Процессы управления и устойчивость
жүктеу/скачать 30,48 Mb. Pdf көрінісі
|
| 2
, β
1 , β
2 имеют порядок µ, α 3 , α
4 , β
3 , β
4 — порядок µ 2 ,
k , β
k , k ≥ 5 будут иметь порядок не ниже µ 3 . С точ-
ностью µ 2 приведем приближенные выражения для α k , β
k , k ≤ 4.
Уравнения Лапласа для каждого слоя жидкости можно представить в виде
h 1t + ∂ ∂x ∞ k=0 α kx k + 1 − η
x α (k+1) h k+1
1 = 0,
(4) h 2t + ∂ ∂x ∞ k=0
β kx k + 1 − η 2x β (k+1) h k+1 2 = 0.
(5) Динамическое условие на поверхности раздела запишем в виде (ρ 1
2 )η 1 + ρ 1 ∞ k=0 α kt − (k + 1)η t α (k+1) h k 1 + + 1 2 ∞ k=0 α kx − (k + 1)η x α (k+1) h k 1 2 + 1 2µ ∞ k=0 (k + 1)α
(k+1) h k 1 2 − −ρ 2 ∞ k=0 (β kt )h k 2 + 1 2 ∞ k=0
β kx − (k + 1)η 2x β (k+1) h k 2 2 + + 1 2µ ∞ k=0 (k + 1)β
(k+1) h k 2 2 = ρ 1 f 1 (t) − ρ
2 f 2 (t). (6)
Так как α k , β k , k ∈ N выражаются через α = α 0 , β = β
0 , уравне- ния (3)–(6) образуют замкнутую систему относительно неизвестных функций α(x, t), β(x, t), η(x, t), η 1 (x, t). Данная система описывает двумерную задачу о распространении длинных волн в двухслойной жидкости в канале над деформируемым дном. В данной системе уравнений использовалось асимптотическое представление по дис- персионному параметру коэффициентов степенных рядов (1). При- нимая во внимание малость амплитудного параметра ε = a H ∗ (a —
180 амплитуда внутренней волны) и полагая при этом α ∼ εα, β ∼ εβ, η ∼ εη, η 1 ∼ εη
1 , заключаем, что представленная выше система урав- нений с частными производными включает следующие частные за- дачи — линейные модели без дисперсии и с дисперсией, нелинейную модель без дисперсии µ = 0. Если в представленной математической модели произвести учет амплитудного и дисперсионного параметров степени не выше первой, а также их произведения, можно говорить о распространении внутренних волн в приближении Кортевега и де– Вриза в канале с деформируемым основанием. Литература 1. Алешков Ю.З. Теория взаимодействия волн с преградами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. 372 с. 2. Алешков Ю.З. Течение и волны в океане. С-Пб.: Изд-во СПбГУ, 1996. 226 с. 3. Алешков Ю.З. Волны на поверхности сыпучих сред, вызван- ные потоком жидкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 4 (№ 25). С. 35–43. 4. Алешков Ю.З. Замечательные работы по прикладной матема- тике. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. 311 с. 5. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: Физматлит, 2003. 256 с. 6. Краусс В. Внутренние волны. Л.: Гидромет, 1968. 270 с. 7. Перегудин С.И. Волновые движения в жидких и сыпучих сре- дах. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. 288 с. 8. Перегудин С.И. Течение жидкости над сыпучей средой // Ма- тематическое моделирование, 2004. Т. 16, № 8. С. 70–76. 9. Перегудин С.И. Распространения длинных волн в неоднородной жидкости над деформируемым дном // Математическое моде- лирование, 2005. Т. 17, № 4. С. 3–9. 10. Франкль Ф.И. О движении песчаных волн // Докл. АН СССР, 1953. Т. 89, № 1. С. 29–32. 181
Синибабнова М.В. Санкт-Петербургский государственный университет Применение метода квадратного корня для плохо обусловленных систем Рекомендовано к публикации доцентом Сергеевым В.О. 1. Введение. Действия приборов, регистрирующих нестацио- нарные физические поля, описываются следующей схемой: на вход прибора поступает сигнал z(s), на выходе прибора регистрируется функция u(x). В случае "линейного" прибора функции z(s) и u(x) связаны соотношением b a
(1) K(x, s) в этом случае называется импульсной переходной функцией прибора. Теоретически K(x, s) представляет собой функцию, кото- рая регистрируется прибором в случае, если на вход прибора посту- пает обобщенная дельта-функция Дирака. На практике для полу- чения функции K(x, s), характеризующей работу прибора, на вход подают достаточно короткий импульс. Таким образом, задача интер- претации показаний прибора, т.е. определения формы поступившего сигнала, сводится к решению интегрального уравнения первого рода (1).
2. Постановка задачи. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма относительно функции z(s) Az = b
K(x, s)z(s)ds = u(x), a ≤ x ≤ b, z, u ⊆ L 2 (a, b). (2) Известно [1–3], что задача решения этого уравнения поставлена некорректно: при малых вариациях правой части u вариация реше- ния z будет сколь угодно велика. 3. Математическая модель. Используется стандартная схема Тихонова построения регуляризирующего алгоритма. В работе рас- сматривается задача минимизации функционала Тихонова 182
M α [z, ˜ u δ ] = Az − ˜ u δ 2 L 2 + α z 2 W 1 2 = = b a b a K(x, s)z(s)ds − ˜ u δ
2 dx + α
b a [z 2 (s) + z (s) 2 ]ds,
(3) где Ω[z] = α b a
2 (s) + z (s) 2 ]ds – стабилизирующий функционал. Пусть известно, что точное решение ¯ z(s) удовлетворяет одному из граничных условий: 1) ¯ z (a) = ¯ z (b) = 0, либо 2) ¯ z(a) = z
1 , ¯
z(b) = z 2 (z 1 , z
2 — известные числа). Условием минимума функционала (3) яв- ляется равенство нулю его первой производной. Учитывая гранич- ные условия, уравнение для функционала Тихонова можно записать в виде A ∗ Az − A ∗ ˜ u δ + αz − αz = 0. Здесь A ∗ f =
b a K(x, s)f (x)dx, f (x) ⊆ L 2 [a, b]. Перепишем это уравнение в эквивалентном виде b a B(s, t)z(t)dt + αz(s) − αz (s) = b a K(x, s)˜ u δ (x)dx, где B(s, t) = b a K(x, s)K(x, t)dx. Рассмотрев конечные разности и квадратурные формулы, получим N j=1
B(s i , t j )z j h + αz i + α 2z i − z i+1 − z
i−1 h 2 = f i , f i = b a K(x, s i )˜ u δ (x)dx, z
i = z(s
i ), i = 1, . . . , N. (4) Таким образом, нахождение при фиксированном α > 0 экстремали функционала Тихонова (3) сведем к решению системы линейных ал- гебраических уравнений (4). Матрица этой системы вещественная, симметричная и положительно-определенная. Поэтому, следуя мето- ду квадратного корня (Холецкого), ее можно представить как про- изведение матриц T α∗ DT α , где T
α – треугольная матрица, T α∗ –
α матрица, причем матрицы T α∗ и T
α ве-
щественны. Элементы матрицы T α находятся последовательно из формул t α 11 = B α 11 , t 1j = B α 1j t α 11 , j > 1, t α ii = |B α ii − i−1
k=1 d kk (t α ki ) 2 |, 1 ≤ i ≤ j, 183 d ii = sign(B ii − i−1 k=1 (t ki ) 2 ), t α ij = B α ij − i−1 k=1 d kk t α ki t α kj t ii d ii , i < j, t α ij
Теперь нужно решить систему уравнений B α z α = f. (5) Заменив в (5) матрицу B α на произведение матриц T α∗ и T
α , по-
лучим T α∗ DT α z α = f . Вводя обозначение y α = T α z α , заменим урав- нение (5) эквивалентно на два уравнения: T α∗ Dy
= f, T α z α = y
α . Каждое из этих уравнений решается элементарно, так как имеет тре- угольную матрицу. 4. Выбор параметра регуляризации. Начальное значение па- раметра α 0 задается таким, что ρ(α 0 ) > δ. Каждое следующее зна- чение параметра выбирается по формуле α s = α s−1
n . Для каждого α s находится экстремаль функционала Тихонова ˜ z α δ (s) и вычисляется значение невязки ρ(α) = A˜ z α δ − ˜
u δ u
= δ. (6)
Процесс продолжается до тех пор, пока ρ(α s ) не станет меньше или равно δ. Значение α s принимается за приближенное решение уравне- ния (6). Приближенное решение нелинейного уравнения (6) относи- тельно α находится методом последовательных приближений. Легко показать, что решение этого уравнения существует. Для аналитиче- ской оценки параметра α перепишем исходное уравнение в виде A = K ∗
∗ u, ¯ u − u ε ≤ ε, где ¯ u — точная правая часть уравнения (2). Рассмотрим регуляри- зирующий оператор B α = (αE + K ∗ K) −1 . (7) Для любых α верно z ε α − ¯
z = B α u ε − B
α ¯ u + B α ¯ u − ¯ z = = B
α (u ε − ¯ u) + (B
α A¯ z − ¯ z) ≤ |B α ε + ψ(α, ¯ z). 184
Величину B α удается оценить без дополнительных предположений о точном решении, т.е. B α ≤ C. Величина же ψ(α, ¯ z) существенно за- висит от свойств точного решения. Выбрав α из условия ψ(α, ¯ z) = C, получим ¯ z − z ε α ≤ 2C. Таким образом, получаем зависимость па- раметра регуляризации от погрешности правой части и оценку точ- ности приближенного решения уравнения (2). Рис. 1. 1 — точное решение; 2 — приближенное решение (количество точек сетки по x и s равно 62); 3 — приближенное решение (количество точек сетки по x и s равно 10). На рисункe 1 изображены результаты численного эксперимента с ядром K(x, s) = √ x − s. Приближенное значение параметра регу- ляризации по невязке равно α ≈ 5 · 10 −3 . Литература 1. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некоррект- ные задачи. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 557 с. 2. Гончарский А.В., Черепашук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978. C. 90–132. 3. Арсенин А.Н., Тихонов А.Н. Методы решения некорректных за- дач. М.: Наука, 1979. C. 128–158. 185
Смирнов О.А. Санкт-Петербургский государственный университет Исследование движения массы на многослойном эластомерном вязкоупругом амортизаторе 1 Рекомендовано к публикации профессором Мальковым В.М. Эластомерные амортизаторы широко используются в качестве конструктивных элементов для сейсмоизоляции зданий и других объектов. В работе [1] исследовано движение массы на однослой- ном вязкоупругом эластомерном элементе при произвольных гори- зонтальных воздействиях. Однако на практике, в качестве аморти- заторов, как правило, используются многослойные элементы, состо- ящие из чередующихся слоев резины и металла. Статья посвящена аналитическому описанию движения объектов на таких амортизато- рах при горизонтальных динамических воздействиях. Решать подобную задачу для каждого слоя в отдельности, сопря- гая при этом условия на границе слоев, является крайне затрудни- тельной задачей. Если амортизатор имеет большое количество слоев, то можно перейти от дискретной модели пакета к распределенной с приведенными упругими и инерционными характеристиками. Для вывода уравнений изгибных колебаний композитного стерж- ня воспользуемся следующим законом упругости [2] Q = K S
M = K B ω X , (1) где Q и M – поперечная (сдвигающая) сила и изгибающий момент в сечении балки; γ = u X − ω – сдвиг; ω – поворот сечения; K S , K
B – интегральные операторы, включающие в себя сдвиговые и изгибные жесткости K S = K S0 (1 − K ∗ S ), K ∗ S u(t) = t −∞ ¯ K S (t, τ )u(τ )dτ , K B = K B0 (1 − K ∗ B ), K ∗ B u(t) = t −∞ ¯ K B (t, τ )u(τ )dτ Динамические жесткости вычисляются по жесткостям резиновых слоев по тем же формулам, что и в статических задачах 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда- ментальных исследований (проект № 06-01-00658) 186
K S0 = µh 2 , K B0 = 2R 3 h 1 3 + λ −2 − cosh(λ) λ sinh(λ) K, λ 2 = 18(1 − 2ν) 1 + ν R 2 h 2 , где µ – параметр Ляме, h – высота амортизатора, R – его радиус, K – модуль объемного сжатия, ν – коэффициент Пуассона. Уравнения движения элемента композитной балки m¨ u = Q X , I ¨ ω = M X + Q. (2) Подставим (1) в (2) m¨ u − K
S u X + K S ω X = 0,
I ¨ ω − K
B ω X + K S (ω − u X ) = 0.
Полученные уравнения совпадают по форме с уравнениями С.П. Тимошенко, но содержание коэффициентов жесткости будет, конеч- но, другим. Начальные и граничные условия формулируются следующим об- разом u(0, x) = u t (0, x) = 0, ω(0, x) = ω t (0, x) = 0, u(t, 0) = u 0 (t), ω(t, 0) = ω 0 (t), при M u
tt + K
S (u x − ω) = 0, I 0 ω tt + K B ω x = 0. Для решения интегро-дифференциальной системы уравнений применяется метод последовательных приближений u(x, t) = ∞ i=1
ε i−1
u i (x, t), ω(x, t) = ∞ i=1 ε i ω i (x, t),
где ε – малый параметр, который, в последствие, полагается равным единице.
Первое приближение находится из следующих соотношений 187
m¨ u 1 − K S u 1,X = 0,
I ¨ ω 1 − K B ω 1,X = K
S u 1,X , Первое приближение находится из следующих соотношений m¨ u
− K S u 1,X = 0,
I ¨ ω 1 − K B ω 1,X = K
S u 1,X , t = 0 :
u 1 (0, x) = u 1,t (0, x) = 0, ω 1
1,t (0, x) = 0, x = 0 : u
(t, 0) = u 0 (t), ω 1 (t, 0) = ω 0 (t),
x = h : M u
1,t + K
S u 1,x = 0, I 0 ω 1,t
+ K B ω 1,X = 0.
N -ое приближение m¨ u n − K
S u n,X = −K S ω n−1,X , I ¨ ω n − K B ω n,X = K S u n,X − K
S ω n−1 , x = 0 :
u n (t, 0) = 0, ω n (t, 0) = 0, x = h : M u
n,t + K
S u n,X = K S ω n−1 , I 0 ω n,t + K B ω n,x = 0.
Построение каждого приближения представляет собой сложную вычислительную задачу. Для ее решения применяется метод раз- деления переменных, который сводит решение системы к решению интегро-дифференциального уравнения, зависящего только от пере- менной t [1]. Литература 1. Смирнов О.А. Движение массы на эластомерном амортизаторе с учетом диссипации энергии // Процессы управления и устойчи- вость: Труды 36-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. С. 186–190. 2. Мальков В.М. Механика многослойных эластомерных конструк- ций. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 320 с. 188
Тамасян Г.Ш., Христич Е.А. Санкт-Петербургский государственный университет Оптимизация расположения атомов в молекуле 1 В статье рассматривается оптимизационный подход к решению задачи о строении молекулы по известным взаимным расстояниям между атомами, а также приведено аналитическое решение указан- ной задачи в случае её “точного” разрешения. 1. Постановка задачи. Требуется найти координаты атомов x 1
m в пространстве R n , удовлетворяющие следующим огра- ничениям x i − x j = δ ij при 1 ≤ i < j ≤ m, где δ ij
1 ≤ i < j ≤ m. Обозначим, через x ij — j-ю координату i-й точки, а через x — вектор (x 11 , . . . , x 1n , x
21 , . . . , x 2n , . . . , x m1 , . . . , x mn ).
функционалы F 1 (x) = m i,j=1 x i − x j 2 − δ 2 ij 2 , (1)
F 2 (x) = m i,j=1
x i − x j 2 − δ 2 ij , (2) F 3 (x) = max
1≤i i − x j 2 − δ 2 ij . (3)
Минимизируя данные функционалы, можно получить решения исходной задачи. Отметим, что в общем случае найденные для дан- жүктеу/скачать 30,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|