С. Т. Дүзелбае мех у ▲ ник жоғарғы және орта кәсіптік мамандар дайындаитын техникалық оқу орындарының студенттері үшін арналған Павлодар
жүктеу/скачать 14,75 Mb. Pdf көрінісі
|
белгілейік. Онда М нүктесінің траекториясы жоғарыда айтылған жазықтықта жататын, радиусы ОхМ = һ шеңбер болады (1.126 - сурет). Шеңбер жатқан жазықтық хоу жазықтығьша параллель. Дене қозгала басталған мезетте М нүктесі шеңбердің М 0 нүктесінде болган деп, осы нүктені санақ жүйесінің басқы нүктесі дей отырып, доғалық координата енгізейік. Доғалық координаттың оң есептеу бағыты <р айналу бұрышының оң бағытындай болсын делік. Онда қозғалыстагы М нүктесінің орнын М 0М догасымен анықтауға болады, 5 = М 0М . Доғаның шамасын белгілі формуланы қолданып анықтайық, $ = һ<ру (1.37) мұндағы һ = ОхМ - нүктенің радиусы. Осы теңдеуге (1.16) және (1.17) формулаларын пайдаланып, нүкте жылдамдығының модулі есептелінеді и = — = і = , ( 1.38) сіі ,й і мұндағы о) - дененің бұрыштық жылдамдығының модулі. М нүктесінде траекторияға жүргізілген жанаманың г орты догалық координатаның өсу бағытымен бағыттас, ал нормальдың п орты, әдеттегідей, траектория қисықтыгының центіріне бағытталган, ягни Ох нүктесіне. Сонда М нүктесінің жылдамдық векторын анықтайтын мынадай өрнек алынады о =от = һ&т, (1.39) 27 ягни нүктенің жылдамдық векторы о траекторияның М нүктесіндегі жанамада жатады, багыты дененің айналу багытымен багыттас болады. (1.26) формулалары нүктенің үдеу векторының табиги өстегі проекцияларын анықтайтын өрнектер алуга мүмкіндік береді. I 1.12 - сурет Нүктенің жанама үдеуінің модулі догалық координаттан уақыт бойынша екінші туынды алып есептелінеді ____4 * .. , <І2<Р , Ж І ' * ( 1 , 4 0 ) ягни = (1.41) мұндагы 6 дененің бұрыштық үдеуінің модулі. Нүктенің жанама үдеу векторы траекторияның М нүктесіндегі жанамада жатады. Дененің айналмалы қозгалысы үдемелі болса о 28 мен шт векторлары бағыттас, ал ол кемімелі болған жағдайда бағыттары қарама-қарсы болады. шт = штт, (1-42) нүктенің жанама үдеу векторы. Нүктенің нормаль үдеуі де (1.27) формуланы қолданып есептелінеді О О) һ 21 /і 67 = — = ------ = й) һ, (1 .43) Р һ сонымен С7 =(о2һ. (1-44) Нормаль үдеу векторы шп нүктенің траекториясы болатьга, радиусы һ шеңбер радиусының бойында жатып, шеңбердің центріне қарай бағытталады. ^ шп = шпп . (1.45) Нүктенің толық үдеуі ш - векторын құраушылары нормаль шп және жанама шт үдеулері арқылы анықталады ш = шт + шп = һет + һ о п . (1.46) М нүктесінің толық үдеуінің модулі келесі формуламен есептелінеді ш = -\Ішт + ш \ =һлГе2 + ш4 . (1 -47) М нүктесінің толық векторының бағыты, оның нормаль өстің ортымен жасайтын бұрышы 8 арқылы анықталады (1.126 - сурет) Ш Ш Ш а>2 (1.48) 29 5 мысал. Радиусы Я доңгалаққа оралган жіптің ұшына байланган А жүгі, бастапқы жылдамдықсыз бірқалыпты жылдамдықпен төмен түсе, барабанды О өсінің төңірегінде айналдырады (1.13 - сурет). Жүк секунт аралыгында дс, метрге төмен түскен. (2 уақыт мезетіндегі доңғалақтьщ бүрыштық жылдамдыгы мен бұрыштық үдеуін, сонымен қатар доңгалақтьщ шеңберінде орналасқан нүктелердің үдеуін анықтаңыз. Шешуі: Жүктің орны * координатымен анықталады. Сондықтан оның үдеуін (1.12) координатынан уақыт бойынша екінші туынды алып есептейміз щ Штт немесе осыдан 1.13 - сурет интегралдаса, келесі теңдеу аох = Алғашқы шарт бойынша о А( 0) = 0 екендігін ескере отьфып, дифференциалдық теңдеуді алынады ох = ш ^ . (1.9) өрнегін пайдаланып, теңдеуді былайша жазуға болады сЬс 1 ( І немесе сіх = ш .(с і(. 30 Бұп дифференциалдық теңдеуді, алғашқы шартты хД 0) = 0 қолданып, интегралдасақ, келесі теңдеуді аламыз ■ір 2 Есептің шарты бойынша і = /,, д;(/,) = х ,, яғни секундта жүк метрге төмен түседі, мүнан жүктің үдеуі 2хх ^Ах ~ 2 ' м Жүктің үдеуі доңғалақтың шеңберіндегі нүктелердің жанама үдеуіне тең болады. Доңғалақ шеңберіндегі нүктелердің жанама үдеуін келесі формуламен де есептеуге болады немесе Й И І і г \ Сонымен бұрыштық үдеудің доңғалақтың айналу өсі - 02-тегі проекциясы 2х\ Ш Ш. 2 Ш' Доңғалақтың бұрыштық жылдамдығы (1.35) формуланы қолданып, й)г ( 0 ) - о ) го = 0 шартын ескеріп, анықталады 3! 0 ) г - е л . Доңғалақтың 1 2 мезеттегі бұрыштық жьшдамдыгын есептейік ✓ ч 2дг. ^ ( ^ ) = ^ 2= тЧ -/2- К гІ\ нүктесінің толық үдеуінің модулі (1.47) формуланы қолданып есептелінеді 2х, I ШҺІ т ~ 2 \ 1 + ~ г г - 1 V І і векторлары М нүктесінің жылдамдьщ анықтауға катты ' / --- ---------- • ■чг** I ч * іи бүраштық жылдамдық векторы Ш -ны енгізейік, оның модулі дененің гЧтттчт ттттгтг _____ бұрыштық жылдамдығының шамасына тең де, аиналу өсінің ооиындагы бағыты, оның ұшына қараганда дененің сагат тілі 1.14- сурет қозгалысының айналатындыгын керек. Ол вектот багытына көретіндей >і айналу ө қарсы болуы салута болады векторының түсу нүктесін, айналу осінің бойымен кез келген орынга сыргыта отырып көшіруге болады. Сондықтан да со векторы сыріымалы вектор деп те аталады ( 1 .1 4 - сурет). Осы тұжырыммен енгізілген Ш векторы айналу өсіне проекциясы со 2 арқылы былай орнектеледі (0 = еок = — к. сіі (1.49) 32 Дененің бұрыштық үдеу векторы да айналу өсінің бойында жататын сырғымалы вектор деп есептелінеді, онда ё векторы айналу өсіне проекциясы ег арқылы былай өрнектеледі 1 г Л һ г й 2Ф г , - е гк = — ± к | — Щ , (1.50) Л 2 К } Айналу өсінің орты к , модулі де, бағыты да өзгермейтін вектор болғандықтан, келесі векторлық теңдік орындалады _ <ісо е Ш йх (1.51) Айналу өсінің кез келген О нүктесінен, дененің М нүктесіне, Ғ радиус-векторын жүргізейік (1.14 - сурет). Дененің айналу бағытын ескеріп, бұрыпггық жылдамдық векторы со -ны бейнелейік. М нүктесі сызатын шеңбер радиусын ОхМ = й деп белгілеп, осы нүктенің жылдамдық векторы и түрғызайық. Оның бағыты шеңбердің қарастырылатын нүктесіне жүргізілген жанаманың бойымен дененің айналу бағытына қарай бағытталады. Ш, Ғ векторларының векторлық көбейтіндісін қарастырайық. Бұл вектор, ОхОМ жазықтығына М нүктесінде тұрғызьшған перпендикуляр бойымен бағытталады және бағыты и векторының бағытымен сәйкес келеді. Векторлық көбейтіндінің модулі (о х г = (о • г зіп а = соһ = и, модуліне іекторлық теңдіктің Қозғалмайтын өсті айналып қозғалатын қатты дененің кез келген нүктенің жылдамдық векторы дененің бұрыштық жылдамдық векторы мен нүктенің, айналу өсінің кез келген жерінен жүргізілген, радиус-векторының векторлық көбейтіндісіне тең. (1.52) өрнегі Эйлер формуласы деп аталады. Эйлер формуласынан уақыт бойынша туынды алып, дененің кезкелген М нүктесінің үдеу векторы Ш есептейтін өрнек алынады 33 * — а . сІО) _ сІГ ят = — (0) X г) = ---- X г -нд? X----. й і 4 і Ш йШ _ Ш _ аі сІі болғандықтан, соңғы өрнекті былайша жазуға болады ш = ё х г + о ) х П . (1 5 3 ) Векторлық көбейту ережесін қолданып, е х г нүктенің жанама үдеу векторы, а> х и нүктенің нормаль үдеу векторы екенін керсетуге болады, ягни (1.46) және (1.53) формулалары қозғалмайтын өсті айналып қозгалатын дененің кез келген нүктесінің толық үдеу векторының жанама және нормаль құраушыларына жіктеуін көрсетеді. " . &т= ё х г , ШП=ШXV, ш = ШТ+Ш„. (1-54) 1.3 Нүктенің күрделі қозғалысы Материялық нүкте бір мезетте бірнеше қозғалысқа қагысса, оның қозгалысын күрделі деп атайды. Механиканың кейбір есептерін 1.15- сурет шешкенде, қозғалысы зерттелінетін материялық нүктенің қозғалысын бір мезгілде екі координат жүйесіне қарастьфған қатысты қолайлы болады. Осы екі жүйенің бірін, шартты түрде қозғалмаитын деп, ал екіншісін жэне жүйеге қозғалысы қозғалатын қозғалмайтын қарағанда анықталған деп ұйғарайық. Сызба- дағы Охуг - қозғалмай- 34 тын координат жүиесі, Оххху х 2 х - қозғалатын координат жүйесі (1.15 - сурет). М нүктесінің қозғалмалы Оххху хг х жүйесіне қатысты қозға- лысы нүктенің салыс-тырмалы қозғалысы деп аталады. Қозғалмалы 0\Х\ух2\ жүйесінің қозғалмайтын Охух жүй-есіне қатысты қозғалысы тасымал қозғалыс деп аталады. М нүктесінің қозғалмайтын Охуг жүйесіне қатысты қозғалысы нүктенің абсолют қозғалысы деп аталады. Қозғалатын Оххху х 2 х координат жүйесі қозғалмайтын Охуг санақ жүйесіне қарағанда еркін қозғалсын делік. 1.15 - суретте бейнеленген радиус-векторлар арасында келесі байланыс бар Г=Г0І+ГУ (1.55) Егер М нүктесінің қозғалмалы жүйе өстеріндегі координаттары хх, у х, 2 Х, ал осы өстердің орттары кх болса, онда гх радиус- векторы келесі түрде өрнектеледі гх = *,*, + у х- ) х + г ,^ , (1.56) сондықтан 1 1 р I 1 1 + У\ ■ 1 1 Ш • 11 щ Нүктенің қозғалмалы Оххху х 2 х исүйесіне қатысты жылдамдығы мен үдеуі, сәйкесінше нүктенің салыстырмалы жылдамдығы мен салыстырмалы үдеуі деп аталады. Оларды Пг , Шг деп белгілейді және олар келесі формулалармен есептелінеді йг = хх іх + у і) х + г хкх, (1.58) Шг = ххІх + у х) х + 'іукх. (1.59) Қозғалушы М нүктені қозғалмалы координат жүйесіне ойша бекітілген деп қарастырсақ, онда ол қозғалмалы жүйемен, қозғалмайтын координат жүйесіне қатысты тек тасымал қозғалыс жасайды. Сондықтан нүктенің қозғалысын тасымал қозгалысы деп, ал оның жылдамдығы мен үдеуі нүктенің тасымал жылдамдыгы мен тасымал үдеуі деп аталады және Пе, Ше эріптерімен белгіленеді. К 35 і ие тасымал жылдамдық пен ше тасымал үдеуді анықтау үшін, Ғ радиус-вектордан, у {і г, координаттарын түрақты деп есептеп, уақыт бойынша бірінші және екінші ретті туындысын алу керек дг01 сіі. аі. дк. « .6 0 ) = Ғ Ш . Щ ш ш Күрделі қозғалыстағы нүктенің жылдамдығы туралы теорема. М нүктесінің иа абсолют жылдамдығы, Ғ радиус- векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындымен анықталатындықтан, (1.57) өрнегін ( бойынша дифференциалдасақ і і і я I ( 1.62) + Л | л һ ж Ш т абсолют жылдамдықты (1.63) теңдік Нүктенің абсолют жыпдамдыгы тасымал және салыстырмалы жылдамдъщтардың векторлык косындысына тен боладм Күрделі қозғалыстагы нүктенің үдеуі туралы теорема. Жогарыда қарастырылған, күрделі қозғалыс жасайтын М нүктесінің абсолют үдеуін, анықтама бойынша, нүктенің абсолют жылдамдығынан (1.62) уақыт бойынша туынды алып есептейік 36 Ш - ^ 2^01 I X I V ^ 1 ~ ^ 1 " • " ~ Ж ' Ж ■ у ' л Г 1и ғ I * 2 л2 ' Л -- * ? ,, 4"х т <і у а г т г /л л.. + г і ? “ ' + Л г - ' , + Л ғ * ' + < 1 6 4 ) + 21 ^ і 4 + Ф і 4 + ^ і ^ і (ІІ (ІІ (ІІ (ІІ (ІІ (ІІ (1.59), (1.61) жэне (1.64) өрнектерін салыстыра отырып, нүктенің абсолют үдеуін есептейтін формула аламыз ша =ш г +ш е + шк. (1.65) Мұндагы / сІхх 4і\ 4у\ ф \ <І 2 ^ сік , ( 1 < 6 6 ) к \ сіі 4$ 4і 4і 4і 4і векторы Кориолис үдеуі деп аталады. теңдіп Кориолис теоремасын береді: Нүктеніц абсолют үдеуі тасымал, салыстырмалы және Кориолис үдеулерінің векторлъщ қосындысына тец болады. Қозгалатын Оххху хг х координат жүйесі ілгерлемелі қозгалыста болған жагдайдагы Кориолис үдеуін анықтайық. Жүйе ілгерлемелі қозғалғанда Щ _ ^ і -о , 4і 4і 4і Олай болса, (1.66) формуладан Кориолис үдеуінің нөлге тең екендігі алынады Ші = 0 . Енді қозғалатын Оххху хг х координат жүйесінің қозғалмайтын өс төңірегінде й)е бұрыштық жылдамдығымен айналмалы қозғалысындағы Кориолис үдеуін анықтайық ( 1 . 1 6 - сурет). 37 і ■М і 1.16 - сурет 1.17 - сурет Қозғалмалы ] \, кі ұштарыңда нүктелер жатсын делік. (1.52) Эйлер формуласын колданып нүкгелердің Оі = сіі л -4 Һ СІІ 4к 0>е X 'і > (1.67) = юе х к х, жылдамдықтары анықталады. Егер осы теңдіктерді (1.66) формулаға қойсақ, Кориолис удеуін анықтаймыз тпк = 2со„ х сіі (һ к\ I ( 1 . 68 ) анықтайтын ескеріп, Кориолис үдеуін анықтайтын келесі ықшам формуланы аламыз шк = 2 о е х ог. (1.69) 38 Кориолис үдеуінің модулі келесі формуламен есептеледі \ і шк = 2о еог |Ц (Шеог | . (1.70) Кориолис үдеуінің багыты векторлық көбейту ережесін қолданып анықталады. 6 мысал. Тең бүйірлі тікбұрышты АВС үшбүрышы АВ катетінің төңірегінде ег = 0,5с~2 үдеумен тең айнымалы айналады. Үшбұрыштың бастапқы бұрыштық жылдамдыгы нөлге тең. Үшбұрыштың гипотенузасымен В төбесінен табанына қарай, М нүктесі 5 = ВМ = 20/ заңдылықпен қозгалып келеді, мұндагы $ - сантиметрмен, /-секундпен өлшенеді. М нүктесінің / = 2с мезеттегі абсолют үдеуін анықтаңыз. Шешуі: АВС үшбұрышының қозгалысы тасымал қозгалыс, ал есептің шарты бойынша оның бұрыштық үдеуі тұрақты жэне бастапқы бұрыштық жылдамдыгы нөлге тең болгандықтан, үшбұрыштың бұрыштық жылдамдыгы былайша өзгереді сое = ееі . М нүктесінің гипотенуза бойымен қозгалысы - салыстырмалы қозгалыс. Нүктенің / = 2с мезеттегі орны ВМ = 5(2) = 40 с м . Нүктенің тасымал қозгалыста сызатын шеңберінің радиусы Ш I В М 1 1 4 5 ° 120л/2см . Нүктенің салыстырмалы қозгалысы түзусызықты, өйткені оГ = Щ 20 см /с, олай болса салыстырмалы үдеуі шг = 0. Нүктенің тасымал үдеуін жанама және нормаль үдеулерге жіктеуге болады. Бұл үдеулердің модулі шет = ее • А0У, шеп = о)е * АЛҮ. / = 2с мезеттегі шамасы шет = \ 0 уі 2 см / с 2 , шеп = 20 уі 2 см ! с 2. жүктеу/скачать 14,75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|