Қр білім және ғылым министрлігі

8 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

а) 

z

w

e



, 

0

z

2

i

3



  

. 

Шешуі:    

2

i

2

2

2

2

3

1

3

1

3

e

e

cos

i sin

e

i

e

i

e

3

3

2

2

2

2



 

















































. 

б) 

w

cos z



,  

0

z

2

i





. 

Шешуі:                  

i (2 i)

i (2 i)

1 2 i

1 2 i

e

e

e

e

cos (2 i)

2

2







 















 









1

1

e

cos 2 i sin 2

e cos 2 i sin 2

2













 

1

1

1

1

e

e

e

e

cos 2

i sin 2

cos 2 ch 1 i sin 2 sh 1.

2

2





















 

 

Немесе, 





1

2

1

2

1

2

cos z

z

cos z cos z

sin z sin z











 орындалаьынын ескере отырып:   

cos(2 i)

cos 2 cos i sin 2 sin i

cos 2 ch 1 i sin 2 sh 1.



















 

в) 

w

Ln z



,  

0

z

2

i 2





. 

 

Шешуі:  





Ln

2

i 2

ln 2

2

i

2k

ln 2

i

2k

.

4

4

























 

























 

Мысалы 2.  Есептеу керек:  

i 1

i



. 

Шешуі:  









i 1

ln 1 i

2 k

i 1 Ln i

2

i 1

i

e

e











































2k

i

2k

2k

2

2

2

e

i e

.



















 





 























 

Комплекс 

z

  санының  мәнін  бір  комплекс  жазықтықта,  ал  комплекс 

w

f (z)



функцияның 

мәнін  екінші  жазықтықта  салатын  болайық.  Онда  комплекс  айнымалы  бірмәнді  функцияны 

z

 

жазықтығының 

M

жиынының 

w

  жазықтығының 

N

жиынына  бейнесі  ретінде  қаратыруға  болады. 

Егер бұл ретте 

M

 жиынының әртүрлі екі нүктесіне 

N

жиынының әртүрлі нүктелері сәйкес келсе, онда 

бұл бейнелеу 

M

-де бірмәнді немесе бірпарақты сәйкестік деп аталады. 

 

Мысалы  3. 

w

3z i





  бейнелеуі  бойынша 

2

2

x

y

2x

0







  сызығының  бейнесін 

анықтаңдар. 

 

Шешуі. 

w

u(x, y) i v(x, y)





  болғандықтан, 

x, y

  айнымалыларын  келесі  жүйеден 

шығарып тастайық:  

 

u

u(x, y),

v

v(x, y),

f (x, y)

0,

















 

 

мұндағы  

f (x, y)

0



 – сызықтың 

z

 жазықтығындағы теңдеуі. 

9 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

Іздеп отырған 

u

 және  

v

 байланысын табайық: 

 

w

3z i

3x

3i y i

3x

i(3y 1).



 



 





 

 

 

      

2

2

u

3x,

v

3y 1,

x

y

2x

0.

 



















 

      

2

2

u

x

,

3

v 1

y

,

3

x

y

2x

0.































 

 

 

     

2

2

u

(v 1)

u

2

0.

9

9

3









 

 

Алынған  

2

2

u

(v 1)

u

2

0

9

9

3









 теңдеуін түрлендірсек, мынаны аламыз 

2

2

(u 3)

(v 1)

9









. 

Осылайша, 

z

жазықтығындағы 

2

2

(x 1)

y

1







шеңбері   

w

      жазықтығындағы 

2

2

(u 3)

(v 1)

9









 шеңберіне бейнеленеді. 

 

Мысалы  4. 

2

w

z



  бейнелеуі  бойынша 

Im z

0



  жартыжазықтығындағы  полярлық  тордың 

бейнесін анықтаңдар.  

 

Шешуі. 

1. Жарты шеңберлердің бейнелерін анықтайық:( сур.): 

r

z

c,

0

arg z

.

 







 



 

 

2

2

w

z

c , arg w

2arg z, 0

arg w

2 .









 

 

Яғни, алыстатылған 





2

c , 0

нүктелері бар 

2

w

c



 шеңбер-бейнелер. 

 

 

                                                                    y 

 

 

                                                                                                                       

 

                                                                                                                           

 

 

 

0                              x 

 

 

 

2. Сәулелердің бейнелерін анықтайық (суретте)  

arg z

c,

0

c

,

0

z

.

 



  







 



 

10 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

 

2

w

z ,

0

w

,

arg w

2arg z

2c.





 





 

 

Алыстатылған нүктелері бар сәуле-бейнелер: 

w

0



. 

 

 

                                                                       v 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                        

 

 

                           0 

                          u                                

 

 

 

 

 

 

 

Осыдан 

Im z

0



  жарты  жазықтығының  полярлық  торының  бейнесі     

uOv

жазықтығының 

Ou

өсінің бойымен қиылған полярлық торы болып шығады. (суретте). 

 

ЕСЕПТЕР МЕН ЖАТТЫҒУЛАР 

 

1.1. Берілген функциялардың берілген нүктелердегі мәнін есептеңдер: 

а) ,

z

w

e



, 

1

2

z

(1 i), z

2

2i,

  





  

3

z

1

2k

i,

2







 













 

k

 – бүтін сан; 

б) 

w

sin z



 , 

1

2

z

2

3i, z

i







; 

в) 

w

ctg z



  , 

1

2

z

1

i, z

i

2



  

 

; 

г) 

w

ch z



  ,  

1

2

z

1 2i, z

2

i

 

  

; 

д) 

w

Ln z



  ,  

1

2

3

z

1, z

i, z

2 3i

 







; 

е) 

w

Arcsin z



  ,  

1

2

1

z

i, z

2





. 

1.2. Есептеу керек:  





3 3 i

i

1 i

, 3 .





 

1.3. Нақты және жорамал бөліктерін 0,0001 дәлдігімен есептеу керек:  

i

cos

2

; 

1.4. Нақты және жорамал бөліктерін есептеу керек:  а) 

2

z

e

;    б) 

3 i

z



; 

в) 

2

z sin z

. 

1.5. Теңдеуді шеш: 

cos z

2



. 

1.6.  Тепе-теңдікті дәлелде: 

11 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

а) 





ch z

i

ch z;

 

 

                        б) 

2

2tg z

tg 2z

.

1 tg z





 

1.7.  Комплекс  жазықтықта 

0

z

2 i





нүктесінің  бейнелерін  келесі  бейнелеулермен  анықта:  а) 

w

3z i;





     б) 

16

w

;

z



     в) 

z

w

.

z

i





 

1.8. 

2

w

z



 бейнесі бойынша 

3



z

сызығының бейнесін анықта. 

1.9.  

2

w

z



  бейнелеуі бойынша 

0

Im 

z

 жарты жазықтығының бейнесін анықта. 

1.10. 

1

1

w

z

2

z

















  бейнелеуі  бойынша  (Жуковский  функциясы) 

arg z

, 0

z

1.

3









сызығының бейнесін анықта. 

 

 

1 есеп 

Амалдарды орындаңдар: 

. 

 

43

2

i

2 3i





; 

. 





2

4

2i

2

4i

i







; 

 

. 

 

12

2

i

i

3 i







; 

. 

 

17

3 4i

3

i

4

3i



 



; 

 

. 

 

7

2i

7

i

2

i







; 

 

. 

 

22

7

5i

i

1 2i







; 

. 





7

5i

i 1 i

1 2i









; 

. 

 

11

7

2i

i

2 i







; 

 

. 

 

18

5

i

1 2i





; 

0. 

 

4

1 i

i

1 i







; 

 

1. 





2

12

i 2

i

5 i







; 

2. 

 

23

17

6i

i

3

4i







; 

 

3. 

4

3

i

1

3 i





; 

4. 



  

9

i 1

3i

2

i

i 1





 





; 

 

5. 



  

21

5 i

1 2i

i

i









; 

6. 



 

  

26

0, 2 0,3i

0,5 0, 6i

i









; 

 

7. 



 



 

33

3

3 i

3

3 i

i









; 

 

8. 

1 i

1 i

1 i

1 i











; 

 

9. 

 

37

7

5i

i

1 2i







; 

0. 

 

25

3 4i

i

4 3i







; 

12 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

 

1. 

32

3 7

2i

1 3 3 i





; 

2. 





2

2

1 i

3 i

1 i



 



; 

 

3. 

 

44

1 i

i

i





; 

 

4. 





 

2

35

0,5 0,5 3 i

0,5 3 i







; 

5. 

4

1

7 i

2















; 

6. 





2

1 i

2

2 i

i







; 

 

7. 

 





17

2i

i

3 i





; 

8. 













2

6

2 i

1 i

2

2 i

3 i













; 

 

9. 

  



13

i

i 1

1

2

i









; 

0. 

 





2

15

6 i 1

i

2 i







. 

 

 

 

2 есеп 

Комплекс санды тригонометриялық түрде беріңдер: 

. 

1 i



; 

. 

1 i



; 

. 

1 i

 

; 

. 

1 i

 

; 

. 

2i



; 

. 

3 3i



; 

. 

3

i





; 

. 

2

2 i





; 

. 

3

i



; 

0. 

0,5 0,5 3 i



; 

1. 

3

3 i





; 

2. 

3 3

3i



; 

3. 

0,5 0,5i



; 

4. 

4i

; 

5. 

0,7 0,7i





; 

6. 

1

3 i



; 

7. 

2 2i

 

; 

8. 

3i

; 

9. 

1,2



; 

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: