Прикладная математика численные методы


Метод Ньютона (метод касательных)



бет20/34
Дата06.03.2023
өлшемі1,04 Mb.
#71977
түріУчебное пособие
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   34
Байланысты:
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)

4.5. Метод Ньютона (метод касательных)


Пусть корень ξ уравнения


f(x) = 0, (4.13)

отделен на отрезке [a, b], причем первая и вторая производные f(x) и f(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Найдя какое-нибудь n-ое приближение корня , мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Пусть


ξ = xn + hn, (4.14)


где hn - величина малая. Отсюда по формуле Тейлора получим (ограничиваясь первым порядком малости относительно hn)




f(xn + hn) = f(xn) + hn f(xn) = 0. (4.15)

Следовательно,




hn = - f(xn) / f (xn). (4.16)

Подставив полученное выражение в формулу (4.14), найдем следующее (по порядку) значение корня:




(4.17)

Проиллюстрируем графически нахождение корня методом Ньютона (рис. 4.3.).




Рис. 4.3. Уточнение корня методом касательных

Если в качестве начального приближения выбрать точку х0 = В0 , то процесс быстро сходится. Если же выбрать точку х0 = А0, то х1 [a, b], и процесс нахождения корня расходится. Рекомендуется: в качестве х0 выбрать точку, где f(x)·f(x) > 0.


4.6. Комбинированный метод


Пусть f(a)·f(b) < 0, а f(x) и f(x) сохраняют постоянные знаки на отрезке [a¸ b]. Соединяя метод хорд и метод касательных, получаем метод, на каждом шаге которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня ξ уравнения f(x) = 0. Теоретически здесь возможны четыре случая:





  • f(x) > 0; f(x) > 0;

  • f(x) > 0; f(x) < 0;

  • f(x) < 0; f(x) > 0;

  • f(x) < 0; f(x) < 0.

Рассмотрим только первый случай, так как остальные три ведут себя аналогично и могут быть сведены к первому.


Итак, пусть f(x) > 0 и f(x) > 0 при . Полагаем, что (для метода хорд), (для метода касательных). Тогда новые значения корня вычисляем по формулам
(4.18)

Рис. 4.4 наглядно иллюстрирует суть комбинированного метода.






Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   34




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет