С. Т. Дүзелбае мех у ▲ ник жоғарғы және орта кәсіптік мамандар дайындаитын техникалық оқу орындарының студенттері үшін арналған Павлодар

Д 3 7  
N РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
іХ/РАШ-ЫРОВ АТЫНДЛҒЫ ПАВЛОДАР МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
531
С.Т. Дүзелбаев
МЕХАНИКА
жоі арғы және орта к әсттік  мамандар дайындайтын 
техникалык оқу орындарының студенттері үшін арналған
Иавлодар 2005

вы
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ
МИНИСТРЛІГІ
С.Т. Дүзелбае
МЕХ
у
▲
ник
жоғарғы және орта кәсіптік мамандар дайындаитын 
техникалық оқу орындарының студенттері үшін арналған
Павлодар

УДК 531.8 
ББК 34.41”
Қазақстан Республикасы Білім және гылым министрлігі
С.  Торайгыров атындагы Павлодар мемлекеттік университетінің
гылыми  кеңесі ұсынды
Д-72  С.Т. Дүзелбаев
МЕХАНИКА.  Оқулық  жогаргы  және  орта  кәсіптік  мамандар 
дайындайтын  техникалық  оқу  орындарының  студенттері  үшін 
арналган.- Павлодар:  ПМУ ҒБО, 2005.- 308  б.
Пікір жазып  қолдаушылар:  т.г.д.,  профессор  А.Қ.  Қарақаев 
(С. 
Торайгыров  атындагы  Павлодар  мемлекеттік  университеті), 
т.г.д., 
профессор  С.Н.  Нұрақов  (Л.  Гумилев  атындагы  Еуразиялық  ұлттық 
университеті).
Д
4310020000 
00 (0 5 )-0 4
СЛорайғыро»
.  атыидағы  ПМУ-дің" 
академик  С .Б ей сем ба**
атындағы  ғыпыми 
I
К І Т А П Х
і и
.
г ч і
18  В N 9965-539-09-Х
I
1
ББК 34.41
©
©
Дүзелбаев С.Т.,  2005
С. Торайгыров атындагы Павлодар мемлекеттік университеті, 2005

А л ғ ы   сөз
Механика іс жүзінде  қолданылып,  нақты объектілердің,  машина 
мен  механизмдер  тетіктерінің,  әр түрлі  құрылғылардың,  роботтар  мен 
роботталган  техникалық  жүйелердің  конструкциясын,  қозғалысын, 
олардың  элементтерінің  берік,  сенімді  жұмыс  істеу  шарттарын 
зерттейтін  ғылым.  Механика  машинатану  ғылымының  бір  саласы 
болып есептеле ді.
Механика  курсы  үш  бөлімнен  тұрады:  «Теориялық  механика», 
«Материалдар кедергісі», «Машина тетіктері».
Қарастырылып  отырған  оқулық  аталмыш  курстың  алғашқы  екі 
бөлімін қамтиды.
«Теориялық  механика»  бөлімі  кинематика  жэне  кинетика 
(статика,  динамика)  болып  бөлініп,  эрқайсысы  жеке-жеке  зерттелініп, 
олардың  аксиомалары  мен  принціптері  техникалық  практикада 
қолдануға ыңғайланып жазылган.
«Материалдар  кедергісі»  машина  мен  гимараттардың  әрбір 
элементтеріне,  үнемді  және  сенімді  жұмыс  істеуіне  кепілдік  бере 
отырып,  лайықты  материалды  таңдауға  және  олардың  көлденең 
өлшемдерін  анықтауға  көмектеседі,  ал  сонымен  қатар  кері  еспті  де 
шешеді -   тұрғызылган  немесе  жобаланған  конструкцияның  өлшемде- 
рінің жеткіліктігін  тексеру,  яғни  бұл  бөлімнің  міндеті  салмағы  жағы- 
нан  жеңіл,  қатаңдыгы  мен  беріктігі  жогары,  өзі  арзан  конструкция- 
лардың  жобасын  есептеуге  тәлімгерді  машықтандыру  болып  табы- 
лады.
Оқулыктың 
әрбір 
бөлімі 
соңында 
студенттер 
үшін 
топтастырылган  қайталау  сұрақтары  мен  өзін-өзі  тексеруге  арналган 
тестік тапсырмалары бар.
Бұл  жәйт  оқулықтың  заманның  талабына  сай  әзірленгенін 
көрсетеді,  себебі  кредиттік  оқытудың  технологиясы  осыларды  қажет 
етеді.
Қазақ  тілінде  технодог,  электрик,  экономист  т.с.с.  механикалық
емес мамандықтарга арналган жалпу техникалық білім алатын оқулық 
осы  күнге  дейін  басылган  жоқ.  Бұл  еңбек  осының  орнын  толтырады 
деп сенемін.
Оқулық  жогаргы  және  орта  кәсіптік  мамандар  дайындайтын 
техникалық оқу орындары студенттеріне арналып дайындалған.
Кітап  бойынша  аңгартпаларыңызды  мына  мекенжайга  багыт- 
таңыздар:  Павлодар  қаласы,  Ломова  кошесі  64,  С.  Торайгыров  атын- 
дагы Павлодар мемлекеттік университеті.
Дүзелбаев Сайлаубек  Тілеубайұлы
3
і
\

ТЕОРИЯЛЫ Қ МЕХАНИКА
Күнделікті 
өмір 
талабынан 
туған 
теориялық 
механика
техникамен  тығыз  байланыста.  Біздің  эрамызға  дейін  көптеген  жүз
жылдар бүрын  пайда болған статика  қүрылыстың  өркендеуінен  туған.
Одан  кейін  оның  дамуына  теңізде  жүзу,  өнеркәсіп,  әскери  жұмыстар,
астрономия  эсер  етті  де,  соңында  XV — XVII  ғасырларда  кинематика 
мен динамика пайда болды.
Соңғы 
жылдардьщ 
жетістіктері 
-   техниканың 
көптеген 
түрлерінде  автоматизацияның  ендірілуі,  жердің  жасанды  серіктерінің 
пайда  болуы,  космос  ракеталарын  үшыру  және  планета  аралық 
лабораториялардың  пайда  болуы  теориялык  механиканың,  асқан 
дарынды  ғалымдар  мен  инженерлердің  еңбегімен  туған  гылымнын 
онан әрі өркендеуіне әкелуде.
Теорияпық  механика  -  жаратылыстану  гылымдарынын  бірі 
болып  табылады.  Механикалық  қозғалыстың  табиғатта  да,  техникада 
да  өте  жиі  кездесетінін  ескерсек,  қазіргі  жаратылыстану  ғылымымен 
техника үшін, теориялық механиканың мәні зор.
Жаратылыстану 
ғылымньщ 
бүл 
бөлімінде 
материялык 
денелердің  жаппы  қозғалыс  заңдылықтары  және  олардың  тепе- 
теңдіктері  женіндегі  мэселелер  қарастырылып,  олардың  өзара 
әсерлерінен  пайда  болатын  жағдайлар  анықталады.  Теориялық 
механикада  күрделі  қүрылымды  физикалық  денелердің  орньгаа 
олардың  ерекше  қасиеттері  көрсетілген  болжамды 
қяряпяйт.тм 
модедцерінің  механикалық  қозғалыстары  қарастырылады.  Дененің 
козғалысын  зерттейтін  бүл  әдісп  —  абстпракция  эдісі  деп  атайды. 
Материялық дене  модельдері үшін теориялық механикада материялық
нүкте,  материялық  нүктелердің  механикалық  жүйесі,  абсолют  қатты 
дене алынады.
Материяпыц нүкте деп  өлшемдері  ескерілмей  белгілі  массасы 
бар нүкте ретінде қарастырылып зерттелінетін дене аталынады.
Абсолют  қатты  дене  деп  кез  келген  екі  нүктесінің  ара 
қашьпстыгы  өзгермейтін,  яғни  геометриялық пішінін  өзгертпей  сақтай 
алатын денені айтады.  Абсолют қатгы үғымы абстракциялық үғым.
Материялық  нүктелердің  кез  келген  жиынтығын  материялык 
нүктелер жүйесі деп атаймыз.
Материялық  нүктелердің  механикалық  ж үйесі  деп  әрбір 
нүктесінің  кеңістіктегі  орны  және  қозғалысы  оның  өзге  нүктелерінің
1  К ір іс п е
4

орындарымен  қозғалыстарына  тәуелді  оолатын  материялық  нүктелер 
жүйесі аталынады.
Дененің  кеңістіктегі  қозғалысы  уацытца  байланысты  болады, 
яғни  оның  кеңістіктегі  орны  уақыт  өткен  сайын  өзгеріп  отырады.
Дененің  кеңістіктегі  орны  басқа  бір  қозғалмайтын  денеге  жэне  осы 
денеге 
бекітілген 
координат 
жүйесімен 
салыстыру  арқылы 
анықталады. Дене мен оған бекітілген координат жүйесі санақ жүйесі 
деп аталады.
Механикадагы 
кеңістік  -  үш  өлшемді  Евклид  кеңістіктігі. 
Кеңістіктегі  өлшеулер  Евклид  геометриасындағы  әдістерді  қолдану 
арқылы  жүргізіледі.  Қашықтықты  өлшеуге  метр  алынады.  Механи- 
када  уақыт  эмбебап  иіама  деп  есептелінеді,  яғни  барлық  санақ 
жүйелерінде  бірдей  болады.  Уақытты  секундпен  өлшейді.  Уақыт  - 
ылги  езгеріп  отьфатын  скалярлық  шама.  Кинематикада  уақыт  і  - 
тәуелсіз  өзгеретін  шама.  Кинематикада  қарастырылатын  шамалар  - 
қашықтық,  жылдамдық  -  уақытқа  байланысты  өзгеретін  шамалар,
ягни функциялар болады.
Теориялық  механика, 
жалпы  айтқанда,  үш  бөлімнен  -
кинематика,  статика.  жэне  динамикадан  тұрады.  Статика  мен 
динамика кинетика деп аталады.
1 тарау. К И Н Е М А Т И К А
1.1  Нүкте кинематикасы
Теориялық  механиканың  материялық  денелердің  қозғалысын, 
оларға  әсер  ететін  күштерге  тәуелсіз  зерттейтін  бөлімін  кинематика 
деп атайды.
Қозғалыстағы  нүктенің  кеңістікте  сызған  сызыгын  нүктенің 
траекториясы деп  атайды.  Нүкте қозгалысының негізгі  сипаттамалары 
оның кеңістіктегі орны, жылдамдығы жэне үдеуі болып табылады.
Нүкте  қозгалысының  берілу  тәсілдері.  Нүкте  қозғалысы  үш 
түрлі тәсілмен беріледі:  векторлық,  координаттық және табиғи.
М   нүктесі  Охуг  координат жүйесіне  қатысты  қозғалысын делік
(1.1-  сурет)  .  Нүктенің  кез  келген  мезеттегі  орнын  О  нүктесінен  М 
нүктесіне  жүргізілген  радиус-вектор  г  арқылы  анықтауға  болады. 
Радиус-вектордың  уақытқа  байланысты  шамасы  мен  бағыты  өзгеріп 
отырады,  ягни радиус-вектор функция болып табылады
5
\

Бұл  теңдеу  нүкте  қозгалысының 
векторлық  теңдеуі 
деп 
аталады. 
" 
4 
" :  •
Егер  1.1  -  суреттегі  М   нүктесінің,  кез  келген  мезеттегі 
кеңістіктегі  орнын  анықтайтын  координаталар  уақытпен  байланысты 
анықталган  функциялар  болса,  нүкте  қозгапысы  координаттық 
тәсілмен берілген деп есептелінеді
* = *(')>  У = У{*\  2 = 0 ) .  
(1.2)
Бір 
жағынан 
бұл 
теңдеулер 
нүкте 
траекмориясының 
параметрлік  теңдеулері 
болып  табылады.  Осы  теңдеулерден  / 
уақыты  шыгарылса,  нүкте  траекториясының  координаттары  арқылы 
анықталған теңдеу алынады.
0  + 
М
1.1  -сурет 
1.2 — сурет
Қозгалатын 
нүктенің  траекториясы 
белгілі 
болса, 
нүкте
қозғалысын 
табиғи 
тәсілмен 
беруге 
болады. 
Траекторияның
бойындағы  қозғалмайтын  О  нүктесін  таңдап  алып,  оны  санақ
жүйесінің  басы  деп  есептеп,  санақтың  оң  және  теріс  бағытын 
тағайындайық (1.2 -  сурет).
Траекториядағы  қозғалатын 
М  
нүктесінің  орны,  белгілі 
таңбамен  алынған  және  траектория  бойындағы  доғамен  өлшенген  О 
нүктесінен  М   нүктесіне  дейінгі  арақашықтыққа  тең,  $  қисық

бойындағы  нүктенің  уақыттың  кез  келген  мезетіндегі  орнын 
анықтайтын догалық координат 
,  уақытпен  байланысты  анықталган 
функция болып есептелінеді
0-3)
Бұл  тәуелділік  нүктенің  траектория  бойьшен  қозгалу  заңы  деп 
аталады.
Сонымен,  нүкте  қозгалысын  табиги  тәсілмен  берілуі  үшін 
мьгаадай жагдайлар белгілі болуы қажет:
1) нүктенің траекториясы;
2) 
санақтың 
оң 
және 
теріс 
багыттары 
көрсетілген 
траекториядагы санақ жүйесінің басы;
3) нүктенің траектория бойымен қозгалысының заңдылыгы.
Нүктенің  жылдамдығы.  Қозгалыстагы  М   нүктесінің  і  уақыт 
мезетіндегі  орны  г(/)  радиус-векторымен,  гч-Дг  мезеттегі  Л/,  орны
г(г + Д/)  радиус-векторымен  анықталсын  (1.3  -   сурет).  Сонда  М
нүктесінің 
Д/  уақыт  аралыгындагы  орын  ауыстыруы,  ягни  уақыт 
өсімшесі  Д/ -га  сәйкес  келетін  радиус-вектор  өсімшесі  Дг  былай 
анықталады
Дг = г(г + Д /)~ г(/). 
(1.4)
Радиус-вектор  өсімшесінің  уақыт  өсімшесіне  қатынасы  нүкте- 
нің  Д/  уақыт аралыгындагы ортаила жылдамдыгы деп аталады
_
 
Дг
»оР = —  - 
(1.5)
Нүктенің 
лездік 
жылдамдыгы 
деп 
нүктенің 
орташа 
жылдамдыгының уақыт өсімшесі  нөлге ұмтылгандагы  шегін айтады
7
і

_  
Лг 
ййг
 
_
о   =  ат  —  = —  = г . 
( і  6)
* - о Д / 
л  
к 
'
Сонымен,  нүктенің  кез  келген  уақыттагы  лездік  жылдамдығы
оның 
радиус-векторының 
уақыт 
бойынша 
алынган 
бірінші
туындысына  тең,  демек  жылдамдық  радиус-вектордың  уақыт  өтуіне 
байланысты өзгеруіне тең.
т
ор
1.3  - сурет
1.4 - сурет
—( \ 
еН'^ 
Нүктенің  і  уақыт  мезетіндегі  жылдамдығы
ал  і + Аі  мезеттегі  жылдамдығы  й(г + А/)  болсын  делік  (1.4  -  
сурет).
А П = и (і + А і) - п ( { )
векторы,  уақыт  есімшесі  Дг-га  сәйкес  келетін  АП  жылдамдық 
өсімшесін  білдіреді.  Жылдамдық өсімшесінің уақыт  өсімшесіне  қаты- 
насын  нүктенің  Д/  уақыт аралығындағы орташа үдеуі деп атайды
_  
Аи
Нүктенің лездік үдеуі деп, нүктенің орташа үдеуінің  т  уақыт 
өсімшесі  А( -нің нөлге ұмтылғандағы шегін айтады
8

— 
0'  Ао 
ш  =  и т ----
д/-»о  Д/
сіи
(1.7)
Яғни,  нүктенің лездік үдеуі  оның лездік  жылдамдыгынан  уақыт 
бойынша  альгаган  туындысына,  немесе  оның  радиус-векторынан 
уақыт бойынша алынған екінші ретті туындысына тең.
Нүктенің 
жылдамдығы 
мен 
үдеуінің 
қозғалмайтын 
координат  өстеріне  проекциялары.  Нүкте  қозғалысы  декарттық 
координаталар жүйесінде берілсін делік
1.1 
-  суретте 
бейнеленген  қозғалмайтьш  координат  жүйесі 
өстерінің  бірлік  орттарын 
/,  у,  к  деп  белгілейік.  Координаттар
жүйесінің  бас  нүктесінен  қозғалушы  М   нүктесінің  радиус-векторын 
жүргізейік.  Осы  суреттен 
М  
нүктесінің  радиус-векторы  мен 
координаттары келесі байланыста болатыны көрінеді
Г -  Х І  + У' ]' + 2 'к .
Қозғалушы  М   нүктесінің  жылдамдығын, 
/,  у,  к  орттарын 
өзгермейтін  тұрақты  шама  деп  алып,  (1.6)  формуланы  қолданып
есептейік
и  =
сіг
~ІІ
(ІХ 
т 
<іу 
-  <Һ 
г  
—  і  + —  / + —  к  .
л 
(
іі
 
т
(
1
.
8
)
9
і

Осы  формуладагы  орттардың  алдындагы  коэффициенттер, 
нүктенің 
жылдамдық 
векторының 
координат 
өстеріндегі 
проекциялары болып табылады
*
их  =
<іх 
ду 
(к
1 т 
Шт=ш
(1.9)
Жылдамдықтың модулі  келесі  формуламен есептелінеді
V =
х + О у + О г
Ші,
х 2 + у 2 + г 2
(
1
.
10
)
Нүктенщ  декарттық  координаттар  жүйесіндегі  қозгалысының 
теңдеуінен оның үдеу векторының модулі мен бағытын анықтайық.
Нүктенің үдеуі (1.7) формуладан анықталынады
ШШш  шШшШм  Шш§
И
Осы  формуладағы  орттардың  коэффициенттері  нүктенің  үдеу 
векторының координат өстеріндегі проекңиялары болады
тх  1
СІІ
СІ22
т
=  
2
.
(
1
.
12
)
Үдеудің модулі келесі  формуламен есептелінеді
у ^ ш 2  = у х   + у  
+ 2
  . 
(1.13)
10

2
1  мысал.  Нүкте  қозғалысы  х = 8/ -  4і  , у  = 6г -  3/  теңдеулер-
мен  берілген  (координаттар  метрмен  өлшенеді,  уақыт  -  секундтпен). 
Нүктенің жылдамдығы мен үдеуін есептеңдер.
Шешуі:  Нүкте  жылдамдығының  өстерге  проекцияларын  (1.9) 
формуланы қолданып есептейміз
их = і  = 8 ( і- 0 ,  оу = б { \ - і ) .
Жылдамдық модулін (1.10) формуладан анықтаймыз
(1.12)  формуламен  нүкте  үдеуінің  өстерге  проекцияларын
есептеиміз
тх  = х = Ох = -8 ,  тПу = у  = Оу
—
6
.
Үдеу модулін (1.13) формуланы қолданып есептейміз
ш =
теңдеулері
8
■+• 3,  з/ = 2зіп  — X  -1   берілген  ( х, у  -   см-мен, 
с-пен
өлшененді).  Уақыттың  /,  = 1 с  мезетіндегі  нүктенің  жылдамдыгы  мен
үдеуін анықтаңыз.

Шешуі:  Алдымен  нүкте жылдамдыгының координат өстеріндегі 
проекцияларын  анықтаймыз
сіх 
п  .  ( л   \  
сіу 
л  
( л   \  
= —  = — 5іп 
= — = — соя  —/  .
* 
Ж 
2 
и   /  
1 
А  
4 
\ 8   ;
Уақыт  /,  = 1 с  болғандағы
ох  = 1,11  см/с,  и  щ 0,73 см/с.
Нүкте жылдамдығының модулі келесі  формула арқылы
0  = ^ + 0 * , ,
анықталып, оның  і.  = 1 с  болған мезгілдегі шамасы
V = 1,33 см/с
тең болады.
Осыған сәйкес нүкте үдеуін анықтаймыз
с іо , 
п  
I  л
“  ~5Г “  Т со  и  
т"  ~
_
п
32
/
§1П
V
Я
8
және 
= 1 с  болганда
12

тх  = 0,87  см/с2,  шу  = 0,12 см/с2,  ст = 0,88 см/с  .
Табиғи 
координат  өстері.  Кеңістіктеп 
қисық  сызықты 
қарастырайық (1.5 — сурет).  Қисықтың  бойынан  кез  келген  М   нүктесі 
мен  оган  жақын  жатқан  М,  нүктесін  алайық.  Қисықтың  М
нүктесінде жүргізілген  жанаманы  ММХ
  қиюшының  М   нүктесіне  М х
нүктесінің  ұмтылгандагы  шегі  ретінде  анықтайық.  Догалы 
я 
координаттың  оң  багытына  сәйкес  М   нүктесінде  жанама  бірлік 
вектор  т  жүргізейік.  М х  нүктесіндегі  жанама бірлік  векторды  тх  деп
белгілейік.  М,  нүктесіндегі  тх  векторын  М   нүктесіне  көшіріп,  М
нүктесіне  түсірілген  екі  т  және  г,  векторлары  жататын  жазықтықты
тұргызамыз.  Осы  жазықтықтың  М,  нүктесі  М   нүктесіне ұмтылганда
алатын  шектік  орны  жанасушы  жазықтық  деп  аталады  ( тМп -  
жанасушы жазықтық).
М   нүктесінен  жанамага  тік  тұргызылган  жазықтықты  нормаль 
жазықтық  деп  атаймыз  ( пМЬ  -   нормаль  жазықтық).  Жанасушы 
жэне  нормаль 
жазықтықтардың  қиылысатын 
түзуі 
сызбадагы 
қисықтың  бас  нормалін  айқындайды.  Бас  нормальдың  бойымен
траекторияның  ойысына  багыттап,  п  ортты  тұргызамыз.  Ь  = [г, п\
ережесіне  сүйене  отырып  бірлік  бинормальдық  Ь  векторын  енгізейік. 
Жанама  мен  бинормаль  арқылы  жүргізілген  жазықтық  түзетуші 
жазықтық деп аталады ( ТМЬ  -   түзетуші жазықтық).
Сонымен,  орттары  г,  л,  к  болатын  үш  табиги  өстері  мен
табиги  үшқырлы  құратын  үш  координаттар  жазықтыгының  орны