§2. Примеры решения геометрических задач векторным методом Задача 1 Точка С – середина отрезка AB, а О – произвольная точка на плоскости (рис. 6). Доказать, что .
Р ешение По правилу треугольника , . Складывая эти равенства, получаем:
.
Так как точка С – середина отрезка АВ, то . Таким образом , , или .
З адача 2 Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.
Решение Пусть - данная трапеция, и - середины оснований и , а - точка пересечения прямых и (рис. 7). Докажем, что точка лежит на прямой .
Треугольники и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Так как и , то
, (1).
Точка - середина отрезка , поэтому . Аналогично .
Подставив в последнее равенство выражения (1) для и , получим: .
Отсюда следует, что векторы и коллинеарны, и, значит, точка лежит на прямой .
Задача 3 Дан произвольный треугольник . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника .
Решение П усть , , - медианы треугольника (рис. 8). Тогда , , (задача 1). Сложив эти равенства, получим
Отсюда следует, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника .
Задача 4 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.
Решение Пусть и - середины диагоналей трапеции (рис. 9). Покажем, что || . Для этого достаточно показать, что коллинеарен .
Т ак как и - середины отрезков и , то
,
.
Следовательно,
.
Но коллинеарен вектору , поэтому , - вещественное число.
Т огда
,
То есть коллинеарен , что и требовалось доказать.
