анықталады.  Бұл  жазықтықтар,  сәйкесінше,  жанасушы,  нормаль

Бұл 
МтЬ 
табиғи  өстер  жүйесі 
М   нүктесімен  бірге
траекторияның  бойымен  қозгалатындықтан,  кейде  қозғалмалы  немесе 
ілесуші үшжақтық деп те атайды.
Жылдамдық 
пен  үдеудің  табиғи  өстерге  проекциялары. 
Нүктенің  траекториясы  мен  нүктенің  осы  траектория  бойымен 
қозғалысының заңдьшығы  ^ = х(()  түрінде берілген делік (1.7 -  сурет).
Бүл 
жағдайда 
нүктенің 
жылдамдығы 
қалай 
анықгалатынын 
қарастырайық. 
Нүктенің 
орны 
г 
радиус-вектормен 
анықталғандықтан,  жылдамдықты  анықтайтын  (1.6)  формуласын
жазаиық
(1.14)
д/->о Д/
Осы теңдікті келесі түрде жазайық
АіУ  Д/ 
Д^->0 Ду  А/->0 Д/
(1.15)
м
Лу 
доғаның 
оны 
тартушы 
Дг 
хордасына 
қатынасы  шегінің  модулі 
бірге  тең  болады,  ал  ММ{
қиюшысы  М\  нүктесі 
М
нүктесіне 
ұмтылғанда,
1 
траекторияның  М   нүкте- 
сінде  тұргызылған  жанама- 
сымен  сәйкес  және  бағыт- 
тас болады, сондықган
1 .7 -   с у р е т
.. 
Дг 
сіг 
ігт —  -  —  = г,
Аі-*0 Д у 
СІ8
14

мұндағы 
т
  - жанама өстщ орты
л .  Ду 
щ
ит —  = —  = 5
шш
 
дг 
л
екенін еске алсақ
ш
о= — т,
 
(
1
.
16
)
аі
немесее
о  = оТт
(1.17)
болып шығады.
Мұндағы 
от
  = і  
жылдамдықтьщ,  траектория  жанамасына 
проекциясын білдіреді..
Нүкте  үдеуінің  табиғи  өстердегі  проекцияларын  анықтайық. 
Жылдамдық векторынан (1.17)  уақыт бойынша туынды алайық
—  сіи 
<і  ( 
<іог  _ 
<іт 
/ і , о ч
ш  = —  = — (отт )=— -т + от
 — . 
( I I 8)
Л  
№ ■ т ;  
Л  
Л
<іт
—   векторының шамасы мен бағытын анықтайық
Анықтама бойынша
—  =  ііт 
(1 .19)
Л  
Д/
15

Шекті түрлендірейік
Олай болса
0.  Ат 
Ат  Аз 
Ат  лш  Аз
ит  —— =  ііт  —  • —  =  £ іт ----- ііт  —
д/->о 
А і
 
д/-+о 
Аі  А$ 
Ал->о  А?  Ал—
>о Аі
СІТ 
сіт  сЬ
™   ■   1 11 
■ ■ ■ ■ ■ !   #   м
м
»
СІІ 
СІ8 
СІІ
Щ і і т Ш
иЗ
 
Ді->0  Д,у
(1.20)
(
1
.
21
)
векторы  траекторияның  ойысына  бағытталады 
(1.8
сурет),
жанасушы  жазықтықта  жатады  жэне  траекторияның  жянямягынд
перпендикуляр  болады,  өйткені
тг
жасаимыз
- 1  теңдігінен  келесі  тұжырым
сіт
сһ
=л
0.
М  
т 
А
1.8  - с у р е т
1.9 -  су р ет
*
16

Сонымен,
СІТ
СІ5
векторының  бағыты  бас  нормальдың  орты  п
векторымен бағыттас (1.8 -  сурет).
Бұл  вектордың  модулі,  &М4А}  үшбұрышынан  келесі  түрде 
анықталады
(ІТ
=  Ііш
Ат
СІ5
Ду->0 
Ду
=  Ііш
Д*—
»0
0  .  Щ
2 8 1 П ------
____________________ 2
_
немесе
сіт
сіз
зіп
1 »   —та 
д#->о  АӘ
АӨ
Ду—
і
►
О
  Ду
Ііш 
—
Д*-*0  Ду
2
Д0
Ду
қатынасын,  траекторияның  Д
у
  доғасының  орташа  қисық-
тығы  деп,  ал  оның  Ду  нөлге  ұмтылгандағы  шегін  траекторияның  М 
нүктесіндегі қисықтығы деп атайды, ягни
Ііш  —  = к.
Ду
(
1
.
22
)
Траектоияның  кез  келген  нүктесінің  қисықтығына  кері  р  =
|
к
шаманы
формулаларын  қолданып,  т  ортынан  уақыт  бойынша  алынған
туындыны анықтаиық
(ІТ 
СІ5
 
1  _
—    -------- п
сіі 
сіі  р
(1.23)

СІТ
Осы  теңдікпен  аньпсгалған 
—   мәнін  (1.18)  формуласына
Ш: 
•  'ЩВ,
қояйық.  Сонда  үдеу  векторының  табиғи  өстеріндегі  қүраушыларын
анықтаимыз
2
я т = ^ -£- г + — п . 
(1.24)
Л  
р
Осы  өрнектен  нүктенің 
ш  үдеу  векторының  жанасушы 
стықта  жататыны  және  оның  бинормальға  проекциясы  нольге
*  •
тең екендіпн көреміз.
й о г  _ 
.  _
= — -т  ш о л
Толық  ш  үдеудің  қүрамалары:  шт
  = — -т  = итт  -  векторы
Ш
траекториясының  жанамасымен  бағытталган,  оны  нүктенің  жанама
үдеуі  деп,  ал 
траекторияның  нормалімен  багытталган  шп = — п
Р
векторын, нүктенің нормаль үдеуі деп атайды.
Олай болса,  нүктенің толық үдеуін былайша жазуга болады
Ш =С7Т + Й7„ . 
(1.25)
Үдеу  векторының  табиги  өстердегі  проекциялары  быпайша
жазылады
сіот  сі2& 
.. 
о
2
етг = —
7
 = —г  = * ,  Й7й = — ,  шь = 0 . 
(1.26)
аі 
сіі 
р
Толық үдеудің модулі төмендегі формуламен анықталады
ш
ал оның багыты
шт
І8а = - +
Ш
'
(1.28)
18

тең,  мундагы 
а   -  толық  және  нормаль  үдеулердің  арасындагы 
бұрыш.
^  
ь*2 
* 
•
3  мысал.  Қозгалысы  х = аГ,  у  = —   теңдеулерімен  берілген
нүктенің  траекториясын,  жылдамдыгын,  жанама,  нормаль  үдеулерін 
анықтаңыз.  а, 
Ъ-
 
тұрақты сандар.
Шешуі:  Берілген  қозгалыс  теңдеулерінен  і  параметрін  жойып, 
траекторияның теңдеуін аламыз
Ь 
2
Г Ш Г  
•
Нүктенің  траекториясы  1.9  -  суретте  бейнеленген  параболаның 
оң жақтагы бұтагы болады, себебі  і > 0  болгандықтан  х > 0.
Нүктенің жылдамдыгын анықтаймыз,
и = х  = а,  и = у  = Ьі,
сондықтан
и I  т
 1  ь 2і2
.
Нүкте 
үдеуінің 
қозгалмаитын 
координат 
өстеріне 
проекцияларьга анықтаймыз
т = х  = 0,  ту = у  = Ь.
Сондықтан нүктенің үдеуі 
т = Ь.
Қарастырылып 
отырган  жагдайда 
ит= и  
болгандықтан, 
нүктенің жанама үдеуі
сіи. 
сіи 
Ь2і
т  -  
т
 
---------------------
л
19

тең болады.
Нүктенің нормаль үдеуін табайық
аЬ
Ш
\
=   У С 7 2  - С 7Г2  =
1.2  Абсолют қатгы дененің  карапайым  козгалыстары
Қатты  дене  қозғалганда,  оның  кейбір  нүктелері,  жалпы 
жағдайда,  эртүрлі  траекториямен  қозғалады  және  уақытгың  эрбір 
мезгілінде  жылдамдық  пен  үдеулері  әртүрлі  болады.  Сонымен  клтар 
қатты  дененің  барлық  нүктелеріне  ортақ  дененің  қозгалысын 
сипаттаитын 
шамалар  да  (кинематикалық  сипаттамалар)  болады. 
Қатты  дене  кинематикасының  негізгі  мақсаты  -  дене  қозгалысының 
берілу 
тэсілін 
анықтау 
жэне 
денеге 
тэн 
кинематикалық 
сипаттамаларды  зерттеу,  тең  дене  нүктелерінің 
траекторияларьш, 
жылдамдығы мен үдеулерін анықтау.
Қ ам м ы  
дененің  ілгерлемелі  қозгалысы. 
Қатгы 
дененің
ілгерлемелі  қозгалысы  деп,  дененің  кез  келген  екі  нүктесін  қосатын
түзу  өзінің  бастапқы  жагдайына  параллель  болып  қозгалатын  дене 
қозгалысын айтады.
Теорема.  Ілгерлемелі  қозгалатын  дененің  барлық  нүктелері 
конгруэнтті  траекториялар  сызып,  кез  келген  мезетте  бір  багытга, 
бірдей жылдамдықпен,  бірдей үдеумен қозгалады.
Дэлеледеуи 
Охуг
координат 
жүйесіне 
қатысты 
ілгерлемелі 
қозгалатын 
денені 
қарастырайық 
(1.10 
-  
сурет). 
Дененің  кез  келген  екі  А  жэне  В 
нүктелерінің  і  уақыт  мезетіндегі 
жагдайлары 
гА%  гв  
радиус
векторларымен  анықталсын.  Осы
нүктелерді  қосатын  АВ  векторын 
жүргізейік.  Сонда
г в   ~ г А  + А В .
 
(1.29)
1.10- сүпет
20

Абсолют 
қатты 
дененің 
нүктелерінің 
ара 
қашықтыгы 
болгандықтан,  АВ -ның  ұзындыгы  өзгермейді.  Оның  багыты  да 
өзгермейді,  өйткені  дене  ілгерлемелі  қозгалыста  болады.  Сөйтіп,  дене
қозгалысында  АВ  векторы  өзгермейді.  Сондықтан,  дененің  В 
нүктесінің  траекториясын  А  нүктесінің  траекториясынан,  оның
барлық  нүктелерін  түрақты 
АВ 
векторына  жылжыта  отырыл 
тұргызуга  болады.  Егер  А  мен  В  нүктелерінің  траекторияларын 
беттестірсе олар дэлме дәл келеді, ягни олар -  конгруэнтті сызықтар.
А  мен  В  нүктесінің  жылдамдыгын  анықтау  үшін  (1.29) 
формуласының екі жагын уақыт бойынша дифференциалдайық
(1.30)
с і і
Ж
А
 
4 
*
Модулі  мен  бағыты  өзге
ыШ)
нөлге тең  —1— 1 = 0 , сондықтан
щ   Ёк
<и  л
, немесе  о в  = иА,
ягни  ілгерлемелі  қозгалган  қатты  дене  нүктелерінщ  жылдамдықтары 
өзара тең болады.
Алынган 
қатынастың 
екі 
жагын 
уақыт 
бойынша 
дифференциалдап
сІов 
(іиА
— -  = — -   немесе  шй  = тА
Л  
(іг 
0 / 1
екенін анықтаймыз, ягни нүктелердің үдеулері де өзара тең болады.
Қарастырылган  А  мен  В  нүктелері  кездейсоқ алынган  нүктелер 
болғандықтан  және  алынган  нәтижелер  бойынша,  қатты  дененің 
барлық нүктелерінің траекториялары  конгруэнтті,  ал  жылдамдықтары 
мен  үдеулері  уақыттың  кез  келген  мезгілінде  өзара  тең  болады. 
Теорема дәлелденді.
Сонымен,  ілгерлемелі  қозгалыстагы  қатты  дененің  қозгалысы 
оның  кез  келген  бір  нүктесінің  қозгалысымен  толық  сипаттауга 
болады.  Сондықтан  дененің  ілгерлемелі  қозгалысын  зерттеу  оның  бір 
нүктесінің  қозгалысын зерттеумен пара-пар.
21

Қатты  дененіц  қозғалмайтын  өсті  айнала  қозғалысы.  Екі 
нүктесі 
қозгалмайтын 
абсолют 
қатты 
дененің 
қозгалысы 
қозгалмайтын өсті айнала қозгалу деп аталады.  А, В  нүктелері арқылы
өтетін  түзуді  дененің  айналу  өсі  деп,  ал  оган  қатысты  дененің
қозгалысын  айнала  қозгалу  деп  атайды.  Дененің  АВ  өсі  бойындағы
нүктелері  қозгалмаиды,  ал  басқа  кез  келген  нүктелері,  радиусы  осы
нүктелерден  АВ  өсімен  қиылысуга  дейін  түсірілген  перпендикуляр-
дың үзындығына тең,  шеңберлер  сызады  (1.11 ,а -  сурет).  Шеңберлер-
дің  центрі  айналу  өсінде  жатып,  шеңберлер  жазықтықтары  өске  тік 
орналасады.
1.11- сурет
Аиналған  дененің  қозғалысын  зерттеу  үшін  екі  координат 
жүйесін алайық:  Ахуг  қозгалмайтын координат жүйесі,  Ахху хг х  денеге
бекітілген  және  денемен  бірге  қозгалатын  координат  жүйесі  (1 .1 1 ,6 -
Мұндагы  Аг,  Аг
аиналу
делік. 
Дененің 
кез 
келген 
мезеттегі 
жағдайын 
хАг>  ххАгх 
жазықтықтарының  арасындагы 
щ  бұрышы  арқылы  толыгымен
22

анықтауға  болады.  Егер  осы  бұрыштың  уақытпен  байланысы  (р{і)
анықталған  функция  болса,  дененің  қозғалыс  теңдеуі  берілген  деп 
есептелінеді
<р = ср(і).
 
( 1.31)
Уақыт  функциясы  ретінде  берілген  айналу  бұрышы  ср = ф(і)
қатты дененің айналу заңы немесе айналу теңдеуі деп аталады.
Айналған  дененің  орнын  бір  мәнді  анықтау  үшін,  егер  айналу 
өсінің оң бағыттағы ұшынан қарағанда дене сағат тілінің қозғалысына 
қарсы  бағытқа  айналса,  айналу  бұрышын  оң  таңбалы  деп  есептейміз. 
Ал,  егер  дене  сағат  тілі  қозғалысымен  бір  бағытта  қозғалса,  айналу 
бұрышы  теріс  таңбалы  деп  саналады.  Айналу  бұрышы  үнемі 
радианмен өлшенеді.
Айналмалы  қозғалысты  сипаттайтын  негізгі  кинематикалық 
шамалар  - дененің бұрыштық жылдамдыгы  мен бүрыштық үдеуі.
Қозғалмайтын  өсті  айналып  қозғалатын  қатты  дененің 
бүрыштық  жылдамдыгы  деп  айналу  бұрышынан  уақыт  бойынша 
алынған бірінші туындыға тең шаманы айтамыз
(о,
  = —  — 
ф.
 
( 1.32)
г
сИ
2
  -  индексі,  айналмалы  қозғалыстың 
2
  төңірегінде  болатынын 
көрсетеді.
Бұрыштық 
жылдамтықтың 
өлшем 
бірлігі 
(рад/с)
г  і  р а д  
1 
ч
——  = —= с  . 
с 
с
Техникада  бірқалыпты  айналмалы  қозғалыстың  бұрыштық 
жылдамдығын, бір минуттағы айналым санымен есептейді  [л] =
мин
мұндағы
Бұрыштық  жылдамдық  пен
-   у 
_ 
2 7т 
іт ( 1Ч
оайланыс  оар 
со = ----- = —
мин 
бОу.Су
Дененің  бұрыштық  үдеуі деп  бұрыштық  жылдамдықтан  уақыт 
бойынша 
алынған 
бірінші 
туындығына 
тең, 
немесе 
айналу 
бұрышынан  уақат  бойынша  алынған  екінші  ретті  туындыға  тең
шаманы айтады
23

сію, 
й г(р 
/
е , = - +  = ~
 = ф . 
(1.33)
л   л
2
Бурыштык ұдеудін өлшемі бірлігі, (рад/с1)  [с  1 -  
,  - с ' :
с 
с
Егер  а)г,  ег  таңбалы  бірдей  болса,  дененің  айналуы үдемелі,  ал 
егер таңбалары әртүрлі болса, дене айналуы кемімелі болады.
Дененің  бүрыштық  жылдамдығы  а>х  = сот і  тұрақты  тамя
болса, дене бірқалыпты айналмалы қозғалады.  Бұл жағдайда  е  =  0.
Егер  і0  = 0  болғанда  (р = <рй  болса, (1.32) өрнектен
СІф =  0) г СІІ
тепе-теңдігін алып, екі жағын да интегралдасақ
<р 
і 
\  1  ■
- 
=  
а>г
<Ро 
0
мынадай формула шығады
<р-<р
0
=й>гГ,
немесе
<р = <р
0
+ о )
21
.
 
( 1.34)
(1.34) бірқалыпты айналмалы қозғалыстың теңдеуі.
Дененің  айналысы  кезінде  оның  бұрыштық  үдеуі  е2  т сот і
түрақты  шама  болса,  онда  дене  бірқалыпты  айнымалы  айнала
қозғалады,  яғни  не  бірқалыпты  үдеп  айналады,  не  бірқалыпты  кеміп 
айналады.
Бұрыштық үдеу анықтамасынан
ёф г  -  е2сІі
тең.
10  = 0  болғанда 
сог  — сог0 
деп  алып,  жоғарғы  тепе-теңдікті
интегралдайық
24

а> 
I
СО = %  \Л  ,
нәтижесінде, мынадай формула аламыз
о)г - а ж
0
= е 2( ,
немесе
а г =сог(і+ е 21. 
(1.35)
(1.35)  өрнегі  дененің  бірқалыпты  айнымалы  айналу  қозгалы-
сының  бұрыштық  жылдамдыгын  анықтайтын  формула.  Дененің
айтылган 
қозгалысының 
теңдеуін 
алу 
үшін 
(1.35) 
теңдеуін 
дифференциалдық түрде жазайық
сІф
ишш
немесе
сіср
 = 
ы госІі
 + 
е гісіі
Бұны интегралдай отырып
9> 
I
I
\сі<р
 = 
0)го 
+ ег ]іЖ,
<Ра 
о
айналу бұрышын өрнектейтін формула аламыз
<Р-<Ро=а>,о* + - ү - >
немесе
ВА1
<р = (р0  +о)ті
(1.36)
2
25

оірқалыпты  аинымалы  аиналатын  дене  қозгалысының 
теңдеуі деп аталады.
4 
мысал.  Радиусы 
Я 
дөңгелек,  дөңгелек  жазықтығына 
перпендикуляр  және дөңгелектің центрінен өтетін  козғалмайтын  өстің 
төңірегінде  бірқалыпты  кеміп  айналып,  дөңгелек  N  
айналым 
жасағаннан  кейін  тоқтаған. 
Бастапқы  бұрыштық  жылдамдығы 
®го > 0 * Дөңгелектің бұрьпптық үдеуін анықтаңыз.
Шешуі:  Дөңгелектің  / = 0  уақыт  мезетіндегі  бүрылу  бүрышы
мезеттегі
белгілейік,  дөңгелектің  Т  у; 
келесі  формуламен есептеледі
бұрылган  бүрышы
(р = 2п • N.
Ж Ғ Ш
(1.35) мен (1.36)  формуланы  қолданып
теңдеулерін аламыз.
Бірінші теңдеуден дөңгелектің айналған уақытын анықгап
Т —
оны екінші теңдеуге қояйық, сонда
2 тсЫ = -
О)гО
0)
2 0
2е
Мұнан дөңгелектің бұрыштық үдеуді анықталады
е   -  
а *
2жЫ'

Қозғалмайтын  өсті  айналатын  қатты  дене  нүктелерінің 
жылдамдықтары  мен  үдеулері.  Қозғалмайтын  тік  өстің төңірегінде 
айналатын  қатты  дененің  жылдамдығы  со  ,  үдеуі  е  делік.  Енді  осы 
дененің  кез  келген 
М   нүктесінің  жылдамдығы  мен  үдеуін  анық- 
тайық  (1.12а  -   сурет).  Айналу  Ог  өсінің,  оған  перпендикуляр  және 
М  нүктесі  арқылы  өтетін  жазықтықпен  қиылысу  нүктесін  0 {  деп

жүктеу/скачать 14,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: