Прикладная математика численные методы
жүктеу/скачать 1,04 Mb.
|
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)
4.4. Метод хордПусть дано уравнение f(x) = 0, (4.4) где функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, b] и выполняется соотношение f(a)·f(b) < 0. Пусть для определенности f(a) < 0, f(b) > 0. Тогда вместо того, чтобы делить отрезок [a, b] пополам, более естественно разделить его в отношении - f(a):f(b). При этом новое значение корня определяется из соотношения x1 = a + h1, (4.5) где . (4.6) Далее этот прием применяем к одному из отрезков [a, x1] или [x1, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Аналогично находим второе приближение x2 и т.д. (см. рис. 4.2.). Геометрически этот способ эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки А(a, f(a)) и B(b, f(b)). Рис. 4.2. Уточнение корня уравнения методом хорд Действительно, уравнение хорды АВ имеет вид (4.7) Учитывая, что при х = х1 => y = 0, получим (4.8) Полагая, что на отрезке [a, b] вторая производная f''(x) сохраняет постоянный знак, метод хорд сводится к двум различным вариантам: Из рис. 4.2,a видно, что неподвижна точка а, а точка b приближается к ξ, то есть (4.9) Преобразовав выражение (4.9), окончательно получим (4.10) Из рис. 4.2,b видно, что точка b остается неподвижной, а точка а приближается к ξ, тогда вычислительная формула примет вид (4.11) Таким образом, для вычисления корня уравнения имеем две различные вычислительные формулы (4.10) и (4.11). Какую точку брать за неподвижную? Рекомендуется в качестве неподвижной выбирать ту точку, в которой выполняется соотношение f(x)·f”(x) > 0. (4.12) жүктеу/скачать 1,04 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|