Процессы управления и устойчивость
жүктеу/скачать 30,48 Mb. Pdf көрінісі
|
|
позволяющее более точно проводить идентифицикацию. В настоя- щей работе МГЭ распространяется на случай задачи прогнозиро- вания эффективности нескольких методик. Ниже подробно рас- сматривается случай двух методик. В результате строится несколь- ко прогностических групп, для каждой из которых дается прогноз оценки эффективности той или иной методики. Предлагаемый подход описывается на примере задачи обучения с помощью двух методик обучения, однако он может применяться к решению различных задач: прогнозирование эффективности ле- чения некоторой болезни тем или иным лечебным препаратом, про- гнозирование эффективности применения или неприменения химио- терапии для лечения онкологических больных, прогнозирование эф- фективности той или иной системы тренировок спортсменов или той или иной системы обучения разным наукам или профессиям. Проведенная проверка на некоторых известных базах данных, а также на базах данных, полученных автором для различных мето- дик тренировок спортсменов, дает обнадеживающие результаты. 2. Задача идентификации. Задачу идентификации можно сфоpмулиpовать следующим обpазом. Пусть заданы множества A ⊂ R n
n . 198 Положим C = A∪B. Тpебуется найти пpавило, называемое пpави- лом идентификации или pешающим пpавилом (РП), с помощью ко- тоpого можно идентифициpовать точки множества C. Обычно иден- тификация пpоводится с помощью некотоpого функционала, назы- ваемого идентификатоpом, следующим обpазом: если f : R n → R – идентификатоp и c ∈ C, то точка c "пpиписывается" к (считается пpинадлежащей) множеству A, если f (c) ≥ 0, и к множеству B, если f (c) < 0. Может оказаться, что некотоpые точки множества C невеpно идентифициpованы идентификатоpом f . Чеpез A + (f ) ⊂ A обозна- чим подмножество точек множества A, котоpые пpавильно иден- тифициpованы идентификатоpом f , а чеpез A − (f ) ⊂ A – подмно- жество точек множества A, котоpые невеpно идентифициpованы идентификатоpом f . Аналогично, чеpез B + (f ) ⊂ B обозначим под- множество точек множества B, котоpые пpавильно идентифициpо- ваны идентификатоpом f , а чеpез B − (f ) ⊂ B – подмножество то- чек множества B, котоpые невеpно идентифициpованы идентифи- катоpом f . Заметим, что A + (f ) ∪ A
− (f ) = A, B + (f ) ∪ B
− (f ) = B. Качество пpавила идентификации (или качество идентифика- тоpа f ) можно измеpять, напpимеp, количеством невеpно иденти- фициpованных точек. Если каждое из множеств A и B содеpжит конечное число точек, то можно взять один из следующих кpитеpи- ев: ϕ
(f ) = |A − (f )| + |B − (f )|,
ϕ 2 (f ) = |A − (f )| |A| + |B − (f )|
|B| , ϕ 3 (f ) = max |A − (f )|, |B − (f )| ,
ϕ 4 (f ) = max |A − (f )| |A| , |B − (f )|
|B| . Здесь |A| – количество точек в множестве A. Если F – семейство идентификатоpов, а ϕ(f ) – выбpанная кpитеpиальная функция, то задача идентификации может быть сфоpмулиpована так: Найти f ∗
ϕ(f ∗ ) = min f ∈F ϕ(f ).
199 Если A ∩ B = ∅, то, в пpинципе, можно постpоить функционал, ко- тоpый пpавильно идентифициpует все точки множества C. Однако практического значения такой идентификатор не имеет, поскольку для другой генеральной выборки такой идентификатор не годится. Если же A ∩ B = ∅, то самый лучший идентификатоp может идентифициpовать только точки множества (A ∪ B) \ (A ∩ B). Множество A ∩ B пpедставляет собой множество существенно неидентифициpуемых точек. Для постpоения пpавил идентификации используются pазличные методы (см., напpимеp, [3–7]). 3. Задача прогнозирования. Предположим, что существуют две методики обучения, например, китайскому языку. Назовем их "Методика 1" (М1) и "Методика 2" (М2). Пусть известны результа- ты применения этих методик к двум группам учащихся, каждая из которых представляет собой репрезентативную выборку из общего числа учащихся. Каждый учащийся представлен точкой в n-мерном пространстве. Координатами точки являются данные об этом уча- щемся: пол, вес, рост, оценки по разным предметам, данные психоло- гических и других тестов, быстрота реакции, способность к запоми- нанию и т.п. Итак, пусть даны множества Ω 1 ⊂ R n и Ω
2 ⊂ R
n . Будем так- же считать, что каждое из множеств содержит конечное количество точек. В свою очередь, Ω 1 = A
1 ∪ B
1 , Ω 2 = A
2 ∪ B
2 , где
A 1 = {a 1i ∈ R
n | i ∈ I
1 }, B 1 = {b
1j ∈ R
n | j ∈ J
1 }, I 1 = 1 :
N 11 , J 1 = 1 : N 12 , A 2 = {a
2i ∈ R
n | i ∈ I
2 }, B 2 = {b
2j ∈ R
n | j ∈ J
2 }, I 2 = 1 :
N 21 , J 2 = 1 : N 22 . Множество Ω 1 – это множество точек (учащихся), обучавшихся языку по методике М1, а множество Ω 2 – это множество учащихся, обучавшихся языку по методике М2. Множество A 1 – это множе- ство точек (учеников) из множества Ω 1 , для которых методика М1 оказалась успешной (обучение было результативным), а множество B 1 – это множество точек (учеников) из множества Ω 1 , для которых методика М1 оказалась неуспешной (их не удалось научить языку). Аналогично, множество A 2 – это множество точек (учеников) из множества Ω 2 , для которых методика М2 оказалась успешной (обу- чение было результативным), а множество B 2 – это множество точек (учеников) из множества Ω 2 , для которых методика М2 оказалась 200 неуспешной (их не удалось научить языку). Теперь предположим, что нам известны идентификаторы f 1 :
n → R и f
2 : R
n → R. Идентификатор f 1 идентифицирует точ- ки множеств A 1 и B 1 по описанному в п. 2 правилу: если c ∈ Ω 1 , то
точка c "пpиписывается" к (считается пpинадлежащей) множеству A 1 , если f 1 (c) ≥ 0, и к множеству B 1 , если f
1 (c) < 0.
Идентификатор f 2 идентифицирует точки множеств A 2 и B
2 по правилу: если c ∈ Ω 2 , то точка c считается пpинадлежащей множе- ству A 2
2 (c) ≥ 0, и множеству B 2 , если f
2 (c) < 0.
Естественно предполагать, что идентификаторы f 1 и f 2 доста-
точно "хорошие": они успешно в том или ином смысле разделили соответствующие множества A 1 и B
1 (идентификатор f 1 ), A
2 и B
2 (идентификатор f 2 ). Качество прогнозирования существенно зави- сит от качества имеющихся идентификаторов. Пpедположим, что A 1 ∩ B
1 = ∅, A
2 ∩ B
2 = ∅ (множества не имеют общих точек). Положим Q 11 = {x ∈ R n |f 1 (x) ≥ 0}, Q 12
n |f 1 (x) < 0}, Q 21 = {x ∈ R n |f 2 (x) ≥ 0}, Q 22
n |f 2 (x) < 0}. Очевидно, Q 11
12 = ∅,
Q 11 ∪ Q 12 = R
n , Q 21 ∩ Q
22 = ∅,
Q 21 ∪ Q 22 = R
n . В результате, пространство R n окажется разделенным на 4 непе- ресекающиеся части: C ++ = Q 11 ∩ Q 21 , C
+− = Q
11 ∩ Q
22 , C
−+ = Q 12 ∩ Q
21 , C
−− = Q
12 ∩ Q
22 . 4. Исследование множеств Ω 1 и Ω
2 перта. Вначале изучим множество Ω 1 . Построим множества C ++ 11 = A 1 ∩C ++ , C +− 11 = A 1 ∩C +− , C −+ 11 = A
1 ∩C −+ , C −− 11 = A
1 ∩C −− , C ++ 12 = B
1 ∩ C
++ , C +− 12 = B 1 ∩ C
+− , C −+ 12 = B 1 ∩ C
−+ , C −− 12 = B 1 ∩ C −− . Положим p ++
= |C ++ 11 | |C ++ 11 | + |C ++ 12 | , p +− 1 = |C +− 11 | |C +− 11 | + |C +− 12 | , p −+ 1 = |C −+ 11 | |C −+ 11 | + |C
−+ 12 | , p −− 1 = |C −− 11 | |C −− 11 | + |C −− 12 | . Величина p ++ 1 представляет собой вероятность успешного обуче- ния ученика, "попавшего"в множество C ++ , с помощью методики 201 M1; величина p +− 1 представляет собой вероятность успешного обу- чения ученика, "попавшего"в множество C +− , с помощью методики M1; величина p −+ 1 представляет собой вероятность успешного обу- чения ученика, "попавшего"в множество C −+ , с помощью методики M1; наконец, величина p −− 1 представляет собой вероятность успеш- ного обучения ученика, "попавшего"в множество C −− , с помощью методики M1. Описанный метод представляет собой метод главного эксперта (в частном случае наличия только двух экспертов). Теперь проведем аналогичное исследование множества Ω 2 этим
же методом. Для этого построим множества C ++ 21 = A
2 ∩ C
++ , C +− 21 = A 2 ∩ C
+− , C −+ 21 = A 2 ∩ C
−+ , C −− 21 = A 2 ∩ C
−− , C ++ 22 = B 2 ∩ C
++ , C +− 22 = B 2 ∩ C
+− , C −+ 22 = B 2 ∩ C
−+ , C −− 22 = B 2 ∩ C
−− . Положим p ++ 2 = |C ++ 21 | |C ++ 21 | + |C ++ 22 | , p +− 2 = |C +− 21 | |C +− 21 | + |C +− 22 | , p −+ 2 = |C −+ 21 | |C −+ 21 | + |C
−+ 22 | , p −− 2 = |C −− 21 | |C −− 21 | + |C −− 22 | . Величина p ++ 2 представляет собой вероятность успешного обуче- ния ученика, "попавшего"в множество C ++ , с помощью методики M2; величина p +− 2 представляет собой вероятность успешного обу- чения ученика, "попавшего"в множество C +− , с помощью методики M2; величина p −+ 2 представляет собой вероятность успешного обу- чения ученика, "попавшего"в множество C −+ , с помощью методики M2; наконец, величина p −− 2 представляет собой вероятность успеш- ного обучения ученика, "попавшего"в множество C −− , с помощью методики M2. Теперь можно сформулировать полученную методику прогнози- рования для ученика c: 1. Если он попал в группу C ++ , т.е. c ∈ C ++ , то при p ++ 1
++ 2 считаем, что этому ученику следует учиться по методике M1 (при этом вероятность успеха равна p ++ 1 ), а при p ++ 1 < p ++ 2 считаем, что данному ученику следует учиться по методике M2 (при этом вероятность успеха равна p ++ 2
202 2. Если он попал в группу C +− , т.е. c ∈ C +− , то при p +− 1
+− 2 считаем, что этому ученику следует учиться по методике M1 (при этом вероятность успеха равна p +− 1 ), а при p +− 1 < p +− 2 считаем, что данному ученику следует учиться по методике M2 (при этом вероятность успеха равна p +− 2
3. Если он попал в группу C −+ , т.е. c ∈ C −+ , то при p −+ 1
−+ 2 считаем, что этому ученику следует учиться по методике M1 (при этом вероятность успеха равна p −+ 1 ), а при p −+ 1 < p −+ 2 считаем, что данному ученику следует учиться по методике M2 (при этом вероятность успеха равна p −+ 2
4. Если он попал в группу C −− , т.е. c ∈ C −− , то при p −− 1
−− 2 считаем, что этому ученику следует учиться по методике M1, при этом вероятность успеха равна p −− 1 , а при p −− 1 < p −− 2 счи- таем, что данному ученику следует учиться по методике M2 (при этом вероятность успеха равна p −− 2 ). Положим
p ++ = max{p ++ 1 , p ++ 2 }, p +− = max{p +− 1 , p +− 2 }, p −+ = max{p −+ 1 , p −+ 2 }, p −− = max{p −− 1 , p −− 2 }, m ++ 1 = |C ++ 11 | + |C ++ 12 |, m ++ 2 = |C
++ 21 | + |C ++ 22 |}, m +− 1 = |C +− 11 | + |C +− 12 |, m +− 2 = |C
+− 21 | + |C +− 22 |}, m −+ 1 = |C −+ 11 | + |C −+ 12 |, m −+ 2 = |C
−+ 21 | + |C −+ 22 |}, m −− 1 = |C −− 11 | + |C −− 12 |, m −− 2 = |C
−− 21 | + |C −− 22 |}. Тогда прогнозируемое количество учеников из множества Ω 1 , успеш- но прошедших обучение по оптимальной для них методике, равно u ∗ 1 = m
++ 1 p ++ + m
+− 1 p +− + m
−+ 1 p −+ + m
−− 1 p −− , а прогнозируемое количество учеников из множества Ω 2 , успешно прошедших обучение по оптимальной для них методике, равно u ∗ 2 = m
++ 2 p ++ + m
+− 2 p +− + m
−+ 2 p −+ + m
−− 2 p −− . Нетрудно видеть, что u ∗ 1 ≥ |A 1 |, а u
∗ 2 ≥ |A 2 |. Еще раз отметим, что сделанные выводы справедливы, если мно- жества Ω 1 и Ω 2 представляют собой репрезентативные выборки из 203
общего количества учащихся. Если имеющиеся базы данных не явля- ются репрезентативными выборками, их можно сделать таковыми, удалив часть точек (при условии, что количество точек в этих ба- зах достаточно велико). Естественно предполагать, что множество Ω 1
2 представляет собой репрезентативную выборку, и эту выбор- ку и следует сравнивать с множествами Ω 1 и Ω 2 при оценке того, являются ли они репрезентативными выборками. Описанный подход может быть обобщен на случай наличия k методик обучения или лечения. В этом случае пространство R n и множества Ω 1 и Ω 2 делятся не на 4, а на 2 k частей.
Литература 1. Демьянова В.В. Метод главного эксперта в задачах идентифи- кации // Устойчивость и процессы управления: Труды междун. конф., посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова. Рос- сия, СПб, 29 июня – 1 июля 2005 г. / Под ред. Д.А. Овсянникова, Л.А. Петросяна. – СПб.: СПбГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005. Т. 2. С. 815–822. 2. Demyanova V.V. The principal expert method in data mining // Applied comput. math., 2005. V. 4, № 1. P. 70–74. 3. Bagirov A.M., Rubinov A.M., Soukhoroukova N.V., Yerwood J. Unsupervised and supervised data classification via nonsmooth and global optimization // Top, 2003. V. 11, № 1. P. 1–93. 4. Bennett K.P., O.L. Mangasarian O.L. Robust linear programming discrimination of two linearly inseparable sets // Optimization methods and software, 1992. V. 1, № 1. P. 22–34. 5. Kokorina A.V. Ranking the parameters in the mathematical diagnostics problems // Comments to the paper, 2002. P. 86–89. 6. Yuh-Jye Lee, O.L.Mangasarian O.L. SSVM: a smooth support vector machine for classification // Computational optimization and applications, 2001. V. 20, №. 1. P. 5–22. 7. Vapnik V. The nature of statistical learning theory. New York: Springer-Verlag, 2000. 343 p. 204
Житкова Е.М., Колесин И.Д. Санкт-Петербургский государственный университет Восстановление параметров эпидемиологической модели по данным измерения заболеваемости и выздоравливаемости Постановка задачи. Развитие эпидемии описывается уравне- ниями Кермака – Мак-Кендрика [1]: dN 1 dt = −aN
1 N 2 , dN 2 dt = aN
1 N 2 − βN 2 , dN 3 dt = βN 2 , N 1 + N 2 + N
3 = const,
где N 1 , N 2 , N
3 — число восприимчивых, больных, иммунных. При наличии данных наблюдения эта модель может быть идентифици- рована и использована как средство прогноза. Для наблюдения за развитием эпидемии обычно используется характеристика "суточ- жүктеу/скачать 30,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|