5. Приближенное решение
систем нелинейных уравнений
Рассмотрим нелинейную систему уравнений
(5.1)
с действительными левыми частями. Систему (5.1) можно представить в матричном виде
(5.2)
Здесь приняты следующие обозначения:
- вектор аргументов, а - вектор – функция.
Для решения системы (5.2) воспользуемся методом последовательных приближений. Предположим, что найдено р-ое приближение xp = (x1(p), x2(p) , ..., xn(p)) одного из изолированных корней x = (x1, x2, x3, ..., xn) векторного уравнения (5.2). Тогда точный корень уравнения (5.2) можно представить в виде
(5.3)
где - поправка (погрешность) корня на n – ом шаге.
Подставив выражение (5.3) в (5.2), получим
(5.4)
Предположим, что функция f(x) - непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x(p). Тогда левую часть уравнения (5.4) разложим в ряд Тейлора по степеням малого вектора ε(p), ограничиваясь линейными членами:
, (5.5)
или в развернутом виде:
(5.6)
Из анализа формул (5.5) и (5.6) следует, что под производной f(x) следует понимать матрицу Якоби системы функций f1 , f2, ..., fn, относительно переменных x1, x2, x3, ..., xn, то есть:
. (5.7)
Выражение (5.7) в краткой записи можно представить:
(5.8)
Выражение (5.6) представляет собой линейную систему относительно поправок (i = 1, 2, ..., n) с матрицей W(x), поэтому формула (5.5) может быть записана в следующем виде:
(5.9)
Отсюда, предполагая, что матрица W(x(p)) - неособенная, получим:
(5.10)
Теперь, подставив выражение (5.10) в формулу (5.3), окончательно получим:
(5.11)
Таким образом, получили вычислительную формулу (метод Ньютона), где в качестве нулевого приближения x(0) можно взять приближенное (грубое) значение искомого корня.
Достарыңызбен бөлісу: |
