Реферат тақырыбы: Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Орындаған: Бүркітбай А. Т. Тексерген: Төребай Нұрсәуле
жүктеу/скачать 60,23 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Шымкент 2023 Жоспары: Кіріспе Негізгі бөлімі
- Қорытынды Пайдаланған әдебиеттер
|
Мирас университеті IT және телекоммуникация кафедрасы РЕФЕРАТ Тақырыбы: Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Орындаған: Бүркітбай А.Т. Тексерген: Төребай Нұрсәуле Шымкент 2023 Жоспары: Кіріспе Негізгі бөлімі Коши теоремасы Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер Қорытынды Пайдаланған әдебиеттер Кіріспе
Табиғат құбылыстарын зерттегенде, физика жəне техника, химия жəне биология мəселелерін шешкенде, эволюциялық процесті анықтайтын шамалар арасындағы тəуелділік, көбіне, шамалар мен олардың өзгеру жылдамдықтары арасындағы байланыс түрінде, яғни белгісіз функциялар мен туындыларын (дифференциалдарын) байланыстыратын теңдеу ретінде алынады. Белгісіз функция жəне оның туындыларын байланыстыратын мұндай теңдеулер дифференциалдық деп аталады. Ізделінді функция бір ғана айнымалыдан тəуелді болса, теңдеу кəдімгі дифференциалдық, ал бірнеше айнымалыдан тəуелді болса, дербес туындылы дифференциалдық деп аталады. Мысалы, ең қарапайым кəдімгі дифференциалдық деп, ( ) dy f x dx = теңдеуін айтады, f (x) - белгілі, y = y(x) - ізделініп отырған белгісіз функция. Бұл теңдеудің шешімдерін f (x) функциясының алғашқы функциялары деп атайтындығы белгілі: Жалпы y = ∫ f(x)dx + C шешімдер жиынтығын береді. Массасы m нүктенің F күшінің əсерімен қозғалысы 2 2 , , d r dr m F tr dt dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ теңдеуімен беріледі, r - радиус вектор, dr dt - қозғалыс жылдамдығы, 2 2 d r dt - үдеу. Мұндағы ізделінді функция r(t) , ең жоғарғы туындысы - 2. Теңдеу 222 222 4 (, ,) du du du xyz dx dy dz ++= πρ - Пуассон теңдеуі деп аталады, дербес туындылы, ізделінді функция u = u(x, y, z) үш айнымалыдан (x, y, z) тəуелді. 4 Ізделінді функцияның ең жоғарғы туындысы (дифференциалы) теңдеудің реті деп аталады. Келтірілген екінші, үшінші мы салдардағы теңдеулер екінші ретті. Теңдеуді қанағаттандыратын, яғни тепе-теңдікке айналдыратын функция теңдеудің шешімі деп аталады. Мысалы, радиоактивтік ыдырау теңдеуінің: ( ) ( ) dx t kx t dt (1) = − шешімі ( ) kt x t Ce − = . (2) С – кез келген тұрақты. Əрине, теңдеу (1) радиоактивті ыдырау процесін толық анықтамайды. Оны толық анықтау үшін бастапқы t0 моментіндегі ыдыраушы заттың х0 мөлшерін білуіміз керек. Егер ( )o o xt x = белгілі болса, радиоактивті ыдырау заңын ( ) kt to o x xe − − = табамыз. Теңдеудің шешімін табуды, дифференциалдық теңдеуді интегралдау деп атайды. Дифференциалдық теңдеуге келтіретін есепті қарастырайық. Массасы m материалдық нүкте салмағының əсерімен құлайды. Ауа кедергісін ескермей, нүктенің қозғалыс заңын табу керек. Шешуі. Нүкте құлайтын О нүктесінен төмен бағытта вертикал осьті анықтасақ, t - уақытында нүкте y(t) орнында болады. Нүкте салмақ күші əсерімен құлайтындықтан, Ньютонның екінші заңы бойынша ma mg = екендігі белгілі. Мұндағы, үдеу 2 2 , d y a g dt = = онда 2 2 d y m mg dt = теңдеуі нүкте нің қозғалыс заңын анықтайды. Теңдеуді түрлендіріп g, екі рет интегралдау нəтижесінде шешімін аламыз. Бұл формула нүктенің қозғалыс заңын береді, бірақ екі тұрақты 1 2 C , C бар. Тұрақтыларды 1 2 C , C нүктенің қозғалыс заңын толық анықтау үшін қажетті қосымша шарттардың көмегімен нақтылаймыз. 5 Құлайтын нүктенің, О нүктесіне қарағанда, бастапқы орны 0 y(0) = y жəне бастапқы жылдамдығы 0 ϑ(0) = ϑ белгілі болуы керек. Қозғалыс жылдамдығы ( ) dy t( ) t dt ϑ = болғандықтан C1 = ϑ0 , 2 0 C = y . Сонымен, нүктенің қозғалыс заңын беретін функция 2 0 0 2 gt y ty = ++ ϑ . Бұл, біркелкі үдемелі қозғалыстағы нүктенің жүріп өткен жолы екендігі белгілі. Процестің өтуі туралы толық мағұлмат белгілі болғанда, оның математикалық моделін құруға əрекет жасалынады. Көп жағдайда, модель дифференциалдық теңдеумен жазылады да, оның бір шешімі процестің функционалдық сипаттаушысы болады. Математикалық ғылым, дифференциалдық теңдеулер теориясы, процестердің математикалық моделдерін құрып, сипаттаушы функционалдық тəуелділіктерін табумен айналысады. жүктеу/скачать 60,23 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|