Задача 5
Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
Решение
Пусть - равнобедренный треугольник с основанием и , - его медианы, проведенные к боковым сторонам (рис. 10). Введем обозначения , , | |=| |=| |. Тогда , , поэтому скалярное произведение
(2)
По условию задачи , и, следовательно, . Далее, , , , поэтому равенство (2) принимает вид . Отсюда получаем , .
Задача 6
- правильный шестиугольник. Доказать, что .
Решение
Пусть - правильный шестиугольник. Покажем, что . Заметим, что , .
Далее и .
Отсюда следует, что .
Задача 7
В параллелограмме дано: и ; , ; , . Выразить векторы и через и .
Решение
Пусть - параллелограмм (рис. 12), в котором , , , , , .
Выразим через и . , .
Т огда .
,
,
.
,
,
, ,
Задача 8
В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности до вершин квадрата не зависит от выбора этой точки. Найти сумму этих квадратов.
Решение
П усть - центр квадрата (рис. 13), а - произвольная точка окружности, вписанной в квадрат.
Имеем: ,
, .
Тогда
где - сторона квадрата, – радиус окружности.
Поскольку , то искомая сумма равна .
Достарыңызбен бөлісу: |
