«Прогрессиялар» ғылыми жобасында, «Тізбек ұғымы қашан пайда болды, неліктен?», «Біздің күнделікті өмірімізде алатын орны қандай?» деген сұрақтарға толық жауап берілген
жүктеу/скачать 149,5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3тарау. Прогрессиялардың қолданыс аясы. 3.1. Геометриялық есептерді шешуде қолданылады.
| 2.2. Геометриялық прогрессия
Анықтама. Екінші мүшесінен бастап, әрбір мүшесі өзінің алдындағы көршілес мүшеге бірдей тұрақты нөлден өзгеше санңа көбейткенде шығатын болса, онда бұл тізбекті геометриялық прогрессия деп атайды. Бірінші мүшесі де нөлден өзгеше. Әрбір геометриялық прогрессияны былай жазуға болады: b1,b1q,b1q2,b1q3,b1q4,b1q5… Мысалы келесі параметрлермен берілген прогрессияны қарастырайық: b1=1 q=2, Мына түрдегі 1,2,4,8,16,32…,өспелі геометриялық прогрессияны аламыз. Геометриялық прогрессияның анықтамасынан b2:b1 = b3:b2 = … = bn:bn-1 = bn+1:bn = … екенін көруге болады, шыққан сан геометриялық прогрессияның еселігі деп аталып, былай белгіленеді q. q = 1 болса онда тізбектің барлық мүшелері өзара тең болады және тұрақты геометриялық прогрессияны құрайды. Кез келген геометриялық прогрессияның анықталған қасиеті бар. Бұл қасиет геометриялық прогрессияның берілу ережесі болып табылады. Геометриялық прогрессияның n- мүшесін табу үшін формула бар: Геометриялық прогрессияның қосындысын табу үшін төмендегі формуланы пайдаланамыз Берілген формуладағы bn нің орнына мәнін қойсақ b1qn-1, геометриялық прогрессияның қосындысының тағыбір формуласын аламыз: Геометриялық прогрессияның тағы бір қасиеті бар: еселіктің анықтамасынан шығады b1bn = b2bn-1 = …, т.с.с. 3тарау. Прогрессиялардың қолданыс аясы. 3.1. Геометриялық есептерді шешуде қолданылады. Прогрессиялардың, ғылымның әр саласында,ауыл шаруашылығында,өнеркәсіпте , банктегі есептеулерде, табиғатта тарихи есептерде кездесуі. Есеп №1 АВС үшбұрышының В төбесінен BD биіктігі және ВЕ биссектрисасыжүргізілген. ВЕС, АВD, АВЕ және САВ бұрыштарының шамалары көрсетілген ретпен арифметикалық прогрессияны құрайды. Үшбұрыштың А төбесінен жүргізілген биіктігінің ұзындығын табу керек, мұндағы АС=1 см. Шешуі: ВЕС=1 АВD=2 ABE=3 CAB=4 бұрыштары, көрсетілген ретпен арифметикалық прогрессияны құрайды: ÷1,2,3,4 an = a1 + d(n – 1)(арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша) Сонымен біздің прогрессия мынадай түрде: ÷1,1+d,1+2d,1+3d. ∆АВЕ қарастырамыз.Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қасиеті бойынша былай болады 1=3+4 =>1=21+5d=> 1=-5d ∆ABD қарастырамыз. BDA=90° =>4+2=90°( Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы туралы теорема бойынша) => 1+2d=45° Біз екі айнымалысы бар, екі теңдеу алдық, оны бір жүйеге жазамыз. 1=-5d 1=-5d 1=-5d 1=75° 1+2d=45° -5d+2d=45° -3d=45° d=-15° Бұдан алатынымыз 2=60°, 3=45°, 4=30° 3-биссектриссасы АВС бұрышыныңда (шарт бойынша)бұдан В=90°,ал АВ- ВС қабырғасына түсірілген биіктік. ∆АВС – тік бұрышты, ендеше ВС=АС/2=0,5 см (30° бұрышқа қарсы жатқан қабырғаның қасиеті бойынша). АС2=АВ2+ВС2( Пифагора теоремасы бойынша) АВ2=АС2-ВС2 АВ2=1-0,25 АВ= АВ=0,5см. Жауабы: АВ=0,5см. Есеп №2. ABCDтрапециясының (AD- табаны) АС және BD диагоналдары жүргізілген, олар О нүктесінде қиылысады. AOB,ACB,ACD,BDC және ADB шамалары көрсетілген ретпен арифметикалық прогрессияны құрайды. Трапецияның AD табанын табу керек,егер АС=1. Шешуі: ADB,ACB,ACD,BDC,ADB бұрыштарын белгілейміз 1,2,3,4,5. ∆COD қарастырамыз: 4+3+1=180°(үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қасиеті бойынша) an = a1 + d(n – 1)( арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша) 1+3d+1+2d+1=180° 31+5d=180° (1) 1+d+1+4d-1=0 1+5d=0 (2) (1) 31+5d=180° – 1+5d=0 21=180° 1=90° (2)1+5d=180° 90°+5d=180° d=-18°=> 2=72° 1=90° 1=90° 1=90° 3=54° 4=36° 5=18° 1=90° яғни трапеция тең бүйірлі. ∆ACD қарастырамыз: 4+5=3 бұдан ∆ACD тең бүйірлі,яғни AC=AD=1 см. Жауабы: AD=1 см. Есеп №3 Сүйір бұрыштың ішіне n дөңгелек сызылған. Осы дөңгелектердің радиустарының ұзындықтары геометриялық прогрессия құрайтынын дәлелдейік және геометриялық прогрессияның еселігі мен сүйір бұрыштың арасындағы тәуелділікті көрсетейік. Шешуі: Сүйір бұрыш – α болсын Дөңгелектердің центрі арқылы өтетін түзу, α бұрышының биссектрисасы. Дөңгелектердің радиустарын бұрыштың бір қабырғасына перпендикуляр болатындай етіп жүргізейік Қабырға мен радиустардың қиылысу нүктелерін А1,А2,А3,А4…Аn деп белгілейміз. tg = = = = =…= осылай жазуға болады (бұл қатынастар өзара тең себебі tg өзгеріссіз қалады. Бұдан r1,r2,r3,r4…rn геометриялық прогрессияны құрайды, q= tg. Осыдан прогрессияның еселігі мен сүйір бұрыштың арасындағы тәуелділікті көрсеттік. Жауабы: q= tg. жүктеу/скачать 149,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|