С. Т. Дүзелбае мех у ▲ ник жоғарғы және орта кәсіптік мамандар дайындаитын техникалық оқу орындарының студенттері үшін арналған Павлодар
жүктеу/скачать 14,75 Mb. Pdf көрінісі
|
| § ) 2;
■ B ) 2 л /3 ; I C) 3; I О) 6; | Е) Зл/З. 1 $$$ 43 =4 кН/м анықтаңыз. $$$ 44 күшті теңестіретін Ғ күшін Ғ A) 32; B) 16; C) 4; О) 8; Е) 64. анықтаңыз. кН/м біркелкі таралған күшті теңестіретін Ғ күшін Ғ A) 3; B) 1; C) 1,5; 0 )1 2 ; Е) 6. 126 $$$ 45 аркылы күштердің А нүктесіне қатысты моменттерінің теңдеуін қүру і ? „ п р я к ч и я с ы н табыңыз A) 56; B) 10,75; C) 6; Щ) 7; Е) 19. $$$ 46 ------► X Егер радиус К = 60 см болса, штрихпен біртекті ауданның ауырлық орталығының сантиметрмен есептелген у с координатасы неге тең? A) 15; B) 0 ; С) - 1 0 ; Э) -1 5 ; Е) Ю. $$$ 47 Суретге штрихпен көрсетілген біртекті ауданның ауырлық орталыгының сантиметрмен есептелген у с координатасы неге тең? Өлшемдер суретге көрсетілген. A) 7,5; B) 17,5; C) 15; Ә) 16,25; Е) 18,75. 127 3 т а р а у . Д И Н А М И К А Ғ А К І Р І С П Е 3.1 М атериялы қ нүкте динамикасы Динамика деп теориялық механиканың денеге түсірілген күштер мен олардың әсерінен болатын қозғалыс арасындағы тәуелділікті зерттейтін бөлімін айтады. Осы бөлімдегі негізгі үгымдардың бірі - дененің массасы. Масса - дененің инерттілігін сипаттайтын шама. Динамикада қозғалысы зертгелетін қарапайым объект - материялық нүкте. Материяпық нүюпе деп берілген есеп жағдайында өлшемдерін ескермеуге болатын белгілі массасы бар геометриялық нүкте деп қарастыруға болатын дене. Қозғалысы еш багытта шектелмейтін материялық нүкте еркін нүкте деп аталады. Динамиканың аксиомалары: 1 - аксиома. Егер еркін материялық нүктеге ешқандай күш эсер етпесе, онда ол өзінің тыныштъщ күйін немесе түзу сызықты бірқалыпты қрзгалысын сақтайды (3.1 — сурет). Бүл аксиома инерция заңы деп те аталады. Н Н 3.1 сурет 3 .2 - сурет х - аксиома. һгер еркгн материялық нүктеге бір күш эсер етсе, онда ол осы күшке пропорционал үдеумен қозгалады. Бұл аксиома былай да оқылады: материялық нүктеге эсер етуші күш осы нүкте үдеуімен багытталады жэне шамасы үдеуге пропорционал болады (3.2 - сурет). Осы аксиоманы динамиканың непзгі заңы деп те атайды. Әдетте осы заң былай жазылады т т - Ғ , (3.1) 128 • материялық нүктенің массасы, елшем бірліп килограмм; Ш \о н ы ң үдеуі; Ғ - нүктеге әсер етуші күш. . . . 3 - аксиома. Екі материялық нүкте бір-біріне модульдері тең, бір түзудің бойында жататын багыттары қарсы күштермен әсер етеді (3 .3 - сурет). _______ белгілі Ньютонның заңдары А Ғ Ғп ғ, 1 ғ 3.3 - сурет 3.4 - сурет материялық күиітер эсер етсе, онда нүкте күштердің ~Г , . Ш, үдеулерінің векторлық қосындысына тең үдеумен қозгалады (3.4 сурет). яг УІ Бұл аксиома нүкгеге асер я е г ія Крнеші күші тен эсерлі күшпен алмастьфуга болатындыгын көрсетеді. п те Осы аксиома күш әсерінің тәуелсіздт туралы заң деп те атшіада. § _ „рьщдалатын координат жүйеяерін * ’ Деп атайды. Техника есептерін шеппсенде, « і Т « е жүиесі 129 5 - аксиома. Материялық нүктенің қандайда бір бағыттағы қозғалысын шектейтін шарттарды нүкте нүктедегі байланыс әсерлерін баиланыс реакцияларымен алмастьфыл, нүктені еркін нүкте ретінде қарастыруга болады. Бұл аксиома 1, 2, 4 - аксиомаларды еркін емес нүктеге қолдануға мүмкіндік береді, ол үшін алдьга ала нүктені байланыстардан босатып, нүктені берілген күштер мен байланыс реакцияларының әсерін; хегі еркін нүкте деп алуымыз қажет тт = Ғ ^ л-Ы, мұндагы 1 Ғ - нүктеге әсер ететін берілген күштердің тең әсерлі күші (бүл күштерді актив күнггер деп атайды); теңдеулері және динамиканы ң негізгі екі есебі. Массасы т материялык нүкте күш әсерлерінен қозгалыста болсын делік. Динамиканың 2, 4 - аксиомаларына сүйене отырып, келесі теңдеуді жазамыз, 1 тт = Ғ. (3.3) теңдеуді, инерциалдық координаттар жүйесінің декарттық өстеріне проекциялайық т т х т т у = Ғ у , ттг =>Ғг , мүндағы тх = х, ту = у, тг — 'і екенщ ескеріп, келесі теңдеулер жүйесін аламыз, ; 1 тх = Ғх, ту = Ғ , тг = Ғг. (3.4) Осы теңдеулер жүйесі еркін материяпьщ нүкте қозгалысының декарттық координаттар өстеріне ңатысты алынган дифференциалдық теңдеулері деп аталады. Теңдеулердің оң жагындагы күштердің нүкте координаттарына, жылдамдыгына, 130 і іу - оаиланыс реакцияларьшың тең әсерлі күші. М атериялы қ нүкте қозғалысының дифференциалдық I уякытка тәуелді болуы мүмкін екендігін ескерсек, материялық нүкте К^ІЫСЫЯЫН дафференциалдык тенясуяері былайша *азьшадь, ГПХ ~ Ғх(х,у,2,х,уі2,і)> У = ғ у{х ,у , 2 ,х ,у , 29 і), (3*5) г = Ғг{х ,у , 2 ,х ,у , 2 ,і). тендеулер жүйесін К 9(> ■ - ' 4 есебін шешуге болады. Динамиканыц бірінші есебі. Массасы т қозғалысының заңы берілген х = х(/), у = у{(\ г = г(і). нүкте (3.6) Нүктені осы қозғалысқа келтіретін Ғх, Ғу , Ғг күштерін теңдеулерінен теңдеулер жүйесін түргызып табамыз Ғ = тх, Ғ = ту, Ғг = ті. күштің аныкгалады. Динамиканың 2 - есебі. Алғашқы шартгар бойынша, берілген „ушге? әсер сгегін массаеы т «Ү ™ “ « №згалЫС заңдылыгын анықгау керек, яғни х - х(і), у у ( ), V / . Алғашқы ш артар ден уақытгын алгашкы мезетшдеп иүкгеши жылдамдығы атг тұрғыдан ТСҢДвуІН - ------ ГГ Г Р ' ’ Т алғашкы шаргты канагаттаидыратын шешшдер, нүктеиш накты қозғалысын анықтайды. 131 нүкте жылдамдықсыз құлаған (3.5 - сурет). Нүктеге жердің тарту күші мен ауаның, жылдамдыққа пропорционал, кедергі күші Я т - кто эсер етеді, мүндагы к - ауаның қысымы мен температурасына байланысты тұрақты коэффициент, о нүктенің жылдамдығы. Нүкте заңдылыгын анықтап, нүктенің есептеңіз. 3.5 - сурет дық теңдеуін түрғызайьщ Ш емуі: Нүктенің қозғалысын зерттеу үшін көрсетілгендей 3.5 координат суретте жүиесін таңдап аламыз. Координат жүйесінің басын нүктенің алғашқы орнын М 0 сәйкестендіріп алып, х өсінің оң бағытын нүкте қозғалысы бағытымен бағыттайық. Нүкте қозғалысының алғашқы шарты /0 = 0 , *0 = 0 9 х 0 = 0. Нүктеге әсер ететін күпггерді ескере отырып, нүктенің х өсінің бойымен қозғалысының дифференциал- тх = т § - ткх , х + кх = £. Бүл теңдеу - сызықты, түрақты коэффициенті бар екінші ретгі біртексіз дифференциалдық теңдеу. Бүл теңдеудің шешімі осы теңдеудің жеке шешімімен, осы теңдеуге сәйкес келетін біртекті теңдеу шешімдерінің қосьшдысына тең. Біртекті емес теңдеудің жеке шешуі келесі түрде жазылады 1 к Біртекті теңдеуге сәйкес келетін характеристикалық теңдеуді түрғызайық + к • А = 0. 132 Оның түбірлері Л , = 0 Л = - * нақты сандар, сондықган жалпы шешім келесі түрде жазылады \ , -кі \ х 2 = С\ + С2 ' Сонымен нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешуі былай жазылады х = С, + Сге ь + Ц , Алғашқы шарттарды қолданып, тұрақгы С „С 2 белгісіздерді анықтаймыз С, = г С 2 і С 2 = р - • Аныкгалған түрақгы шамалардың мэндерін, осының алдында алынған тевдеуғе қойсақ, нүкте қозғалысының ақырғы теңдеуш аламыз і ( е - й - і ) + г А:Л 1 Теңдеуден уақыт бойынша туынды алып, нүкгенің жылдамдыгын Уақыт і -* ® үмтылганда, нүкте жылдамдыгы ең үлкен шамасына ұмтылады шах к 133 3.2 Нүктелер жүйесінің динамикасы Нүктелер жүйссініц Ньютон тецдеулері. Саны п материялық нүктеден қүрастырылған жүйені қарастьфайық. Жүйенің әрбір нүктесіне 5 - аксиоманы қолданып, 4 - аксиомадан туындайтын, нүктенің векторлық теңдеуін түрғызайьщ. Материялық нүктелер жүйесі үшін Ньютон теңдеулері деп аталатын теңдеулер жүйесін аламыз = Ғ {а) + N., ■ (3.7) т п*вп = Ғ„{а) + М п, мұнда Ғ “ - нөмірі і/ нүктеге әсер ететін, актив күштердің тең әсерлі күші; - осы нүктеге күші. (у = 1,2,...,и) » _*------ *---- — / таісриллык қандай да бір Ғ күшінің эсерінен Ш үдеуімен қозғалсын Динамиканьщ екінші аксиомасы бойынша нүкте тш = Ғ Егер осы теңдеудің барлық мүшелерін оның бір жағьша теңдік Ғ - т ш = 0. Мүндағы т ш - Ф деп белгілейік. Фу - векторы нүктенің инерция күгиі деп аталады. Сонда Ғ + Ф = 0. (3.8) 134 ■ч Осы ернек бізге мынадай тұжырымдама береді: еркін материялық нүктеге әсер етуші күш пен инерция күші етдайым тепе- тендокте болатын күштер жиынын күрайды, немесе ( ғ ,Ф ) ~ 0. Ьүл түжырымды еркін материялық нүктенің Даламбер принципі деп атайды. х 3.6 - сурет 3.7 - сурет б) Енді еркін емес материялық нүкгелер жүйесін қарасытырып (3 .6 - сурет), оньщ векторлық Ньютон теңдеулер жүйесін түргызайық т = ғ}а) + Қ , {у -1,2, бүдан Ғ}а) + = 0 (у = 1,2,...,м), немесе Ғ ^ + Қ + Ф . = 0 (V = 1,2,...,«), (3.9) мұндагы Ф„ I -т уШу, Ц = 1 ,2 ,...,« )- материялық нүктелер жүйесінің V нүктесінің инерция күилі деп аталады. . . Осы (3 9) теңдеулер жүйесі материялық нүктелер жүиесінің Даламбер принціпін өрнеюгейді. Ол былайша окылады: қозгалыстагы материяльщ нүктелер жүйесінің эрбір нүктесі үшш актив күш, байланыс реакциясы жане инерция күші эрқашанда т епе-т еңдікт е болады. 135 М ассалар центрі мен инерцня моменттері. Материялық нүктелер жүйесінің М массасы деп осы жүйені қүрайтын материялық нүктелердің т„ массаларынын косындысын айтады I п Нүктелер жүйесінің массалар центрі деп кеңістіктегі орны п е м ’ (3.10) радиус-векторымен анықталатын геометриялык С нүктесін атайды (3.7 — сурет). Мүндагы ту,гу - жүйе қүрамындағы нүктелердің массалары мен раднус-векторлары (и = 1 , 2 п - жүйені қүрайтын материялық нүктелер саны. Нүктелер жүйесінің массалар центрін анықтайтын (3.10) формуласы, ауырлық күшінің өрісі біртекті деп, ал күпггерді параллель деп санагандағы дененің ауырлық центрін анықтайтын формуламен пара-пар. Нүктелер жүйесінің инерция моменттері деген үгымды енгізейік. Нүктелер жүйесінің х, у % 2 өстеріне қатысты инерция моменггері деп келесі өрнектермен анықталатын шамаларды айтады Нүктелер жүйесінің центрден тепкіш инерция моменггері мынадай теңдіктермен анықталады (3.11) 136 п п (3.12) *.і л і у , = Ү , туУ*г у ш \ Егер центрден тепкіш ннерция м о м еш тер і ___ У - ___ А / і / ' І і И ху “ У* "12 7 - 0 болса, х, >>> Н Т р Д е и і с н м ш г — 2 естері нүктелер жүйееінін бас ингрцш. естер, деп аталды. „ененін инерция моментерін есептеуге Біртекті абсолют қатгы дененщ инерц ю жағдайда І ? 1 — 1 і д е н е н і ң Ц к е л е м і 3.8 . суретте — Щ № | " 1 » , келтірілген. Бұл инерция м о м е н т г е р ш аньі асы Я _ р ад и у сы , I - ұ зы н д ы гы . ф о р м у л ал ар д ағы М - д е н е н щ м а і -М Н 1/2 Ш ар ІІ-2 М К 2/5 Д өн гелек Іх- М К 2/2 Ц и л и н д р І г=МІГЛІ ш а р 'I Конус І г=ЗМ 1^/Ю П л асти н а 1г-М ? /1 2 Ш ы б ы к І Х=М?/12 3.8 - сурет 137 3.3 Кинетикалық энергия Материялдық нүктенің кинетикалық энергиясы жылдамдыгы скаляр Т ^ т и 2 2 (3.13) Материялдың нүктелер жүйесінің кинетикалық энергиясы Деп жүие құрамындагы материялық нүктелердің кинетикалық энергиялары қосындысына тең скаляо шаманы айтяяы (3.14) V*! І Кёниг теоремасы. Массалары ту {у = 1,2,.,.,«) нүктелер жүйесі қозгалысьш тұрақты қатысты жүйесінің нүктесі массалар центрі С нүктесінде жатқан және өстері х*,у*, 2 * өстеріне параллель болып қозгалатын Схуг координаттар жүйесін таңдап алайық. Бұл өстер Кёниг өстері деп аталады. Күрделі қозгалыстагы нүктенің жылдамдығы туралы теорема бойынша жүйе нүктелерінің абсолют жылдамдыгы да екі жылдамдық қосындысына тең болады мұндагы Материялық нүктелер жүйесінің кинетикалық энергиясын есептейтін (3.14) формулага (3.15) енгізіп түрлендірсек, келесі формула алынады V » ! 138 3.9 - сурет өйткені, массалар центрі С қозғалатын Сгуг координаттар жүйесінің бас нүктесі болғандықтан, радиус-вектор р с = 0 . Айтылған тұжырымдарды ескере отырып, материялық нүктелер жүйесінің кинетикалық энергиясын есептейтін (3.16) формуласын ақырғы түрде былай жазуға болады жүйенің Кёниг өстеріне қатысты қозғалысының, яғни жүйенің салыстырмалы қозғалысының кинетикалық энергиясы деп аталады, Тс ш деп белгіленеді. Ж оғарғы формуладағы екінші қосылғышты қарастырсақ п . ,2 V — 1 2 Г = - М ц % + Т с“ - <ЗЛ7> 2 Соңғы өрнек Кёниг теоремасын түжырымдайды және ол былайша оқылады: Материялъщ нүктелер ж үйесінің кинетикальщ энергиясы, оның массалар центрінің ілгерлемелі крзгалысының кинетикалыц энергиясы мен жүйенің массалар центріне цатысты салыстырмалы цозгалысының кинетикалъщ энергиясының цосындысына тең. А б со лю т қ а т т ы дененің к и н е т и к а л ы қ э н е р г и я с ы н есептеу. а) Ілгерлем елі қозгалы с . Ілгерілемелі қозғалыстағы абсолют қатты дененің барлық нүктелері бір бағытта, бірдей жылдамдықпен қозғалатындықтан 1^1 = ••• *” ••• *" ^ > олай болса, жүйенің кинетикалық энергиясын есептейтін (3.14) формула былайш а түрленеді 139 т - \ г т Ш ШШМВ о 2^ Ми Т ~ Ш ~ Т ~ 1 Ж « Сонымен ілгерілемелі қозғалыстагы абсолют қатгы дене жүиесшің кинетикалық энергиясы т _ М у 2 (3.18) б) Қозгалмайтын өс төңірегіндегі айналмалы қозгалыс. Айналмалы қозгалыстагы дененің кез келген нүктесінің жылдамдыгы келесі формуламен анықталады ЩШЩ** (3.19) мұндағы р у - дене нүктесінің айналу өске дейінгі қашықтыгы (3 .1 0 - сурет). Осыларды жүйенің кинетикалық энергиясын есептейтін (3.14) формулаға қойсақ, алатынымыз Сонымен Г - 7^ 2 1 ---- ү -> (3.20) мұндағы І г - дененің айналу өсіне қатысты инерция моменті. в) Жазық-параллель қозгалыс. Кинетикалық энергияны есептеуге Кёниг теоремасын қолданамыз Т = | М о і + Жазьпс-параллель қозғалыстағы дененің салыстырмалы қозгалысы массалар центрінен өтетін, дененің қозғалу жазықтыгына перпендикуляр Сг өсіне қарагандағы айналмалы қозғалыс оолғандықтан (3.11 — сурет) 140 Г сал С ІШ 2 сондықтан т _ . (3.21) 2 2 3 .1 0 -с у р е т 3.11 - сурет 2 м ы сал. Массасы і жазыктықпен сырганамай } центоінің жылдамдыгы ис , рОЩ&у -- ------- * >маласын делік (3.12 - сурет). Егер диск болса, оның кинетикалық энергиясы неге тең" Ш еш уі Диск жазық-параллель қозғалады, сондықтан кинетикалық энергияны (3.21) формуласын қолданып есеіггейміз. ш 2 — ------------------- Біртекті I С2 2 , жылдамдықгың лездік центрі теоремасы бойынша дисктің бұрыштық жылдамдыгы а со К 141 Осы шамаларды (3.21) формуласына қойып, дисктің кинетикалық энергиясын анықтаймыз Ми г .2 МК‘ V 3 сонымен 3.12 - сурет Т 3 4 Мо* 3.4 Даламбер — Л агранж тецдеуі (Д янам иканы ц ж алпы тецдеуі) Бұл тақырыпта материялық нүктелер жүйесін зерттегенде, негізгі шама ретінде актив күштер мен байланыс реакцияларының виртуалды орын ауыстырудагы жүмысы, алынатын әдіс қарасты- рылады. Байланыстарды жіктеу. Механикалық жүйенің материялық нүктелерінің координаттары мен жылдамдықтарын шектеуші шарт- тарды механикада байпаныстар деп атайды. Конструкциялық түргыдан қараганда, байланыс шарнирлер, жіптер, жазықтықтар, стержіндер т.б. арқылы іске асырылады. Механикалық жүйеге қондырылған байланыстар, өзінің көптүрлілігі мен жалпы жағдайда уақытқа байланысты қасиеттерінің өзгеретіндігіне қарамастан, нүктелері координаттары мен жылдам- дықтары мына түрдегі аналитикалық тәуелділікте болады ■//(•*!» У\> г \ Ун' г п> ’У\> ,..;Хп ,Упг = 0 > (і = (3.13) Босатпайтын немесе екі жақты байланыстар деп аналитикалық тәуелділіктері теңдіктер түрінде берілген байланыстарды айтамыз. Аналитикалык ернектері уакыт / қатыспайтын қатынастармен берілетін байланыстар стационар байланыстар деп аталады. Егер байланыс теңдеулерінің аналитикалық өрнектеріне нүктелері координаттарының туындысы (жылдамдықтарының проек- циялары) қатыспайтын болса, онда оларды голономды байланыстар деп атайды. Бүл жагдай теңдеулерде жылдамдық проекцияларының 142 мүлдем катыспауында, немесе олардың интегралданган түрде қатысуында болуы мүмкін. Аһалитикалық өрнектері теңдік-теңсіздіктермен берілетін байланыстарды голономды емес, стационар емес, босататын (біржақты) байланыстар деп атайды /Ах\>У\>*и ~хп,Уя, 2 „,Ъ,уи і х .... х„,уп,і„,і)<, 0, (і *=!,/). (3.14) Мұнан әрі тек голономды, стационар, екіжақты байланыстары бар материялық нүкгелер жүйесін қарастырамыз. Байланыс теңдеулері келесі түрде жазылады (3.15) 3 мысал. Оху жазықтығында орналасқан ЛІ 9 Л 2 материялық нүктелері ұзындыгы г созылмайтын жіппен байланысқан (3.13 - сурет). Осы нүктелердің біреуінің қозғалысы, мысалы Л} нүктесінің, берілген их( ( \и у{() жылдамдықгарымен анықталсын. Нүктелердің қозғалыс барысындағы ара қашықгығы жіптің ұзындығынан артық болмайтындығын және есептің шартын ескере отырып, келесі байланыс өрнегін аламыз (х2 ~ *1 )2 +ІУ 2 -У іУ 2 \ ~ 22 ~ 0. *1 = «, (0» Уі = ^ у ( 4 Жіп біржақты (босататын) байланыс. У Л і о Л Уі о 3.13 - сурет 3.14 - сурет 143 4 мысал. Оху жазықтығында орналасқан Аи А 2 материялщ нүктелері үзындыгы г жіңішке стерженмен байланысқан (3.14 - сурет). Сонымен қатар Аі нүктесі шарнир арқьшы тірекке бекітілген. Нүктелер арақашықтыгы стерженнің үзындыгына тең болгандыюан, нүктелер координатгары келесі байланыста болады (*2 - *! У + (у 2 ~ У\У * г 2. ' I Стержень екіжакгы (босатпайтын) байланыс. Нүкте координаттары келесі шарттарга қанагаттандырады 2 , = 0, г 2 = 0, х{ = х І0, у { = у ю. Суретгегі стержень және қозгалмайтын шарнирлі тірек арқылы берілген байланыстар теңдеулерінің жалпы саны беске тең, ягни £ = 5. Нақты және виртуалды орын ауыстырулар. Голономды, стационар және екі жақты байланыспен қозгалысы шектелген бір материяльгқ нүктені қарастырайық. Массасы т материялық М нүктесіне Ғ күші әсер етіп, оган жасалған байланыс Л*>У>г)= 0 , (3.16) теңдеуімен берілсін делік. Бүл теңдеу жазық беттің теңдеуі. Материялық нүктенің аз сіі уақыт аралығында шексіз аз сіг орын ауыстыруын нүктенің нақты орын ауыстыруы деп атайды (3.15,а - сурет). Бүл нақты орын ауыстыру жылдамдықпен сипатталады, Й <йг = ПЛу (іҒ = сІхі + сіу] + сһ к , мүнда сіі - аз уақыт; сіг -ш ексіз аз орын ауыстыру; і сіх, сіу 9 сіг - нүкте координаттарынының аз уақыт аралығындагы өсімшелері. Материалық нүктенің белгілі бір /0 уақыт мезетіндегі координаттары х 0 , у 0 , 20 белгілі болсын. Осы координаттар (3.16) байланыс теңдеуін қанағаттандыруы тиіс / ( хо>Уо>го) = 0- 144 2 3.15 - сурет Жалпы й д а * б а с Г і ь ^ б ^ ы координаттары х0 + д х ,у 0 + б у, 0 кооодинаггар п и й - сүоетУ Мұндағы д х . д у . д г к о о р д и и л и ғ да мүмкін (3.15, УР ______ ^ ^ п п п линаттао да шамалар теңдеуін / ( х о + З х , у о + З у , г о + б 2 ) = 0. Осы теңдікті 8 х, 8 у , 8 г координаттар вариациясының сызықгык мүшелерін ғана сактай отырып қатарға жіктеиік / ( х 0 + 8 х ,у 0 + 8 у , г 0 + 8 г) = /(хо,У о, 2 о)+ + ох д х + 0 ш . д у + /о д 1 дг / о теңдіпн Координатгар вариацияларының І к Ж І Е й «Э агаттандыратыны айкын. К оордш атт^ в а р д а л а р ы нүктенің виртуалоы [мү д г векторын анықтайды _ е -. - Г (3.18) 8 г = д х і + д у ] + д г к . ' 145 Виртуалды (мүмкін) орын ауыстыру (3.16) теңдеуімен анықталатын беттің х 0 >У 0>20 нүктесінде жүргізілген жанама жазықтықта жатады. .^1 Сонымен, виртуалды (мүмкін) орын ауыстыру деп берілген мезетте, нүктедегі байланыстардың мүмкіндігіне қатысты, нүктенің жасай алуы мүмкін өте аз орын ауыстыруларының бірін айтады. Нүктенің нақты орын ауыстыруы мен жылдамдыгының арасындагы байланыс сияқты, виртуалды орын ауыстыруга да байланыс таоғызайык д г = и вЖ \ (3.19) мұндағы <Һ* - өлшемі уақыт болатын өте аз шама; о - виртуалды жылдамдықтың векторы, ол виртуалды орын ауыстырумен коллинеарлы (3.15 - сурет). Бүл жерде, қозғалыстағы материялық нүктенің траекториясына жанаманың бойымен бағытталған оның нақты о жылдамдығы мен нақты шексіз өте аз сіҒ орын ауыстыруы да (3.16) жазықтыққа жанама жазықтықта жататынын атап өткен жөн. Сондықтан да, нүктеге түсірілген байланыс стационар болған жағдайда оның нақты орын ауыстыруы көптеген виртуалды орын ауыстырулардың бірі болуы мүмкін. Элементар жүмыс және күштің қуаты. Материялық нүктеге әсер ететін күшпң виртуалдық орын ауыстырудағы элементар жұмысы деп күш және виртуалды орын ауыстыру векторларының скалярлық көбейтіндісін айтады (3 .1 5 - сурет) 8 А = ( ғ •£ /* )= р ^ ‘|<5г|соз[ Ғ уо в \ = Ғх 8 х + Ғ у8 у + Ғ23 2 . (3.20) / да осы сияқты анықталады, жұмысы = г) = ІҒ * б? г соз Ғ,сІг 1 V 146 Күпггің қуаты деп күш скалярлық көбейтіндісін айтады \ И = пен жылдамдық векторларының ( Ғ - у ) Осының алдында енгізілген виртуалды жылдамдық деген ұгымды пайдалана отырып, жогаргыдай виртуалды қуаттың өрнегін анықтайық N в ( ғ п ‘ ) ( А Л 1 4 |й ' о о сл 7=г —В Ғ , о » • т 1 X в У~У Щ т 1 ғ..о ° + ғ . о I . в 2~ 2 (3.21) күш тер қ у аты іенті М = м ( ғ , сурет) Ғ Ғ \ о в Я в = о А + со х ЛВ, екенін ескере отырып, ( Ғ ,Ғ ') күштер жүйесінің қуатын анықтайық м (Ғ ,Ғ ')= { Ғ -о А+ { Т о в )) У { Ғ - о А)+ { - Ғ оА) - ( ғ {а) X А в ) ) = Ғ (а) X вл ). Аралас көбейтіндіге аустыруды қолдансақ орын 3.16 - сурет #(ғ, Ғ ') = {ш ■ {ВА X ғ))= {(о • М ) Қос күштің қуаты қос күш моменті мен бүрыиггық жылдамдық векторларының скалярлық көбейтін- дісіне тең. Осы ережені қолданып, күштің виртуалды қуатын қос түргызаиық ыв(ғ,ғ')=(м-ш В |м||й>в|соз| М , 0 ) В 1 = + М уо)у + М 2 о)г (3.22) 147 Қос күш Оху жазықтығында әсер етсе және осы жазыктықта жазық фигура қозғалатын болса, қос күштің әсер ету бағыты дененің виртуалды (мүмкін) айналу бағытымен сәйкес немесе сәйкес келмеуіне байланысты яғни М, со бағыттас болса - оң таңбалы, ал бағыттары қарама- қарсы болса теріс таңбалы болады. Ілгерлемелі қозғалатын денеге әсер ететін қос күштің қуаты нөлге тең. Идеал байланыстар. Еғер механикалық жүйедегі байланыстар реакңияларының кез келғен виртуалды орын ауыстьфулардағы элементар жүмыстарының қосындысы нөлғе тең болса, онда механикалық жүие байлныстары идеал байпаныстар деп аталады мүндағы Щ, - байланыс реакциялары. Ид еал байланыстарға мысалд ар: 1 Абсолют тегіс жазықтық. Сызбада (3.17,а - сурет) бейнеленген механизмнің В нүктесі тірелген жазықтьпс, тегіс жазықтық болсын. Тегіс жазықтықтың реакциясы Ив жазықгыққа перпендикуляр, ал В нүктесінің виртуалды орын ауыстыруы 5 г в жазықтықгың бойымен багытталған, яғни Ыв реакциясы виртуалды 8 гв орын ауыстыруға нормаль бағытталған. Сондықган Ив реакциясының элементар жүмысы нөлге тең, олай болса В нүктесінің байланысы - идеал байланыс. 2 Қозгалмайтын шарнирлі тірек. Х 0 , Ү 0 тірек реакцияларының (3.17,6 - сурет) элементар жүмыстары нөлге тең, себебі 0 нүктесінің виртуал орын ауыстыруы 8 Ғ 0 = 0. * _ Ені_ денені Қосатын шарнир. Денелердің бір-біріне = ~ Х А » ҮА = ~ Ү А күиггерімен әсер ететінін ескеріп (3.17,6 - сурет), осы күштердің элементар жүмыстарының қосындысын анықтағанда, мынадай нәтиже аламыз (3.23) 148 У=1 3.17 -сурет 4 А бспю т тегіс т ес (каЯр-б¥^Р> ж азы қт ^ Ош к і и р н пене сыоғанамай домалай қозгала алады (3.18- жазықгықгын бепмен д ® пене мен жазықгықгың домалағандықган яғни ок н К нүктесі жылдамдықтың лездік центрі ошш., — - 8 - 0 № = 0 , сондыкган Х к , Үк реакцимарының Ү — 17 л * жұмысы 3.18 - сурет 3.19 - сурет 149 5 Абсолют қатты дене, идеал байланыстар қондырылган нүкт елер жүйеси Дененің кез келген екі нүктесі бір-бірімен мынадай әсерде болады мұндагы іектор. нүкте жылдамдықтарының проекциялары айдалануга жарамды п Р ав » а = п Р ав ° в » ІР а • * ) * ( & •*)- Осындай қатынастар виртуалды жылдамдықтар мен орын ауыстыруларда да орын алады (бгА е )= (3 г в -е ). Сондықтан - 8 га )+ ( ғ в - 5 г в ) = Ғ -{(5 га е ) - ( 5 г в е)} = 0. Л=І ала нүктеден тұратын жүйені қозғалыс теңдеуі, Даламбер принципіне сәйкес, былайша жазылуы мүмкін Ғ„ + Шу +Фу = 0, Ф„ = - т усту, (у = 1,2,...,й), Жүйеге жасалган идеал, голономды, стационар, екі жақты байланыстар жүйе нүктелеріне виртуал орын ауыстыруга мүмкіндік береді делік в*\,бг2 .... 8гп. Даламбер принципінің әрбір теңдеуін сэйкес нүктенің виртуал орын ауыстыруына скалярлы көбейтіп және алынган көбейтінділерді мүшелеп, қосайық 150 V ( К{а) ■ 8 К > + -5 IV).=■'0 У=1 У = 1 V » ! Байланыстар идеал болғандықтан, мұндағы Ү # „ < ? г у = 0. у=1 Олай болса л я У=1 немесе К Й ^ - і я ^ ) - ^ г у)= 0 . г а Осы теңдеу динамиканы ц ж алпы теңдеуі деп аталады ш Даламбер-Лагранж принципін былайша тұжырымдаиды: Идеал Яайпаныстары бар материяльщ нүктелер жүиесгнщ ж үиеге күиітерінің оарлык акт ив «м------г - > ауыст ырудагы элементар ж үмыстарының қосындысы нөпге тец ^ І л а м б е р - Л а і р а н ж принципінік фшнкалық магынасын былайша тұжырымдауға болады: Ш т р и и т В — виртуалды орын оры н ауыстыруларының іш т дегі динамиканың жалпы теңдеуін цанагаттандыратын орын ауыст ы рулар нүктелер ____ - _ • П 1 П Л Л Л Л 1% І ауыст ырулары Нүкгелер жүйесі тыныш түрғанда, яғни 1 г - -------------- теңдеуі V V • • виртуалды орын ауыстыру принципінің теңдеуіне У(?М .*г,)=0. V*! 151 3.5 Жалпылама координаттар жүйесінде матсриялы к нүктелер жуйесінін динамикасын зерттеу Алдыңғы тарауларда баяндалған әдістердің одан әрі дамуы, қозғалыстың скалярлық өлшемі кинетикапық энергия (3.3 тақырып) мен динамиканың жалпы теңдеуіне (3.4 тақырып) байланысты. Сонда қажетті түрлендірулерді жүргізу үшін жалпылама координаттар деген үғымды енгізуді қажет етеді. Ж алпы лам а координатгар және жүйенің еркіндік дэрежесі. Материялық п нүктеден түратын механикалық жүйені қарастырайық. Жүйенің әрбір нүктесінің орны, қандайда бір инерциялық есептеу жүйесінде үш х ^ у „ г „ координатгарымен анықталады, ал барлық жүиенің жағдайы - 3 п декарттық координаттарымен анықталады. Жоғарыда айтылғандай, жүйенің қозғалысы голономды, стационар, идеал, екіжақты байланыстармен шектелген делік. Осы байланыстар мынадай теңдеулермен анықталады (3.15) ?і{Х\>У\>г \і"'>ХпгУп>г п)= 0 } | | = 1,^). Сонымен, Зи декарт координаттары £ байланыс теңдеулеріне тәуелді болады, олардьщ өзара тәуелсіз координаттарының саны 5 мына қатынаспен беріледі 5 = З п - £ . (3.25) Жүйенің жағдайын анықтауға декарт координаттарынан басқа да параметрлерді алуға болады. „ Жүйенің жағдайын бір мәнді анықгайтын, бір-бірінен тәуелсіз параметрлер жалпылама координаттар деп аталады және олар Ч\>Чг>"->Чз Деп белгіленеді. Жалпылама координатар саны 5 жүйенің еркіндік дэрежесінің саны деп аталады. 5 мысал. 3.14 - суретте бейнеленген жүйенің (4 - мысалдага) еркіндік дәрежесінің саны мен жалпылама координатын анықтаңыз. Шешуі: Қарастырылатын материялық нүктенің саны п = 2 , ал байланыс теңдеуінің саны £ = 5. Олай болса, жүйенің еркіндік дәрежесі 5 = 3/? — ^ = 3- 2 — 5 = 1 және жалпылама координаты да бірге тең, ол үшін стерженнің бүрылу бүрышын алуға болады, ч = <р. 6 мысал. Жоғарыда қарастырылған мысалдагы (3.14 - сурет) А, нүктесіндегі тірек алынып тасталған деп қарастырып, жүйенің еркіндік дәрежесінің саны мен жалпылама координатын анықтаңыз. 152 Шешуі АхА 2 стержені Оху жазықтығында жазық қозғалысқа түседі. Бұл ж^-ддйда байланыстар саны £ = 3, еркіндік дәрежесінің саны да 5 = 3. Щ ^ ^ « | щ щ ш т /Л ГТ \/Х У Жалпылама координаттар ретінде болады. Ч і= х А,д 2 =УА’Яз=<Р Осы сияқты зертгеуді кез келген жазық фнгура үшін жүрпзуге ^ і/ . ^ _____ ^ ^ і т т Т Т 1 Х Г Т Т и і жүиеге санын азайтады. у о 0 ) 3.20 - сурет 7 мысал. Доңғалақ горизонталь жазықтықпен сырганамай домалап келеді (3.20 сурет). Жүиенің еркіндік дәрежесінің саны мен жалпылама координатын анықгаңыз. Шешуі: Оның жылдам- дыгының лездік центрі К нүктесінде болады. Доңгалақтың қозгалу багытын ескеріп, оның центрі жылдамдыгының х өсіне проекциясын анықтайық V ш —со • г немесе х А Л л —ф ' Г Дифференциалдық теңдеуді интегралдасақ = — (р г + Сі Сонымен қатар, есептің шарты бойынша доңгалақ центрінщ у координаты У а = Ст = СОП5І. Жоғаргы мысалға қарағанда, жүйеге бекітілген байланыс саны __ іл с\ папйжесінін саны екіге кеміді - !;• екіге артты (^ = 5), ал еркіндік дәрежесінің 153 Доңғалақтың жағдайын анықтайтын тәуелсіз параметр ретінде <р-ді немесе хА-ны алуғаболады. Нүктелердің жалпылама координаттарга байланысты жылдамдықтары мен вертуал орын ауыстырулары. Екі жақты, голономды, стационар байланыстары бар материялық нүктелер жүйесін қарастырайық. Жүйенің жағдайы 5 жалпылама координаттармен анықталсын Онда жүйенің кез келген нүктесінің координаттарын байланыс теңдеулері арқылы жалпылама координаттармен өрнектеуге болады Уу=У*{Ч\>Чг>™>чЛ (3.26) Осы скалярлық теңдеулерге п векторлық теңдеулер сәйкес келеді 4 (у = 1*2,...,л ) (3.27) Жалпылама координаттарға 8 д х,8 д 2,..,,8 вариациялар бере отырып, (3.27) күйдегі механикалық жүйе нүктелерін 8 г Хі5 г 2 ,...,8 гп виртуалды орын ауыстыруларына итермелейік. Нәтижесінде жағдайы (3.27) радиус-векторымен анықталатын жүйе нүктелері жаңа жағдайға көшеді. Жаңа жағдайдағы жүйе нүктелерінің орнын анықтайтын радиус-векторды Ғу деп белгілейік жәнеде ол жалпылама координаттармен келесі функция түрінде өрнектеледі К Ь К к һ + йЯ\’Чг + £ < 7 2 > - . 9 . 5 + £ д . у ) . 0 = 1 , 2 , . . . , п ) . |Н|- Жүйе нүктелерінің дҒ„ элементар внртуалды орын ауыстырулары, 8 ^^ -д ің тек қана бірінші дәрәжесі кіретін мүшелерін қамтитын, қатарға жіктелген Ғ* радиус-векторынан Ғу радиус- векторын алумен анықталады 154 неме^е 5 І І 5 гч = ^ 6 Чу (3-28) >і р щ Жүйедегі байланыстар стационар болгандықтан, нақты орын ауыстыруларды ұқсас формуламен өрнектеуге болады 5 я »• ННМ т д т мұндағы - жалпылама координаттың элементар Л уақыт арасындағы өсімшесі. Механикалық жүйе нүктелерінің жылдамдықгары жалпылама координаттардың вариациялары арқылы былаи өрнектеледі: = у £ 5 - л , (3.29) і і ■ ■ мүндагы — — жалпылама жылдамдық деп аталады. & теңдіктердегі мынадаи ■теңдік дг.. Ш ш л / д к \ \ Ш і) Эуу І І , 1 1 1 ,2 ,... , 5 ) (3.30) (3.31) (3.30) ■теңдіп Лагранждың 2- ші тепе-теңдігі деп аталады. Жалпылама күш. Механикалық жүиенің ететін барлық күштердің виртуалды орын элементар жүмыстарының қосындысын анықгаиық нүктелеріне әсер ау ыстыру л ар д ағы 155 п п У=1 V»! Мұндағы - виртуалды орын ауыстыруларды (3.28) формула түрінде өрнектеиік | і щ у*і у=і V у=і д 4] \ д д У У Егер қосындылардың орнын ауыстырсақ, өрнек мына түрге келеді П У=1 /=1 У“1 дг^ &ІІ Г Осы теңдіктегі жалпылама координаттар вариациясының алдындағы коэффициенттерді (яғни фигуралық жақшадағы өрнекті) жалпылама күіитер деп атайды жэне олар О. деп белгіленелі У=1V (3.32) Осы теңдікті ескеріп, күштер жүйесінің виртуалды жүмысының өрнегін былайша жазуға болады п (3.33) т күштің өлшем бірлігі жалпылама жүмыстың \вһ\АЫ Егер з болса Цд]= келеді ([б] = рдинат үзындық күш О өлшемі к бүрыштық шама 156 |