С. Т. Дүзелбае мех у ▲ ник жоғарғы және орта кәсіптік мамандар дайындаитын техникалық оқу орындарының студенттері үшін арналған Павлодар

Сонымен,  күш  моментінің  шамасы  мен  багыты  (таңбасы) 
момент 
алынатьга 
нүктенің 
орнына 
байланысты 
екенін
түжырымдаймыз.
Нүктеге  қатысты  күш  моментінің  шамасы  геометриалық
жолмен анықтағанда екі  еселенген  ОАВ  үшбұрышының ауданына тең 
(2.20,а - сурет).
М 0{Ғ )=
і
2 8 АОА
в
 •
Күштің түсу  нүктесін  оның әсер  сызыгы  бойымен  жылжытудан
күш моменті өзгермейді.
Күштің  өске  қатысты  моменті.  г  өсімен  қиылыспайтын  және
оган  параллель  емес  Ғ   күші  әсерінен  г  өсінің  төңірегінде  айналу 
мүмкіншілігі  бар  денені  қарастырайық  (2.20,6  —  сурет).  Күштің  г 
өсіне  қатысты  моментін  табу  үшін  Ғ   күшін  осы  өске  перпендикуліф
ш
 • л  + 
* 
'.ді 
і» 
- 
» 
“ 
'ь. 
~ 
4  
* 
,->'Л
жазықтыққа (ху  жазықтыгы) проекциялау керек.  Бүл проекцияны  Ғху 
арқылы  белгілейік.  Осыдан  кейін  осы  прекцияның  г   өсімен  ху 
жазықтыгының қиылысатын  О  нүктесіне қатысты моментін табамыз
М Д Ғ ) = ± ^ - А . 
(2.13)
Сонымен,  мынаны  тұжырымдаймыз:  күштің  өске  қатысты 
моменті,  күштің  өске  перпендикуляр  жазыцтыща  проекциясының, 
жазыңтықтың  өспен  қиылысу  нүктесіне  қатысты  моментіне  тең. 
Моменттің  таңбалары  күштің  нүктеге  қатысты  моментіне  үқсас 
анықталады.  Егер  күштің  әсер  сызыгы  ось  арқылы  өтетін  болса, 
немесе, өске параллель болса онда күштің өске қатысты моменті нөлге 
тең.
2.4 Ж азы қ жүп күш тер жүйесі
Жүп  күш  және  жүп  күш  моменті.  Жогарыда  біз.  күштердің 
шамасы  әр  түрлі  болган  жагдайдагы  қарама-қарсы  багытталган  екі 
параллель 
күшті 
қосуды 
қарастырғанбыз. 
Енді 
қарама-қарсы 
багытталган  параллель  екі  күпггің  шамалары  өзара  тең  болган
жағдайын  қарастырайық  (2.22,а  -   сурет). 
Ғ \  = - Ғ %, 
Ғ,  = Ғ2,
( Ғ і , Қ ) ~ 0 ,   Я = Ғ , - Ғ 2 =0.
Модульдері  тең  жэне  қарама-қарсы  багытталган  екі  параллель 
күш жүйесін жұп күш  деп атайды.
90

XIX  ғасырдың  басында  француз  ғалымы  Пуансо  (1777-1859) 
механикаға  жұп  күш  ұғымын  енгізіп,  жұп  күштер  теориясын 
тұрғызады.  Жұп  ұғымымен  катар  жұп  күш  механикада  непзгі
ұғымдардың бірі болып табылады.
Жұп  күш  құратын  күштер  орналасқан  жазықтық  жұп  күш
эсерінің  жазықтыгы,  ал  күштердің ара қашықтығы  сі  ж уп  күш  иіт 
Деп  аталады.  Жұп  күштің  денеге  әсері  денені  айналысқа  келтіруге 
тырысатынымен  сипатталады.  Жұп  күштің  денеге  жасайтын  мұндай 
эсері  Ғ   күштің 
шамасы  мен  <і  иініне,  әсер  жазықтығының 
орналасуына  және  осы  жазыктықтағы  жұп  күштің  айналу  бағытына 
тәуелді болады. Жұп күш әсері жұп күш моментімен анықталады.
Жұп  куш  момент і деп,  плюс  не  минус  таңбамен  алынған  жұп
күш  кұраушы  күштердің  бірінің  модулі  мен  оның  иінінің  көбейтін- 
дісін айтады (2.22,6 -  сурет)
м ( Ғ \ , Ғ г ) = ± Ғ с І . 
(2-14)
А
2.22 - сурет
91

Жұп  күш  моменті  мен  күш  моменті  бірдей  өлшем  бірліклен
өлшенеді.
Егер  жүп  күш  денені  сагат  тілі  жүрісіне  кері  багытта 
айналдыруга  тырысса  жұп  күги  моменті  оң  таңбалы  деп  (2.23,а  |
сурет),  ал  егер  сагат  тілі  жүрісімен  багыттас  айналдыруга
тырысса,  онда жұп күиі моменті теріс таңбалы деп (2.23,6  - сурет), 
үйғарылган. 
а 
;$9
і
2.23 - сурет
Жүп  күш  моментінің  шамасы  геометриялық
ганда  А иВ С   параллелограмм
М ( Ғ
і
, Ғ 2) = 5
АОВС
=  Ғ Һ .
(2.15)
Жұп күш моментініц негізгі қасиеттері. Бірінш і қасиеті.  Жүп
күштің тең әсерлі күші болмайды.
2.24 - сурет
Иіні
( Ғ и Ғ 2)
делік  және 
(2.24-сурет).
болатын,
жүп  күш  берілсін
Ғ
2
>ҒХ болсын
Олай  болса,  бұл  күпггер
• 
*
жүиесішң тең  әсерлі күпн
я=ғ2-қ
тең болады, ал оның түсу нүк-
тесі 
келесі 
пропорциядан 
анықталады
92

бұдан
Ш
Ж
К
Енді  Ғг  күш  модулі  біртіндеп  азайып  шамасы  г  \  күшінің 
модуліне ұмтылсын делік, яғни  Ғ
2
 = Ғ{  болганда  /? = Ғ, -  Ғ
2
 = 0.
Бұл  денеміз  берілген  (Ғі.Ғ")  жұп  күштің  Ғ2 =Ғ,  болган
жағдайында тең әсерлі күші болмайтынын көрсетеді.
Сонымен,  жұп  күшті  бір  күшпен теңгеру мүмкін  еместігін және
жүп күиггі тек жұп күшпен теңгеруге болатынын түжырымдаймыз.
Екінш і  қасиеті 
Жүп  күштің  құраушы  күштерінің  әсер 
жазықтыгындагы  кез  келген  нүктеге  қатысты  алынған  моменттірінің 
алгебралық қосындысы жұп күш моментіне тең. 
_
күпггерінің моменттерін анықтаиық
мс
 Ц ) = (о+л) 
м Ж Һ ~ Ғга>
Осы  теңдіктердін  оң  және  сол  жазықтыгы  мүшелерін  өз-ара
Иіні  һ  болатын  [Ғ\,Ғ2)
жұп  күш  беріліп  оның  күш 
моменті
болсын дедік.
2.25 - сурет
Жұп  күштің  әсер  жазықтыгы- 
нан  қандайда  бір  С  нүктесін 
таңдап  алып  (2.25  —  сурет), 
оған 
қатысты 
жұп 
күшті 
құраушы 
Ғх 
мен 
Ғ
2
қосаиық
м № ) +  м с (Ғ
2
 ) = Ғ,(а + һ)+ Ғ2а = Ғхһ,

немесе
МС(Ғ\)+ мс (ғ
2) I  
Ғхһ
 = 
м(ғх,ғЛ
Жұп күштің бүл қасиетінен мынаны түжырымдауға болад 
кепген момент  центрперіне қатысты  қурылган момент тецдеу 
жұп  куш  бірдей  тацбамен  және  бірдей  шамамен  кіреді,  ягні 
куш моментініц тацбасы мен шамасы момент центрінен  тәуел
Үшінші  қасиетті.  Жұп  күштің  құраушы  күштерінің 
проекңияларының алгебралық қосындысы эрқашан нөлге тең.
өске
жұп  күші  және жүп  күштің
Ғ
2г
2
.  осі  берілсін  делік  (2.26  - 
сурет).
Суретте  көрсетілген 
ААСС{  жэне  АВПІХ
рыштарының
3 1
 ■
үшбұ-
теңдігінен
екені
Ғ
\г
2.26 - сурет
аңғарылады.
Бұл  проекциялардың 
алгебральщ 
қосындысы 
эрқашан  нөлге  тең  өйткені
Ғ
І2
  проекциясы оң таңбалы 
да  Ғи   проекциясы  теріс
\г
таңбалы.
жұп  күш
□ теңдеулеріне, не күштің проекциялықтеңдеулеріне к ж 
Жұп 
күш тер 
эквиваленттілігі. 
Еркін 
цатты 
дененің
күйін  өзгертпей  бір жұп  күгиті  екінші  бір жұп  күшпен
шімастыруга мүмкін  болса,  онда  бұл  жұп  күштер
эквивалентті  деп аталады.
немесе
теорема.  Жұп  күштің  денеге  әсері, 
оны  эсер  ету
жазықтыгында басца орынга ауыстырганнан,  өзгермейді.
т *:  •  ІП 
I  / «   « / \  
.  _ 
.  -
Иіні  АВ
ғ.
жұп
жұп
/
(
2
.
21
,& -  сурет).
қажет
А  мен
А
және  Ах  мен  Вх  нүктелерінен,  сәйкесінше  АВ  және 
ХВХ  кесінділеріне  перпендикуляр,  параллель  түзулер  жүргізейік
■•27,6  —  сурет).  Екі  параллель  түзудің  екінші  параллель  түзумен 
іылысады  және  қиылысында  СӘЕК  ромба  пайда  болады  Гөйткені
94

берілгені  бойынша  АВ = А,ВХ=1,  ал  параллелограмның  бір  төбесінен 
түсірілген  биіктіктер  тең  болса,  онда  ол  ромб).  Ғх  күшін  әсер  ету
сызығының  бойымен  А  нүктесінен  С  нүктесіне,  ал  Ғг'  күшін  -  В 
нүктесінен  Е  нүктесіне түсірейік.  СА,  түзуінің бойымен  С  нүктесіне, 
модульдері  Ғ,-ге  тең,  теңестірілген  Ғ2  және  Ғ3  күпггер  жүйесін
түсірейік;  ӘВ,  түзуінің  бойымен  Е  нүктесіне  де,  модульдері  Ғх  -ке
тең,  теңестірілген 
Ғ3'
 
және 
Т
2
 
күштер  жүйесін  түсірейік;  сонымен
қ = ғ 2=ғ3^ ғ ; = ғ 2' = ғ ' .
б)
2.27 - сурет
I   ңүктесіне  түсірілген  Ғг  және  Ғ3  күштерінің  тең  әсерлі  Ғс
күшін  және  Е  нүктесіне  түсірілген  ^ Ғ 2'  және  Ғ
3
  күштерінщ  тең
эсерлі 
ТЕ
 
күшін  анықтайық. 
Тс
 
пен  ҒЕ  күштері  бірін  бірі теңестіре-
тінін  аңғару  қиьга  емес,  өйткені  олардың  шамалары  өзара  тең  және 
олар  СВЕК  ромбасьгаың  диагоналының  бойымен  қарама-қарсы
багытга  әсер  етеді.  Сонымен,  Ғ ,,  Ғ3 ,  Ғ
3
 
және  Ғ, 
күштері 
теңестірілген  күштер  жүйесін  қүрайды,  яғни  {Ғ,,Ғ3,Ғ,  ,Ғ3  } ~ 0 .  Олай
болса  оларды  қарастырмай-ақ  қойуға  болады,  сонда  қарастырылған 
күпггер жүйесінен тек екі  күш қалады,  С  нүктесіндегі  Ғ
2
  күші мен
нүктесіндегі 
Т2
 
күші.  Бұл  күштерді  әсер  сызықтарының  бойымен 
жылжыта отырып,  сәйкесінше  А,  және  В,  нүктелеріне  түсірсек,  онда
иіні  АВ  болатын  ( ^ Д ' )   жұп  күшіне  пара-пар  келетін  иіні  А}ВГ ге
95
I

тең
Ғ2' і жұп күшін
сурет)
,  Ғ
2
  және  Ғ
2
  модульдері және  АВ  мен  Л,Я,  иіндері тең. Сонымен
жұп
теореманың дәлелденгенін көрсетеді.
сурет)
күгитін
жазықтықта жатқан, моменттері тең екі жүп
<*)
б)
с
2.28 - сурет
Ш -ч '}
“ м 
)  жұп  күші
берілсін  делік.  Онда,  жұп  моменті 
М\  = Ғ\
1
\  болады  (2.28,а  —  сурет).
Жұп
иіні  бойымен  әсер
ететін  теңестірілген  Ғ   пен  Ғ  
күштерін 
біріктірейік 
(2.28,6  -
сурет)  және  Ғ\  мен  Ғ ,  сонымен
/
Қатар 
Ғ\ 
пен  Ғ
і
күштерін
қостап  қосайық.  Олардың  теңәсерлі
_________
:
  п" 
-^г/
 
. 
.
күштері
мен  Ғ
2
 
иіні  /,  тең
сурет).
жұп  күшті  қүрайды
түрлендірулер 
аксиомаларына
Жоғарыда
жүргізшген
статиканың
негізделіп
жүргізілді  және  дененің  алғашқы
күиш  еш  өзгертпейді,
жүп  күші  денеге
күшіндей  әсер  етеді.  Енді  жүп
күштердің  моменттерінің  теңдігін 
дәлелдеу керек:
« 
•
жүп күшінің моменті
М ,  = Ғ ХІ ,
• 
■
жүп күшшің моменті
М
2
= Ғ
2
12.
2.28, 1 “  сУРетгегі сызбадан /2 = /, соз а , Ғ
2
= Қ І с о $ а   екені көрі-
неД1, олай болса,  М
2
  = Ғ
2
1
2
  = [Ғ{ /со 8 а >, со за = Ғ ^ , яғни  М
2
= М Х.
Теорема дәлелденді.
Бір  жазықтықта  жататын  әсер  ететін,  моменттері  тең,  жші 
күштер статикалық тепе-тең деп аталады.
96

Дәлелденген  теорема  бойынша,  берілген  жазықгықта  жатқан
_____  
___ _ 
г т   т т т   т  
7 
Л Л З І Л 1
* )
ж ү п  
күштің  айналдыру  әсері
оның
моментіне 
н жұп  күш
тәуелді,
оның 
моментінің 
шамасын 
көрсетсе  жеткілікті,  онан  кейін 
берілген
немесе
б )
ғ;
күштің  мәнін,
бойынша
қажетті
таңдап 
нша  жұптағы 
немесе 
күш
иінді
Осыған
мен
2.29 - сурет
көрсететін,  дөңгелек  жебемен  кескіндейді.  Мысалы,
жүп  күшті
анықтауға 
болады.
байланысты, 
суреттер
сызбаларда  жұп  күшті,  оның
айналдыру  әсерінің  бағытын
білеуге
сурет),  оларды  М,  жэне  М
2
  деп
белгіленген  деңгелек  жебемен  шартгы  түрде  кескіндеуге  болады
(2.29,6 -  сурет).
тепе-теңдік 
жұп  күгитер
моменті  жұп  күіитердіц  моменттерінің  алгебралыц  цосх
тең болатын жүп күитен тепе-тең.
Бір жазықтықта жататын моменттері  М 1?  М
2
  және  М
үш  жұп  күш  берілсін  делік  (2.30,а  — сурет).  Берілген^кұп 
оларға тепе-тең иіндері  бірдей  АХВХ
  = А2і
А
I
жэне
Шіі
жұп
және 
М
3
 = ҒЪ1,
жұп
олардың  күштері  екі
параллель  түзудің  бойымен  әсер  ететіндей  етіп  орналастырайық
(2.30,61 сурет).
Бір түзудің бойында әсер  ететін  күштердщ тең эсерлі  күші,  осы
туздің  бойымен  бағытталатыны  және  модулі  құраушы  күштердщ
шамаларының  алгебралық  қосындысына тең  екені  бізге  белгші.  Олан
|   |   |  
нүктелеріне  түсірілген
болса,  Ах, А2, А
3
  нүктелері  мен
күштерді  қосып,  берілген  үш  жұп 
күшін аламыз (2.30,в — сурет). Сонымен қатар  Ғ  — Ғх  —
 Ғ
2
  + Щ *
(ғ, 
ғ
')
жұп
Ші
теңәсерлі 
жұп 
күшінің
р  -  /г  _  р
2
 + /гз  болгандықтан
97
Ү

м=(ғ
1
-ғ
2
+ғ
3
)/=ғ
1
/-ғ
2
-/+ғ3-/
немесе
М  = М Х- М
2
+ М Ъ. 
(2.16)
Теорема дәлелденді.
(2.16) теңдігінің жалпылама түрі былайша жазылады
п
М  
(2.17)
/=1
Сонымен, денеге
жұп күштерді
үшхн,  осы  жұп  күпггерінің
М^ 
М^ 
М^ 
моменттерінің 
алгебралық
Р
 
5
3
қосындысын
нәтнжесінде 
алынған 
момент  теңәсерлі 
жұп 
күшті
анықтайды.
Егер 
қосу 
нэтижесінде
А] ,____ « 
I  _  
М  = 0  болса,  онда  денеге  эсер
ететін  жүп  күштер  теңес 
жүп  күштерді  қүрайды.  Сонымен
ғ,
 
I 
М , =Ғ, 
I 
в ,
ғ
I 
і
 
жүп  күштер  жүйесінің  тепетең-
« I  
/  
в  
діктің  қажетті  жэне  жеткілікті
! 
м,=.ғ,ііғ'
 
шарты бі'
теңдеумен
# 8  0, 
(2.18)
А
, '
В ,
ягни  денеге  бір  жазыкта
ғ Л щ - Қ і  
* 
етугиі жүп күгитер жүйесі
е
>
 
,
 
I
 
ғ
'
=
ғ
;
.
ғ
;
щ
теңдікте  болу  үгиін,  жүйедегі 
жұп  күіитер  моменттерінің  ал- 
I 
| *   ~г ! 
~*2
 
гебральщ  цосындысы  нөлге  тең
^
|
 
және жеткілікті.
Ғ
 
= Ғ  
Ғ   + Ғ
 
Сонымен, 
жүп 
күштер
1
 
2
 
* 
жүйесін немесе біо уют  купггі  тек-
жұп
2.30 - сурет
98

2.5 Еркін орналасқан күштердін жазық жүйесі
I
Күшті  берілген  нүістеге  келтіру. 
Екі  гасырдай  бұрын  Л. 
Пуансо  күшті  кез  келген  берілген  немесе  таңдап  алынган  нүктеге
көшіруге болатыны жөніндегі теореманы дәлелдеді.
Денеге  әсер  ететін  кез  келген  Ғ   күшін,  дненің  қандайда  бір  О
нүктесіне
сурет).
Ол  үшін  О  келтіру  нүктесіне  Ғ   күшіне  параллель  теңестірілген  Ғ і ,
түсірейік  (2.31,6  -   сурет).,  ягни  Ғ \  = - Ғ г ,   ҒХ=Ғ2,
жүиесін
нүктесінде түсірілген  г  і  күшімен
қатар,  моменті  М  = Ғ1  жұп  күш  ( Ғ ,^ )   пайда  болды  (2.31,в -  сурет). 
Бір  жағынан  берілген  Ғ   күштің  О  келтіру  нүктесіне  қарағандағы
моменті де  М
0
{ғ ) = Ғ1, яғни  М  = М
0
\Ғ ).
Сонымен, денеге әсер ететін кез келген күгиті,  дненіц цандайда
көшіруге  болады,  бүл  жаядайда
бір  нүктесіне
е-өзх  параллель,
күшпен  қатар,  моменті  берілген  күштің
жүп күшті
а)
б)
в)
1! НЗ
о
2.31  - сурет
Осы сияқты күштің орнын ауыстыруды күш ті бертген нүктеге 
келтіру  деп  атайды,  ал  туындаған  моменті  М  = М
0
 (Ғ)  (Ғ, Ң )  жүп
күшін тіркеме жүп күш дейді.
Еркін  орналасқан  жазық  күнггер  жүйесін  берілген  нүктеге
келтіру. 
{Ғх, Ғг, Ц,Ғ\ } 
жазық  күштер  жүйесі  берілген  делік  және 
оның  қүраушы  күшгері  бір  біріне  параллель  емес  және  олардың  әсер 
ету сызықгары бір нүктеде қиылыспайды (2.32 -  сурет).
99

сурет
нүктесін
келтіру нүктесі деп алып, оган 
алдымен  Ғх  күшін  келтірейік,
ягни  О  нүктесіне  Ғх  күшін
ауыстьфып,  М х = М
0
(ҒХ)  мо- 
ментін тіркейік.  Одан кейін  О
күшін
нүктесіне  Ғ
2 
рьш,  оның  М
2
= М
0
(ғ 2)  мо- 
ментін  тіркейік.  Басқа  Ғ \,  Ғ.
күштерімен
нүктесін
Е
күштерімен
М л = М а (Ғ4)  моментерін  түсірейік.  2.32
келтіру  нүктесінде  жинақталған  күштер  жүйесімен 
күштердщ моментіне тең, тіркеме жүп күштер жүйесі' г
Жннақталған 
күнггер 
жүйесінің 
векторлық 
анықтап, келтірілген күпггердің тепе-теңдік күшін алам
сәйкес 
М
3
= М
0
(Ғ3) 
және
суреті-нен  көрінетіндей
қосындысьш
*   = ғ , + ғ , + я + л .
жүйесінің
тең  Я  күшін  күштер  ж үйесініц  бас  векторы  деп  атайды  және  ол
келтфу  нұктесіне  түсіріледі.  Тіркеме  жұп  к^ггерді Л Г е „ ™ 1 ° н
= е Г н Ь1 , =
СЫН  "
  ~
м' = Мх
 + 
М2
 + 
м}
 + 
м . ,
немесе
М'
 = 
Мо(ғ
х)+ 
м0(ғ2)+ м0(ғ3)+ М0(ғЛ
Берілген күштердің
қарагандагы  момент-
. 
- 
* 
л ^   ^  ----- қаршганд
терінщ алгебралық қосындысы бас момент  деп аталады.
Бас вектор мен бас моментгің, жалпы жағдайда, жазылу түрі
100

п
Я * Ү Ц ,
 
(2.19)
1
п
М ^ У М о Щ ) .  
(2.20)
1
күштерден
көпбұрыштың  тұйықтаушы 
қабырғасы 
болып 
табылады. 
Бас 
вектордың 
модулін 
аналитикалық 
жолмен 
мына 
формуланы
пайдаланып есептеуге болады
■ 
р - 21*
мұнда 
і = 1,2, —, /7.
п 
п
К 
= У , Ғ а , К = Т . Ғ Іг. 
(2.22)
Бас күштің бағыттаушы косинустары
со8 а  = 4 ,  
сш /г = Ь  
(2.23)
к 
к
Бас  вектор  берілген  жазық  күштер  жүйесінің  теңестіруші  күші 
емес,  өйткені  ол  берілген  жүйені  тек  тіркеме  бас  моментпен  бірге
алмастыра алады.
Қасиеттері  1  Бірілген  күштер  жүйесінің  бас  векторының
модулі  мен бағыты клтіру нүктесінің орнына тәуелсіз.
2 Жалпы  жағдайда,  бас моменттің шамасы  мен  таңбасы  келтіру
нүктесінің орнына тәуелді.
Жазық  күштер  жүйесінің  теңәсерлі  күші.  Вариньон  теоремасы. 
Қандайда  бір  еркін  бағытталған 
{Ғ,,Ғ2,...,Ғ П} 
жазық  күштер
жүйесінің бас векторы  К  мен  бас  моменті  М   берілген делік (2.33,а
-  сурет). Осы жүйенің  { К \ М )   тең әсерлі күшін анықтайық.
М*  бас  моментті 
^  жүп  күшімен  алмастырайық,  мұнда
101

ЫГ
Ал  О  нүктесіндегі  К
Г»/
пен  К
күштері
• 
*
ген  күштер,  ягни  (л*,/?7)— 0,
>лса,  келтіру  нүктесі-
аралықтағы  нүктеге 
түсірілген  Я  -  тең  әсерлі
нен  <і
қалады
М
к
Сонымен  бас  вектор
анықталды
моментпң
Сэикес  күштердің  тең  эсерлі  күші  мен  моментінің  арасындагы 
тәуелділік  жөніндегі  теореманы  француз  гаиымы  Вариньонның 
есімімен — Вариньон теоремасы деп аталады.
Теорема.  Кез  келген  жазық  күштер  жүйесінщ  қандайда  бір
келтіру нүктесіне қатысты алынган теңәсерлі күшінің маменті,  осы
нүктеге  қатысты  алынган  жүйенің  ңүрама  күштер моменттерінің 
алгебралыц қосындысына тең.
Шын  мәнінде  2.33  -   суретте  көрсетілгендей,  тең  әсерлі  күштің
°   иүктесіне  қарағандагы  моменті  М
0
(к)= к< і,  мұндагы 
сі
олай болса
М
К
Демек
М  = М ' .
м
0
( к ) = м '
(2.20) формуласына сәйкес
п
м   = Ц М о ( ғ Х
і
сондықтан
м0(*һҮм0(ғІ)
1
(2.24)

Теорема дәлелденді.
Ж азы қ  күштерді  келтірудің  жеке  жағдайлары.  Жазық 
ф жүйесін 
канДаВДа біР 
келтірген жағдай-
да:
жүйені түрлендіре
К  тең  әсерлі  күшке  келтіруге  болады.  Теңәсерлі  күш  бас  вектормен 
багыттас  және  шамалары  тең  болады,  ал  түсу  нүктесі  келтіру 
нүктесінен 
<1
  қашықтықга жатады.
2  Егер  К* = 0,  М*  * 0  болса,  онда  жүйені  тепе-тең жұп  күшпен
алмастыруға болады.
3  Егер  К*  Ф 0,  М ' = 0  болса,  онда  жүйені  келтіру  нүктесіне
түсетін  К  теңәсерлі күшке келтіруге болады.
4  Егер  К  -  0,  М* = 0  болса,  онда  жүйе  нөлге  тепе-тең,  яғни
жүйе тепе-теңдікте
күгитер  жүиесі
үгиін,  жүиенің
қажет
к' =
0
,
 
М* = 0 . 
(2.25)
Еркін  бағытталған  күштердің  тепе-теңдік  шарты.  Еғер  еркін 
бағытталған күштердің бас веюгоры нөлге тең болса онда оның модулі
де  нөлге  тең,  ягни 
= 0   болса,  онда 
+ К   = 0   немесе
* ; = і ғ „ = о , я ; = і : ғ » = о -
і 
і
Осы теңдіктерден тепе-теңдіктің келесі шарттарын аламыз.
1 
Еркін бағытталған жазық күпггер  жүйесінің  тепе-теңдікте  бо- 
луы  үшін,  жүйені  құраушы  күштерінің  екі  координат  өстеріндеп 
проекцияларының 
алгебралық 
қосындысы 
және 
күш 
жазық- 
тыгындағы  кез  келген  бір  нүктеге  қатысты  алынған  күштер 
моментгерінің алгебралық қосындысы нелге тең болулары қажет және
жеткілікті
І Х - 0 . £ ғ   = о , 5 > , , ( ғ , ) = 0 .  
Н
I
Бұл  ернектерді  тепе-теңдіктің  іиарты  немесе  тепе-теңдік
теңдеуі деп атайды.
103
\

2 
Еркін бағытталған жазық күштер  жүйесінің  тепе-тевдікте  бо- 
луы  үшін,  кез  келген  екі  А  және  В 
нүктелеріне  қатысты  жүйені 
құраушы  күштер  моменттерінің  алгебралық  қосындысы  мен  АВ 
түзуіне  перпендикуляр  болып  келмеген  қандайда  бір  өстегі  (мысалы, 
Ох 
өсін  алайық)  осы  күштер  проекцияларының  алгебралық 
қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті
І , М в (Ғі)**0
9
'£ Ғ іж* 0 
(2.27)
3 
сркін оағытталган жазық күштер  жүиесінің  тепе-теңдікте  бо- 
луы үшін, жүйенің қүрама күиггерінің бір түзудің бойында жатпайтын 
кез  келген  А ,  В  және  С 
нүктелеріне  қатысты  моменттерінің 
алгебралық қосындысы нәлге тең болулары қажет жэне жеткілікті
1
Жеке
Егер  {Ғх>Ғ
2
, . . ^ Ғ п}  жазық  күштер  жүйесі
параллель  күштер  жүиесі  болса,  онда  тепе-теңдік  шарты  мынадай 
түрде жазылады:
1 
Жазық параллель күштер 
жүйесінің 
тепе-теңдікте 
болуы 
үшін,  берілген  күпггерге  параллель  өстегі  жүйені  қүраушы  күштер 
проекцияларының  алгебралық  қосындысы  мен  күш  жазықтығындағы 
кез  келген  бір  нүктеге  қатысты  алынган  күпггер  моментгерінің 
алгебралық қосьшдысы нолге тең болулары қажет және жеткілікті
П 
П
Е ^ у  = ° .  ' Е М о(Ғі)=й- 
(2.29)
2 
Жазық параллель күштер 
жүйесінің 
тепе-теңдікте 
болуы 
үшін,  кез  келген екі  А  жэне  В  нүктелеріне қатысты жүйені  қүраушы
ерінщ алгеоралық қосындысы нөлге  тең болуы  қажет
және жеткілікті
п
Ц
м а
(
ғі
)=
 0, 
Ё м в(ғ,)=0.
 
(2.30)
1  
1  
7
104

Мұндагы 
А  мен  В 
нүктелері  күштерге  параллель  түзудщ
бойында жатпауы керек.
Тепе-теңдік  теңдеулері  негізінен,  жүктелген  денені  қарастыра
отырып, денеге түсірілген  қандай да бір  күштердің  шамасы  бойынша 
байланыс  реакцияларын  анықтауда  пайдалынылады,  дара  жағдаида 
тірек  реакцияларын  анықтауда.  Осы  есепті  шешудщ  жалпы 
аншштикалық  әдістің  түйіні  мынада.  Берілген  дене  тепе-теңдокте 
болгандыктан, байланыс  реакцияларын бірге есептегенде, денеге эсер 
ететін  күштердің  барлыгы  тепе-теңдік  шартгарын  орындауы  қажет. 
Осы тұргызылган тепе-теңдік шартгарынан, берілген күштермен катар 
белгісіз  реакциялар  енетін  теңдеулер  аламыз.  Алынган  теңдеулер
жүйесін шеше отырып, белгісіз күштерді аныктаймыз.
Әрбір  жазық  күштер  жүйесі  үшін  белгші  анықталган,  сәикес
тепе-теңдік  теңдеулер  саны  болады.  Мұнан,  белгісіз  күштердщ  саны 
түогызылган  тепе-теңдік  теңдеулердің  санына  тең  көрінеді.  Ьгер 
белгісіз  күиггердің  саны  теңдеулердің  санынан  аспаса,  онда 
теңдеулерді  шешуге  болады,  Мұндай  есептерді  статикальщ 
а н ы қ т а л г а н  
деп  атайды,  ал  егерде  белгісіз  күштердщ  саны 
теңдеулердің  санынан  асып  түссе,  есеп  статикалық  анықталмаған 
болады. 
Есепті 
статиканың 
әдістерімен 
шешуге 
болмаидьі. 
Статикалық анықгалмаган есептерді, тек дененщ сершмді  қасиеттерін 
ескере  отырып  шешуге  болады,  ал  ол  жагдай  теориялық  механикада
қарастыры лмай ды.
2.6 Денелердің ауы рлы қ центрі
П араллель  күш тер  центрінің  кординаттары. 
А,х, А
2
,...,Ап 
нүкгелерінде,  бағыттары  бір  параллель 
{Ғ
1
,Ғ
2
,...і Ғп)  күиггер 
жиынымен жүктелген денені қарастырайық (2.34 -  сурет). Бүл күштер
жиыны
С{хс>Ус>г с)  нүкте(2*;Ііе  түсетін  тең  әсерлі 
/? 
күшіне
келтіріледі делік.
Параллель  күштер
сызығы  өтетін  нүктені  параллель 
----- Г -  . . .
Яғни  С[хс , у с >гс )  нүктесі берілген параллель күштердщ центрі
Егер  күіитер  жиынының  барлық  күші,  олардың  параллелъдхгі
Н
 Ш 
«
һ
—
ШШі ё н И І
үіитердің
өзгермейді.
105

С  нүктесінің орнын, оның координаттарын тауып анықтайык.
Бізге  белгілідей,  тең әсерлі  күш денеге  берілген  барлық  күштер 
жүйесіндей әсер етеді.
Л = ҒІ + Ғ 2 + ... + Ғ(І
немесе
я = ғ,+ғ
2
+...+ғп.
Олай  болса,  Вариньон  теоремасы  бойынша,  тең  әсерлі  күпггің
^
----- --  
-----
1
—
жүиесінщ  құрама
күштершің  сол  өске  қатысты  алынган  моменттерінің  алгебралық
қосындысына тең.
А\ (х\. У\> г ,)
Аг(хг>У2>22)
С(хс іУс>гс )
А п (Хгі > У пШ . )
2.34- сурет
Күштердің  у   осьне  қарагандагы  (2.34
анықтайық
сурет)  моменттерін
М у (Ві)=К-хс, 
М у( қ ) = Ғ х х.,
м у ( ғг ) = ғ г х 2
..........
М
у
( Ю = Ғ
п
.
х
п.
106

п
Вариньон теоремасы бойынша  М  у( к ) - ^ М  ^уҒ^) 
болғандық-
тан
п
Я - Я с & Е Ғ ^ х , .
1=1
Бұдан
П
х
 
=
м
__________
*с 
к
мұндағы 
К = Ғ х 
+ 
Ғ2 + .. .  
+ 
Ғ п
 
екенін  ескерсек,  параллель  күштердің 
центрінің абсциссасын анықтайтьга формуланы мына түрде аламыз
п
У Ғ г Х ,
хс =
1=1
п
Ъ ғ ,
і=і
Мүнан кейін берілген күштер мен олардың тең әсерлі күшінщ  х 
өсіне  қарағандағы  моменттерін анықтай отырып параллель күштердщ 
центрінің ординатасын табамыз
П
£  
ғ і
 ■
 Уі
У с = М 7і
т
Егер  берілген  күштерді  90°  бұрсақ,  мысалы,  оларды  у   өсіне
күштердің
үшінші координатын анықтаймыз
п
гс —
Ы
107

Сонымен,  параллель  күштердің  центрінің  координаттарын
анықтау формулалары мынадай
» 
п
9 
Щ  
Щ т
 
Йш
■
■
Я
 
------ • 
(2.31)
Ъ ғ ‘ 
І ғ <
 
Ү .Ғ ,
1*1
мүнда  Ғ( -   параллель күштердің модулі;
хі
 >  1
-   олардың түсу нүктелерінің координаттары.
Дененіц  аурлы к  центрі.  Жер  бетіне  жакын  орналасқи.  каггы
оиша  "-ге 
Өрбір  дене  бөлшегіне  Жердін  ц е н г о ^
тартатын  куш  әсер  етеді.  Егер дененің  олшемдері  Ж ерд*  р Х ш " а  
қарағанда  а д а й д а   аз  болеа,  онда  ар  б о л ш е ^ д ^ у ы р л в д  
күштерш  өзара 
паралель,  багыпры  бір  күнпер  жүйесі  деп
дене  бөлшектерінің^ауырлық
күштерінен  құрылган  паралель  күштер  жүйесінің  центрі  сол  дененің 
ауырлық центрін анықтайды. 
Ғ 
дененщ
Демек
п
/=*1
мүндағы 
С -   қатты дененің салмағы;
С, -   қатты дененің бөлшектерінің салмағы.
Егер  (2.31)  формуладагы  І   күиггер  модулін  О,  қатгы  дененің
бөлшектерінщ  салмағымен  алмастырсақ.  дененің  ауыолык 
п е н т і н і н  
кордннаттарын аныкталтын орнектер аламыз 
^  
Центршщ
п
Ш I і 
і 
°
г у
, 
УИ
Хс = ^ -------  
V 
-   /-I 
,  
М
і  
- 
’ 
у с - ~ ------ і 
гс = Ч ------- 1 
(2.32)
£ 6' 
£ * .
ш  
Р
Бүл формулалардағы 
хһ у п г. -   дене  бөлшектерінің  коорди- 
наттары.
108

(2.32)  формуласы  біртекті  емес  денелердің  немесе  әртүрлі
материалдардан 
құралған 
денелердің 
өзгермейтін 
жүйесін 
қарастырғанда  пайдаланылады.  Денелер  біртекті  болған  жағдайда, 
осы  сияқты  формулалармен  көлемнің,  ауданның  және  сызықтың 
ауырлық центрлерінің координаттарын анықтай аламыз.
1  Еғерде  біртекті  дене  көлемді  бөлшектерден  құралған  болса,
онда  көлемді  бөлшектердің  салмақтары  О,, = ү • V, ,  мұнда  ү -   дененің 
барлық белшектеріне тұрақты шама, көлемдік ауырлық күш;  V, -   дене
бөлшектерінің  келемі.  (2.32)  формуласьгадағы  дене  бөлшектерінің 
салмағын  көлемді  бөлшек  салмағымен  алмастырсақ,  көлемнің 
ауырлық цетрінің координаттары анықталады
У
уг х
, 
Ү /
г
У
і
1
  И
____ 
-------- , 
;ІЫ
1
І І ------- І 
(2-33)
хс 
п 
’ 
Щ 
« 
і  
А т,
± У , 
Ү.У, 
Х у,
2
 
Егер 
дене 
жұқа, 
біртекті, 
қалыңдықтары 
бірдей 
пластиналардан 
құралған 
болса, 
пластиналардың 
салмақтары
О 
Ап  мүнда  И —  пластиналардың  қалыңдығы  немесе  ені;  А{ -
пластина  беттерінің  аудандары.  (2.32)  формуласына 
Щ
 
орнына 
/ ' ( • А
і
  қойсақ,  онда  дененің  ауырлық  цетрінің  координаттарын
анықтайтын мына фомулалар туындаиды
1=1
1=1 
»,= І
3 
Егер  дене  көлденең  қимасының  ауданы  тұрақты,  біртекті 
шыбықтардын  қүралған  кеңестіктегі  тор  сияқгы  болса,  онда  кез 
келген  түзу  немесе  қисық  сызықты  бөліктерінің  салмағы 
0^=1
 {  Ч 
тең,  мұнда  ? -   шыбықтардын  ұзындық  бірлігінің  меншікті  салмағы.
Жоғарыда 
келтірілгендей 
(2.32) 
формуласында 
алмастьфулар 
жүргіссек,  нәтижесінде  тор  тәріздес  дененің  ауырлық  центрін
анықтайтын өрнек аламыз
109

Күрделі  дененіц  ауы рлы қ  центрін  аны қтау.  (2.33),  (2.34), 
(2.35)  формулалары  күрделі  дененің  ауырлық  центрін  анықтауга  да 
жарамды. Ол үшін берілген денені аудандарын белгілі формулалармен 
есептеуге  болатын  немесе  арнаулы  кестелерден  алуға  болатық 
құрамдас  бөліктерге  бөліп,  эрбір  бөлігінің  ауырлық  центрлерінің 
координаттарын,  қандайда  бір  көмекші  координаттар  жүйесіне 
қатысты  анықтау  қажет.  Жоғарыда  келтірілген  формулалардағы  У
і9
А
і9
  £,  дененің  сәйкес  бөлшектерінің  көлемі,  немесе  ауданы,  немесе 
ұзындығы деп қарастыру қажет.
Бүл  жерде  мынаған  көңіл  аударған  орынды,  егер  дененің 
құрамдас  бөлігі  ретінде бос  қуыс,  немесе тесік,  немесе  жырық кіретін 
болса,  онда олардың  шамалары теріс таңбамен  алынады  жэне  барлык 
есептеулерде осы шамалар теріс минус таңбамен алынады.

1  Актив күштері мен пассив күштердің айырмашылығы неде?
2 Қатгы дене қандай жағдайларда 
теп е-тен д ік те 
болады?
3 Күштің сырғыма вектор екеніне қалай көз жеткізуге болады?
4 Статикада қандай мәселелер қарастырылады?
5  Аталған алты аксиомадан басқа аксиомалар айта аласыз ба?
6 Байланыстар туралы аксиоманың.«көмегін» қалай түсінесіз?
7 Жіп және стержень реакцияларының айырмашылығы неде?
8  Күштің  координаталар  өсіне  проекциялары  қалай  анықта-
лады? 
, 
.  .
9 Күштің нүктеге қатысты моменті дегеніміз нег
8 Күш моменті қандай жағдайларда нөлге тең?
9 Күш вектор ретінде қалай сипатталады?
10 Күш моментінің бағыты қалай табылады?
11  Екі күш қандай жағдайда тепе-тендікте болады?
12  Параллелограмм  ережесін  түсіндіріп,  тең  әсерлі  күшті
анықтайтын формулаларды жазыңыз?
•
____ ______ _____ _ 
т л л і т і а п   М/1
Қайталауга арналған сұрақтар
күиггі
болады?
күштщ
анықталады?
15 
Күштер 
жиынының 
тепе-теңдік 
шарттары 
қалаи
анықталады?
16 Паоаллель емес үш күштің тепетеңдігі туралы теорема.
жүйесінің  тепетеңдігінщ
лық шарты.
18  Жүп  күпггің
шамалардан тәуелді?
19 Тең әсерлі жұп күш қалаи таоылады с
20  Параллель  күштер  жиыны  қандай  қарапайым  түрлерге
келтіріледі?
^ш  тепе-теңдікте  6ол£ 
тұжырымдама айтуға
2 Жұп күш және жұптың моменті дегеніміз
3 Жұп күштердің тепетеңдік шарты қалай н
4  Күш  моменті  мен  жұп  күш  моментінің
қасиеттері бар?
Кіп 
күшті
  кандай  қарапайым  құраушы
болады?
111

26  Қарапайым  күштер  жиындарының  денеге  жасайтын  әсерін 
анықтайтын шамаларды атаңыз.
27  Күшті 
параллель  орын 
ауыстырғанда 
ол  калай 
түрленеді? 
*  .  <
 
|
28 Бас  веуктор  мен  бас  моменттің  сипаттамаларьш  алып, 
қажетгі  өрнектерді  жазып  крсетіңіз.
29 Тепе-теңдік  шартының  терлері.
30  Күштердің 
дербес  түрлерін 
атап, 
олардың 
тепе  -  
теңдңкте  болу  шарттарын  жазып  көрсетіңіз.
31  Бір  жазықтықта  орналасқан  күштер 
жиынының  тепе -  
теңдік  шарттарының  үш  түрін жазып көрсетіңіз.
32 Статика әдісімен шешілмейтін есептерге мысал келтіріңіз.
33 Еркін емес дене туралы қанлай түсінігіңіз бар?
34 Күштер тепе-теңдігінің шарттары және еркін емес дене тепе- 
теңдіпнің шарттарын қалай ажыратасыз?
35  Қатты  дененің  бір  жазықтықта  орналасқан  күпггер  жиыны
әсеріндеп  тьшьшггық  қалпын  анықтайтын  теңдеулерді  жазып 
көрсетіңіз.
күштер
неде?
аиырмашылығы
күштер орталығы дегеніміз  не? Параллель күштер
анықталады?
орталығының коррдинаталары.
Ауырлық
39 Көлемнің ауырлық орталыгы.
40 Сызықтың ауырлық орталыгы.
41  Ауданның ауырлық орталыгы.
б  іңіз2  АуЫрЛЫҚ  центРді  аньіқтау  тәсілдерін  атап  оларга  түсінік
43  Параллель  күштер  центрі  мен  қатты  дененің  ауырлық 
центршщ айырмашылығы бар ма?
44  Қарапайым  фигуралардың  ауырлық  центрлерін  анықтайтын 
формулапардан мысал келтіріңіз.

Өзіңді-өзіц тексер (тестік тапсырма)
1
$$$  1
Күщті былайша ауыстырғаннан дененің жағдайы өзгермейді  ...
/=А) эсер сызығының бойымен басқа нүктеге; 
өзіне параплель басқа нүктеге,
С) параллель жазықгыққа; 
щ| эсер сызығына перпендикуляр;
Е) әсер жазықтығындағы басқа нүктеге.
$$$ 2  '
Келтірілген анықтамалардың қайсысы теңестірілген күштер жүйесінщ
анықгамасы 
болып келеді? 
.
A) Әсерінен дене тепе-тең қалыпта болатын күпггер жүйесі.
B) Әсерінен дене айналмапы қозғалыс жасайтын күштер жүиесі.
C)  Әсерінен  дене  бірқалыпты  үдемелі  қозғалыс  жасайтын  күштер
жүйесі. 
_ 
.
/ТЛ)Бір күшке парапар күштер жүйесі.
Ч»5Геометриялық қосындысы нолге тең емес күштер жүиесі.
$$$ 3
Дене тепетең қалыпта болу үшін оған әсер ететін екі күш  ...
А) шамалары тең,  өзара параллель және бір жаққа бағытгалган  болуы
керек;
қарама
С)  ш Г а л іы   тең,  озара  параллель  және  қарама  қарсы  бағытгалган 
болуы  керек;
О) шамалары тең және өзара перпендикуляр болуы керек,
ГЕ^ шамалары  тең,  бір  сызықтың  бойында  қарама  қарсы  бағытталган
тешуы  керек.
$$$4
күштермен
болады
күштер
B) бір күшпен;
C) бір жұп күшпен;
Р ) кез келген күштер жүйесімен; 
0 / к е з  келген жазық күштер жүйесімен
113

$$$5
Егер  қатты  денеге  әсер  ететін  кез  келген  бағытта  әсер  ететін  күштер 
жүйесін  дененің  жағдайын  езгертпей  бір  күшпен  айырбастауга
болатын болса, онда мұндай күш ті...
A) тең эсерлі күш деп атайды; 
1
B) жүйенің бас векторы деп атайды;
C) жүйенің бас моменті деп атайды; 
ГЦ| 
Б ) ауырлық күші деп атайды; 
і 
Е) реакция күші деп атайды.
$$$ 6 
Ң
Суретте  көрсетілген  Ғ,  = 3 Н,  Ғ2 = 4 Н  күштерінің тең  әсерлі  К  күші
мынаған тең:
Ғ
А )12;
£ ) 5 ;
Ғ2 
х  о ) 7;
~Ё)  1.
$$$8
Ғ  күшінің  Оу өсіне проекцнясы қалай жазылады?
A)  Ғ зіпбО  ,
B) -  Ғ 8іп60°;
C)  Ғ созбО0; 
Б ) -  Ғ созбО0;
Е ) - Ғ .
0
X
$$$9
Ғ  күшінің  Ох өсіне проекциясы қалай жазылады?
:  С)  Ғ созЗО0; 
Э) -  Ғ созЗО0; 
Е) 
0.
A)  Ғ 8ІпЗО°;
B) -  Ғ зіпЗО0;
о.
114

$
$
$
 
1
0
 
4
Ғ=5 Н күшінің Ох өсіне проекіщясын табыңыз.
^ > 2 ,5 ;
B )  5 л / 3 ;
C ) - 2 , 5  7 3 ;
Р )   - 5 ;
Е) 0.
$$$11
р
=4
 ң  күшінің Оу өсіне прекциясын табыңыз
A)  - 2   ;
B) 4 ;
C) 2 ;
Р ) 2л/з  ;
Х  
£
Ё
)   -
  2 л / 3   -
$$$  12
Қай суретте реакция күиггері дұрыс кәрсетілген
А)
/777
115

$$$  13
Қай суретте реакция күштері дұрыс
О)
$$$
Қай
көрсетілген ?
суретте реакция күпггері дұрыс көрсетілген ?
А)
$$$  15
N
В)
N
С)
О)
Келтірілген
Е)
өрнектед
қайсысы  суреттегі  жазық  күштер 
жүйесінің Ох өсіне проекцияларының 
қосындысының дүрыс жазылуы?
A)  Ғ, зіпЗО0 -  Ғ2  4* Ғ3 8Іп60°;
B ).Ғ| созЗО0  -  Ғ2  + Ғ3 созбО0;
C)  Ғ, сов30° -  Ғ2  -  Ғ3 со860°;
116

[))  ң соз30°  *+* Ғ2 + Ғ3 созбО  ; 
Е)  Ғ,созЗО; - Ғ 2  +Ғ3зіп60°.
дұрыс көрсетілген ?
$$$  16
Қай суретте реакция күиггері
£($ 17
Келтірілген  теңдеулер  жүйесінің  қайсысы  Оху  жазықгыгында жатқан 
тогысатьш  күштер  жүйесінің  тепетеңдігінің  қажет  және  жеткшпсті
шарты болып табылады ?
А) 
=0,  І т А(Ғк) = 0,  І т в(Қ ) = 0; 
к=1 
к=1 
к='
п 
п
В)  £ т А(Ғк) = 0,  І ш в(Ғк) = 0;
к-1 
м
П 
П
к-1
п 
п
ғ
^
і р і
  і а д о ,   Х т о(ғ к ) = ° ;
к*І 
М
п 
Л
Ш
' в   Ш
Ш
 
к=1 
к»1 
к-1
117

Ш   18
**Р
Ғз
Қай  суретте  берілген  тоғысатын  жазық 
күшгер  жүйесінің  тең  әсерлі  Я  купгі  дүрыс
кврсетіпген ?
Е
А)
Ғ,
О)
• т
В)
Е)
С)
Ш   19
ТН  еР«ектерд»Ң  қайсысы  суретгегі  жазық  гүштер  жүйесінің 
проекцияларының қосындысының дүрыс 
жазылуы?
A) Ғ| соз45  ♦ Ғ|  -  Ғ,  + Ғ4 соз60’;
B)  Ғ, со*45* -  Ғ, -  Ғ4 со86 0 ';
C)  Ғ,яіп45’ + Ғг  - Ғ 48І
п
60“;
Ғ| сов45  +Ғ. + Ғ, соабО*:
Е)  Ғ ,ип45'
60
III

$$$ 20
• 
•
күштер
• 
•
— I ---------- 
.\ц
  *  '   * 
* -  
__  - 
,-г
Оу өсіне проекцияларьшың қосындысының дұрыс
A)  Ғ, соз 45° + Ғ2 -  Ғ3 + Ғ4 со8 60°;
B)  Ғ, соз45° -  Ғ3  -  Ғ4 созбО";
C)  Ғ, зіп 45°  + Ғ2 -  Ғ4 зіп 60°;
Щ  Ғ, соз 45°  + Ғ3 + Ғ4 соз 60°;
Е)  Ғ, зіп45°  -  Ғ3 -  Ғ4 зіп60°.
$$$21
жүйесінің
Ох
A)  Ғ, + Ғ2 соз 60°  -  Ғ3 + Ғ4 соз 60°;
B)  Ғ,  + Ғ2 соз 60°  + Ғ3  -  Ғ4 соз 60°;
C)  1 Ғ2 зіп 60°  1 Ғ4 зіп 60°;
0 ) Ғ , - Ғ 3;
Е)  Ғ, зіп45° - Ғ 3 - Ғ 4зіп 6 0 \
$$$ 22
суреттегі  жазық  күпггер  жүиесінің 
гысының дұрыс жазылуы?
A)  Ғ,  + Ғ2 соз60° -  Ғ3 + Ғ4 созбО';
B)  Ғ, + Ғ2 ёоз 60° + Ғ3 1 Ғ 4 соз 60°;
C)  1 Ғ2 зіп 60°  + Ғ4 зіп 60°;
И)  Ғ4 - Ғ 2;
Е)  Ғ, зіп45°  -  Ғ3 -  Ғ4 зіп 60°.
119

$$$ 23
Қай суретте келтірілген күштер жұп күш болып табылады?
Е)
Ғ
ғ
$$$ 24 
1 
Жұп күштер деп нені айтамыз ?
A)  Модулдері  тең,  бір  сызық  бойында  қарама  қарсы  бағытгалған 
қүпггерді. 
3
B) Модулдері тең, өзара параллель және қарама қарсы бағытгалған екі 
күшті.
C) Модулдері тең, өзара перпендикуляр бағытталған екі күшті.
О) Модулдері тең және бір нүктеге әсер ететін екі күпггі.
Е)  Модулдері  тең,  өзара  параллель  және  бір  бағытта  әсер  ететін  екі 
күшті.
$$$ 25 
]|
Егер денеге жүп күнггер эсер етсе, онда дене  ...
A) тепетең қальшта болады;
B) айналмалы қозғалыста болады;
C) ілгері қозғалыс жасайды;
О) бірқалыпты өзгермелі қозғалыста болады;
Е) бірқалыпты қозғалыста болады.
$$$ 26
Е
0  
Суретте  келтірілген  кесіңділердің  қайсысы
Ғ  күшінің О нүктесіне қатысты иіні  болып 
табылады?
В
A )О Е
B) ОА
C)ОВ 
Б ) 0 0  
Е) ОС.
120

