«развитие науки и инновации в современном мире: проблемы и перспективы»

298 
 
Біздің  ойымызша,  тізбектің  анықтамасы,  белгілеуі,  берілу  тәсілдерінен 
бастаған ыңғайлы болады. 
Тізбек  деп  барлық  оң  бүтін  сандар  жиынында  анықталған   
f
 функциясын 
атайды. 
f
 функциясының 
n
 оң  бүтін  санына  сәйкес  мәнін 
n
x
 деп  белгілейді,  яғни 
 
.
n
x
n
f

 Әрбір 
n
x
 санын    тізбектің  мүшесі  деп  атайды.    Тізбекті  жалпы  түрде 
мына символдармен белгілейді: 
,...
,...,
,
2
1
n
x
x
x
;      
 


1
n
n
x
     
 
;
n
x
     
 
1

n
n
x
.
 
Кӛп жағдайда, ыңғайымызға қарай  (жазылуы ықшам болғандықтан) 
 
n
x
      
белгілеуін  қолданамыз. 
  
Әрине, 
x
-тің  орнына  басқа  да  әріптер  қолданылады.  Мысалы, 
   
n
n
n
t
z
y
,
,
  
т.б. 
Егер  тізбектің  анықтамасындағы  сәйкестікті  айқын  түрде  кӛрсету  қажет 
болғанда, келесі тәсілдерді пайдаланады: 
  1º.  
n
x
 - ді тікелей табу ережесі беріледі.  Мысалы, 
n
n
x
2

, 


;
,...
2
,
1

n
  
,...),
2
,
1
(
,
1
2



n
n
x
n
    
,...)
2
,
1
(
,


n
n
x
n
 т.б. 
  2º.          
n
x
 - ді  жанама жолмен теру ережесі. Мысалы,   
,
1
2
1


x
x
 
    
2
1




n
n
n
x
x
x
,         
,...)
4
,
3
(

n
   яғни      1,1,2,3,5,...,8,13,21,34,...  –  бұл  Фибоначчи 
тізбегі.  
Белгілі  бір 
k
 оң  бүтін  саны  үшін  тізбектің   
n
-ші   
,...
2
,
1



k
k
n
мүшесін 
алдындағы 
k
  мүшелері арқылы бейнелейтін формуланы рекурентті формула дейді. 
Тізбектің рекурентті формула арқылы анықталуы жиі қолданылады. 
3º. Тізбектің мүшелерін табу ережесі сӛзбен де берілуі мүмкін. Мысалы,
 
n
x
  
 
-  оң  бүтін  сандар  қатарында 
n
-ші  болып  келген  жай  сан  болсын,  яғни  бұл 
1,3,5,7,11,... тізбегі болады. 
4º. Алғашқы бірнеше мүшесі кӛрсетілгеннен байқалатын заңдылық бойынша 
n
x
жалпы  мүшесі  танылады.  Мысалы,  тізбек  мына 
,...
6
1
,
4
1
,
2
1
,
1
 түрде  берілсе,  онда 
оның жалпы мүшесі 
n
x
n
2
1

   болатынын байқауға болады.     
Тізбек  және  оның  шегі  ұғымдары  математиканың  ішкі  проблемаларымен 
қатар  оны  қолдану  жолында  пайда  болды.  Мысалы,  біз  үшбұрыштың  ауданының 
анықтамасын  біле  тұра,  радиусы 
R
-ге  тең  дӛңгелектің  ауданы  деген  не  және  оны 
қалай табуға болады деген сұрақты қарастырайық. 
Әрбір 
2

n
 үшін    радиусы   
R
-ге  тең  дӛңгелеккке 
n
2
 
  бұрышты  дұрыс 
кӛпбұрыш 
n
S
   -ді  іштей  сызсақ,  онда  олардың  аудандары 
n
x
 тізбегін  құрады.  Бір 
жағынан 
n
   ӛскен  сайын 
n
S
 
фигурасы  дӛңгелекке  ақырсыз  жақындайды,  екінші 
жағынан  әрбір 
n
 үшін 
n
S
 
фигурасы  дӛңгелекпен  дәл  беттеспейді.  Сонда 
дӛңгелектің  ауданы  деген  не?  Дӛңгелектің  ауданын  неге  тең  деп  алу  керек?  Осы 
сұрақтарға жауап беру үшін – тізбектің шегі ұғымын енгізу керек. Шек ұғымының 
негізгі мағынасы мынада: Номері ӛскен сайын тізбектің мүшелері белгілі бір санға 
ақырсыз жақындайды. Сол санды тізбектің шегі деп атайды.Мысалы, 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
,
1
1
,
1
,
1
,
1
5
4
3
2
1











 

299 
 
тізбектердің  әрқайсысының  шегі  бар  және  ол  0-ге  тең.  Қарастырып  отырған 
тізбектер  шегіне  қалай  жақындайтыны  туралы  әсер  алу  үшін,  олардың  алғашқы 
бірнеше мүшелерін жазайық: 
                                                 
 
,...
8
1
,
7
1
,
6
1
,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
:
1
n
x
 
 
                                                 
 
,...
8
1
,
7
1
,
6
1
,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
:
2








n
x
 
 
                                                  
 
,...
8
1
,
7
1
,
6
1
,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
:
3




n
x
 
                                                 
 
,...
4
1
,
0
,
3
1
,
0
,
2
1
,
0
,
1
,
0
:
4
n
x
 
                                                  
 
,...
8
3
,
7
1
,
6
3
,
5
1
,
4
3
,
3
1
,
2
3
,
1
:
5
n
x
 
Бұдан  мынаны  байқауға  болады: 
 
 
1
n
x
 -  тізбегінің  мүшелерінің  бәрі  де 
шегінен  үлкен; 
 
 
2
n
x
 -  тізбегінің  мүшелерінің  бәрі  де  шегінен  кіші;                                                  
 
 
3
n
x
 -  тізбегінің  мүшелері  кезек-кезек  шегінен  үлкен    және  кіші;     
 
 
4
n
x
 - 
тізбегінің  мүшелері  кезек-кезек  шегіненүлкен  не  оған  тең;   
 
 
5
n
x
   -  тізбегінің 
мүшелері шегіне  біресе жақындап, біресе алыстап отырады. Бірақ барлық жағдайда  
n
 нӛмері ӛскен сайын тізбектің мүшелері 0 санына жақындай түседі. "Номері ӛскен 
сайын тізбектің мүшелері шегіне ақырсыз жақындайды" сӛйлемін қандай мағынада 
түсінетінімізді дәл анықтау үшін "маңай" ұғымын енгізейік. 
0



 саны  мен 
R
a


 берілсін.  Онда  мына  теңсіздікті 



a
x
                
қанағаттандыратын  барлық     
R
x

   нүктелердің  жиынын   
a
     нүктесінің   

   - 
маңайы  деп  атайды.  Басқаша  айтқанда,  бұл 






a
a
,
   интервалы  болады.  Оны 
 
a
O

         деп  белгілейді.  Ал 









a
a
a
O
,
0
 жартылай  интервалды 
a
   
нүктесінің оң жақ  

 -маңайы деп атайды. Дәл осылайша мына маңайлар: 

 

a
a
a
a
O




,
0


     нүктесінің  сол  жақ  маңайы   

   -  маңайы; 
  





,


O
       -   
 


-тің   

-  маңайы,  (немесе  бұл 


x
 теңсіздігін 
қанағаттандыратын нүктелер жиыны); 
  
  











,
O
-тің 

-маңайы  
(



x
  
теңсіздігін 
қанағаттандыратын 
нүктелер 
жиыны);   
  
 








,
,



O
   -

-тің       

 -  маңайы    ( 


x
   теңсіздігін 
қанағаттандыратын  нүктелер жиыны )  енгізіледі. 
 
"Маңай"    деген  сӛздің  ӛзі 
a
 -ға  жақын  орналасқан  жиын  болып  кӛрінеді, 
яғни 

 неғұрлым    кішкентай  болса,  соғұрлым  маңай  ұғымын  дәл  бейнелейтін 
сияқты  жаңылысқа  әкелуі  мүмкін.  Бірақ  мұндағы 

 санына  оң  болуынан  басқа 
ешқандай шарт қойылмайды. 
 
Енді тізбек шегінің дәл анықтамасын берейік. 
 
Анықтама. 
 
n
x
 тізбегі  берілсін.  Егер 
0



 саны  арқылы 


K
n
K



,
 
үшін 
 
a
O
x
n


   (немесе 



a
x
n
 теңсіздігі) орындалса, онда 
 
n
x
 тізбегінің шегі 
бар және ол   
a
  санына тең дейді, оны былай белгілейді: 

300 
 
a
x
n
n



lim
 не 





n
a
x
n
 
Мұндай  жағдайда 
 
n
x
     тізбегін  " 
a
санына  жинақталатын  тізбек",  "   
a
  
санына ұмтылатын тізбек" деп те атайды. 
 
Егер 
0



 саны арқылы 


K
n
K



,
 үшін 


0


a
O
x
n

  (не 




a
x
a
n
), онда 
 
n
x
  тізбегі 
a
 санына оң жағынан жинақталады дейді де, былай белгілейді: 
,
0
lim




a
x
n
n
 мұндағы +0 деген 
a
 санына оң жағынан жақындайды дегенді анықтау 
үшін  қолданылған  символ.  Мұндай  жинақталудың  мысалы    жоғарыда  кӛрсетілген 
 
 
1
n
x
 тізбегі,  оның  мүшелері  0-дің  тек  оң  жақ  маңайыда  жатыр.  Сонымен, 
анықтамадағы 
 
a
O
x
n


 ӛрнегін 


0


a
O
x
n

 (не 
a
x
a
n




), 

O
x
n

 (+

)    
(не 


n
x
), 
 




O
x
n
  


 






O
x
x
не
n
n
,
  




n
x
не
 ауыстырсақ,  онда 
мына шектердің анықтамаларын аламыз: 
 
,
0
lim




a
x
n
n
яғни     
 
n
x
   тізбегі 
a
 санына  сол  жағынан  жинақталады. 
Мысалы, 
 
 
2
n
x
   тізбегі  мүшелері    0-дің тек сол  жақ маңайында жатыр,   яғни 0-ге 
сол жағынан ұмтылады.     
 
,
lim




n
n
x
  яғни 
 
n
x
  тізбегі   +

 - ке ұмтылады; 
 
 
 
,
lim




n
n
x
  яғни 
 
n
x
  тізбегі   - 

 - ке ұмтылады; 
 
 
 
,
lim




n
n
x
  яғни 
 
n
x
  тізбегі    

 - ке ұмтылады. 
 
Енді  тізбек  шегінің  геометриялық  мағынасына  тоқталайық:  анықтамадағы 
0



 берілуі, 
a
 нүктесінің 
 
a
O


   маңайын  қарастырсақ  та, 

K
 саны  табылып, 
тізбектің  нӛмерлері 

K
n


 болатын  мүшелерінің    барлығы  осы  маңайда,  яғни 






a
a
,
 интервалында  жатады,  ал  қалған  мүшелері 
 

k
x
x
x
,...,
,
2
1
 осы  маңайдың 
сыртында жатыр дегенді кӛрсетеді. 
 
Берілген 
 
n
x
 тізбегі 
a
 санына ұмтылатынын зерттегенде қандай 
n
-дер үшін 



a
x
n
 теңсіздігі  орыдалатынын  табуымыз  қажет,  яғни 
n
-ді  белгісіз  деп  алып 
сол теңсіздікті шешу қажет.  
 
 
Шектің  анықтамасы 



,

K
интервалындағы  барлық 
n
 бүтін  сандар 



a
x
n
 теңсіздігінің  шешімі  болатын  кемінде  бір 

K
 оң  саны  табылуын  керек 
етеді.  Мысалы, 
 
n
x
n
n
1


 


,...
2
,
1

n
 тізбегі  0-ге  жинақталатынын,  яғни 
 
0
1
lim
lim







n
x
n
n
n
n
 екенін  кӛрсетейік.  Ол  үшін 
0



 аламыз  да 



0
n
x
 
теңсіздігін,  яғни 
 




0
1
n
n
 теңсіздігін  шешейік.  Мұндағы 
 
,
1
0
1
n
n
n



 онда 


n
1
 теңсіздігін  шешейік,  ендеше 
.
1


n
 Сондықтан 

K
 деп 

1
 санын  аламыз,  

301 
 
яғни 


1

K
.    Шектің  анықтамасындағы 

K
 саны  табылды,  ендеше 
 




0
1
n
n
  
теңсіздігі барлық 


1


K
n
 үшін орындалады, яғни 
 
0
1
lim




n
n
n
.
 
 
Жоғарыда  қарастырылған  басқа  тізбектердің  де  шегі  0  екенін  осылай 
дәлелдеуге болады, мұндағы 
 
 
 
 
 
n
x
n
x
n
x
n
n
n
n
n
1
2
,
1
1
,
1
5
4
1







  тізбектері 0-
ге оң жағынан ұмтылады; 
 
n
x
n
1
2


 тізбегі 0-ге сол жағынан ұмтылады. 
 
Сонымен,  біз  тізбектің  шегі  ұғымын  енгізіп,  оның  анықтамасын 
талқылағаннан кейін, шегі бар тізбектердің қасиеттерін қарастырдық. Міне осыдан 
кейін  шексіз  аз,  шексіз  үлкен  тізбектер,  арифметикалық  және  геометриялық 
прогресияларды  тізбектің  дербес  жағдайлары  ретінде  қарастыру  ыңғайлы  болады 
деп есептейміз. 
Әдебиеттер 
1.
 
Н. Темірғалиев "Математикалық анализ", 1 бӛлім.  Алматы, "Мектеп", 1987 ж. 
2.
 
Н. Я. Виленкин "Алгебра", учебное пособие для учащихся 9 класса с углубленным 
изучением математики. Москва, "Просвещение", 1999 г. 
3.
 
Қарабаев А. Тізбектің және функцияның шектерін табуға арналған есептер жинағы  
/ Жезқазған: ЖезПИ. – 1995. - 20 бет. 
4.
 
Юнусов А.А.Конспект лекций поматематическому анализу.Часть-1. ОҚМУ 
 Шымкент-2012-200 бет. 
 
УДК 373. 167. 372.85+51 (075.8)  
ЗАКОНОМЕРНОСТИ СТАНОВЛЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ЕСТЕСТВЕННО 
НАУЧНОГО МИРОВОЗЗРЕНИЯ ЧЕЛОВЕКА, ИХ КОМПОТЕННОСТИ  В 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МИРОВОЗРЕНИЯ. (часть-1) 
 
2
Юнусов, А.А ., 
1
Жохов, А.Л. 
1
 ГОУ ВПО Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского, 
кафедра МА и ТиМОМ, (Россия, Ярославль, ул. Республиканская, д. 108) 
ya.lvovich2012@yandex.ru
 
2 
Юнусов А.А.  Международный гуманитарно-Технический Университет. 
(Республика Казахстан 160012, Шымкент, ул.А.Байтурсынова80). 
Yunusov1951@mail.ru
 
 
Түйін 
Бұл мақаланың мақсаты – адам дүниетанымының қалыптасуы және дамуы теориясының негізгі 
ережелерімен таныстыру. Дүниетаным адамның  қоршаған ортаға жалпылама бағыталуының 
жеке тұтастық  механизмі ретінде  баяндалады. 
Бұл  тұрғыда  әрбір  адамда,  ол  қай  елдің  тұрғыны  болсада,  осындай  механизмді 
қалыптастыру  қажеттілігі  әрқашан  ойланған.  Бұл  әдістемелік  –  педагогикалық    проблема.  
Мақалада сәйкес теорияның негізгі тұйымдары мен қағидалары берілген. 
 
Summary 
The purpose of this article is to familiarize the participants with the key provisions of the theory of 
the formation and development of a person's world. Outlook is treated as a personal, holistic mechanism 
of  the  generalized  orientation  of  the  person  in  the  environment,  as  a  mechanism  for  generating  its  own 
activity.  In  this  vein,  has  always  recognized  the  necessity  of  formation  of  such  a  mechanism  in  every 
human  century,  no  matter  what  human  stratum he  belonged.  It  is  a  –  methodical-pedagogical  Problem. 
The article provides the basic concepts and provisions of the relevant theory. 
 

302 
 
Научное гуманистическое [3] мировоззрение, в отличие от технократического 
[12],  –  необходимый  и  важный  атрибут  современного  человека.  Не  последнюю, 
если не ведущую роль в его становлении, формировании и развитии играет или, по 
меньшей  мере,  должно  играть  на  различных  этапах  становления  личности, 
обучение  математике  и  дисциплинам  естественнонаучного  цикла.  Задача  данной 
статьи  –  с  опорой  на  проведѐнные  исследования  ряда  учѐных  познакомить 
читателя,  прежде  всего  учителя  и  студента  педагогического  вуза,  с  основными 
закономерностями  становления  и  развития  мировоззрения  вообще  и  научного 
мировоззрения растущего человека – в частности. 

жүктеу/скачать 4,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: