 
Системы
векторов
и
системы
линейных
уравнений
………… 
100 
§ 2. 
Матрицы
и
определители
. 
Комплексные
числа
……………... 
102 
§ 3. 
Группы
………………………………………………………….. 
105 
§ 4. 
Векторные
и
евклидовы
пространства
……………………….. 
108 
§ 5. 
Линейные
отображения
и
линейные
операторы
…………….. 
110 
§ 6. 
Кольца
………………………………………………………….. 
113 
§ 7. 
Задачи
по
теории
чисел
……………………………………….. 
115 
§ 8. 
Алгебра
многочленов
………………………………………….. 
118 
Указания
………………………………………………………………………… 
120 

97 
Учебно
-
методическое
издание
Моисеев
 
Сергей
 
Алексеевич
 
Суворов
 
Николай
 
Михайлович
 
ЗАДАЧНИК
-
ПРАКТИКУМ
ПО
АЛГЕБРЕ
И
ТЕОРИИ
ЧИСЕЛ
Редактор
В
.
Л
. 
Рубайлова
Технический
редактор
О
.
С
. 
Верещагина
Подписано
в
печать
18.09.06. 
Поз
. 
№
064. 
Бумага
офсетная
. 
Формат
60
х
84
1
/
16
. 
Гарнитура
Times New Roman. 
Печать
трафаретная
.
Усл
. 
печ
. 
л
. 7,21. 
Уч
.-
изд
. 
л
. 7,9. 
Тираж
500 
экз
. 
Заказ
№
Государственное
образовательное
учреждение
высшего
профессионального
образования
«
Рязанский
государственный
университет
имени
С
.
А
. 
Есенина
» 
390000, 
г
. 
Рязань
, 
ул
. 
Свободы
, 46 
Редакционно
-
издательский
центр
РГУ
390023, 
г
. 
Рязань
, 
ул
. 
Урицкого
, 22

98