С у р т е   келтірілген  кесінділердің  кайсысы  сурет  жазықтыгында 
жатқан  (1», Ғ')  жұп күштің иіні болып табылады?
A) СЭ;
B) ВЕ;
C) АЕ;
Е ) АВ;
Е) ВС.
Ғ  күшінің  0   нүктесіне  қатысты  иіні  деп 
нені айтамыз?
/ ® 0   нүктесімен  Ғ  күшінің  әсер  сызығы  арасындагы  ең  жақьш
аралықты; 
.
B) О нүктесін  Ғ  күшінің векторының басымен қосатын түзуді,
C) О нүктесін  Ғ  күшінің векторыньщ аяғымен қосатын түзуда;
Э)  Ғ  күшінің векторының үзындығын;
Е) О нүктесін  Ғ  күшінің ортасымен қосатын түзуді.
$$$ 29
(Ғ, Ғг)  жүп күшінің иіні деп нені айтамыз?
Ғ
күштерінің векторларының бастарын қосатын түзуді 
күштерінің векторларының соңдарын қосатын түзуді 
күштерінің әсер сызықгарының арасындағы ең жақы
аралықты;
$$$ 28
121

О)  Ғ  күшінің  векторының  басын  Ғ'  күшінің  векторының  аягымен 
қосатын  түзуді; 
Щ
Е)  Ғ  және  Ғ'  күштерінің векторларының орталарын қосатын түзуді.
$$$ 30 
Щ
Күшті  орын ауыстыру туралы леммага сәйкес күшті  орын ауыстырган 
кезде оған мынадай күштер қосылу керек:
A) теңескен күштер жүйесі; 
;І
B) кезкелген күштер жүйесі; 
|
C) күштер жүбы; 
|  'М
Ь )б іркүш ; 
' - щ И  
Е) тоғысатын күштер жүйесі.
$$$31
етепн
кезкелген  күштер  жүйесін  берілген  О  орталығына  келтірген  кезде 
мынадай күштермен айырбастауға болады:
A) екі күшпен; 
- І
B) бір күшпен және бір күштер жүбымен;
C) бір күшпен;
күштер
жүиесімен
$$$32 
' 
' 
' 
Ш
Ғ  күшінің  О  нүктесіне  қатысты  моментінің  алгебралық  шамасын 
қандай өрнек анықтайды?
A)  Ғ - һ ;  В)  ± £ ;
і
€ )   ± Ғ - Һ ;   О)  ± —;  Е)Ғ + Һ.
П 
Ғ
$$$ зз
Кезкелген  жазық  күштер  жүйесінің  тепетеңдігінің  қажет  және 
жеткілікті шарты қандай теңдеулермен жазылады?
Е т АФк) = 
0
; 
I
М 
М 
Г іМ
B ) І ш А(Ғк) = 0,  Х т В(Ғк) = 0;
-• 
к=І 
"
C)  I X   =0,  І Ғ ^ = 0 ;  
Ц
 
к=1 
к=1
122

■ЩІ Ғюі - О,   I  Ғку=0,  І ш о (Ғк) = 0;
Ы 
V
 
Ы 
к=І
Е)Щ
ЙД НШ Вйні 
к=1 
к=1 
к=1
т
 
•
$$$ 34
Келтірілген  теңдеулер  жүйесінщ  қаисысы  «=****.«*  —
-м----
жүйесінің  тепетеңдігінің  қажет  жэне  жеткілікті  шарты  больш
табылады?
Д)  у Ғкх  =0,  I  ш А (Ғк) = 0  (Ох өсі А нүктесі арқылы өтпейді)
к=1 
Щ
В) 
Іп>вА) = 0.  І т с(Ғк) = 
0  (А, В, С нүкгелері бір
к=І 
N  
к=1
түзу бойында жатпайды)
с ) І ғ й =о,  І ғ и =о
Ші 
к=1
О) У ғ  =0,  X т  
А 
(Ғк) = 0 (°У өсі А иүк'1'60* арфы*1 
й  
к=1
Я
І
 
8 1
, §  
1
к=і 
В
Келтірілген теңдеулердің қайсысы кезкелген жазық күштер жүйесінің 
тепетеңдігінің қажет және жеткілікті шарты болып табьшады.
A)  £ Ғкх = 0,  2  шд (Ғк ) = 0  (Ох өсі А нүктесі арқылы өтпейді) 
к=І 
к=1
B)  у ғ   _ о ,  ] Г т в(Ғк) = 0  (Оу өсі В нүкгесі арқылы өтпейді) 
к=І 
к=І
Р І Ғ ь ^ о ,   і ғ ^ о  
к=І 
к=1
0)  І Ғ „ = 0 ,  І ш д(Ғ,) = 0,  І т в(Ғ„) = 0  (АВ  түзуі 
к-1 
к=1 
Р
перпендикуляр емес)
I 
Е) 
І ғ ь = 0,  І ғ ^ - 0 ,  І И . . 0
і 
Ы  
к-1 
к=1
х  өсіне
123

Қабыргалары а=0,4 м,  Ъ=0,3  м  тікбұрышты пластинаның А  нүктесіне
Ғ=10 Н күші  эсер  етеді.  Осы  күштің В  нүктесіне қатысты  мом ентінің 
алгебралық шамасын табыңыз. 
I
А ) -  4; 
I
Д З ;  
I
V Ш  4;
Ц ) - 3 ;
 
1
Е)  5. 
ъ т
 
-  -  Ц И
$$$ 36 
я
$$$37
Қабыргасының  үзындығы  а—0,2  м  квадрат  пластинанаң  А  төбесіне 
Ғ=150 Н күші  әсер етеді.  Осы күштің В нүктесіне қатысты моментінің 
алгебралық шамасын табыңыз.
А
A)  -15-У2;
B) 
1 5 л /2 ;
C)  30;
О)  - 3 0 ;
Е)
0
;
$$$38
моментішң
Денеге Ғ -2 Н күші әсер етеді. Егер шеңбердің радиусы г=2 м болса, ал
ВІЭ—1,5  м  болса  осы  күштің  А  нүктесіне  қатысты 
алгебралық шамасы неге тең ?
A)  - 7 ;
B ) -1 1 ;
C) 
11;
О)  4;
Е ) - 4 ;
$$$ 39
Дөңгелек дискінің А нүктесінде Ғ=40 Н күші  әсер етеді. Егер дискінің
радиусы  К=0,5м  болса,  онда  осы  күштің  О  нүктесіне  қатысты 
моментінің алгебралық шамасы неге тең ?
124

о
$$$ 40
үшбұрыштың
күштің
моментінің алгееебралық шамасы неге тең?
А
В
A)  2;
B)  -  2^3;
C)  - 2 ;
О )  л/3;
Е) 
2л/3,
$$$41
жазықтықта
О С р і и л о л  
>—  
- г —
 
. 
___  п _ г ] г
топса арқылы бекітілген. Егер  а  1 45°  және стерженнің сшімағы Р  5Н 
болса  стержен  тепетең  қалыпта  болу  үшін  горизонтал  багытга  әсер
ететін  Ғ  күшінің модулі неге тең болуы керек ?
А'1  2 .5 л /2 ;
А
В)
2,5 л/2
2
1181
Э) 2,5;
Е)
5
7 2
125

$ $ $   42 
Щ
Егер  Ғ,  = ЗН ,  және  О А ^ О В ^   м  болса,  суретте  келтірілген  жүйе 
тепетең қалыпта болу үшін  Ғ2  күші неге тең болуы керек ?

жүктеу/скачать 14,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: