анықтаймыз? 38  Үдеулердің лездік центрінің анықтамасы қалай айтылады?

Ө з ің д і-ө з ің  т е к с е р  ( т е с т ік  т а п с ы р м а )
$$$ 
1
 
н
Нүктенің  қозғалысы  векторлық  тәсілмен  берілсе  оның  жылдамдыгы 
қандай өрнекпен анықталады?
А)  У; 
В)  т2; 
С) 
В)т   т; 
Е)  г . 
Щ
$$$ 2 
: Д |
Нүктенің  қозғалысы  векторлық  тәсілмен  берілсе  оның  үдеуі  қандай 
өрнекпен анықталады?
Ц
А)  ?; 
В)  г 2; 
С ) ^ ;  
0 ) г - г ;  
Е)  ?,
шт
$ $ $ з 
■ ||
Нүктенің 
қозғалысы 
координаталық 
тәсілмен 
берілсе 
оның 
жылдамдығының модулі қандай өрнекпен анықталады?
А) 
1 1 1 Щ  ; 
В)  ,1ух2  + V 2  + V2  ; 
С)  \ \ х 2 + у \  + г 2  ;
Я   л1У*  +У
у
+ Ж  > 
Е)  Ух + Ү у +Уг . 
|
$$$4 
;- Я
Нүктенің  қозгалысы  координаталық  тэсілмен  берілсе  оның  үдеуінің 
модулі қандай өрнекпен анықталады?
А) Щ  + 
Щ
 
|  
I I  
; 
В)  ^ У 2  + V 2  + V 2  ; 
С)  лІх2 + у 2 + г 2  ;
11 ЩЯ
у + а 2  ; 
Е) а х + а у + а . .
$$$5 
‘
Нүктенің  қозғалысы  табиғи  тәсілмен  берілсе  оның  нормалды  үдеуі 
қандай врнекпен анықталады?
А> Т І  
С)  V 2  -р; 
Ц ) ^ - ;  
Е)  — .
Р 
V
Р 
Р
52

$$$6 
. 
Нүктенің  қозғалысы табиғи тәсілмен берілсе оның толық үдеуі  қандаи
әрнекпен анықталады?
А)  л/аг + а„  ; 
В)  ^
 + а*  ; 
С)  \}а,  - а \  ;  I?) 
; 
Е)  - і .
$$$7
Нүктенің жанама үдеуі нені сипатгайды?
A) Жылдамдықтың шамасының езгеруін
B) Жылдамдықтың бағытының өзгеруін
C) Нүктенің үдеуінің толық векторының өзгеруін
Ц) Нүктенің траекториясының қисықтық радиусының өзгеруін 
Е) Нүктенің толық үдеуінің шамасының өзгеруін
$$$8
Нүктенің нормалды үдеуі нені сипаттайды?
A) Жылдамдықтың шамасының өзгеруін
B) Жылдамдықтың бағытының өзгеруін
C) Нүктенің үдеуінің толық векторының өзгеруін
О) Нүктенің траекториясының қисықтық радиусының өзгеруін 
Е) Нүктенің толық үдеуінің шамасының өзгеруін
$$$9
Нүктенің қандай қозгалысында оның нормапды үдеуі нөлге тең?
A) Қисықсыэықты бірқалыпты
B) Қисықсызықты бірқалыпты үдеулі
C) Шеңбер бойымен қозгалғанда 
Б) Тіксызықгы қозғалыс кезінде
Е) Қисықсызықгы бірқалыпты тежеулі
$$$  10
Егер  нүкте  тіксызықты  бірқалыпты  үдеулі  қозғалыста  болса,  онда 
оның қандай үдеуі нолге тең?
А) жанама;  В)толық;  С) нормалды;  Э) кориолистік;  Е)тасымал.
$$$  11
Нүктенің  жылдамдыгының  шамасы  тұрақты  болып  қалатын  қозғалыс 
қалай аталады?
А) бірқалыпты үдеулі; 
В) бірқалыпты; 
С) бірқалыпты тежеулі;
тіксызықгы үдеулі;  Е) қисықсызықты үдеулі
53

Нүктенін  жанама  қозгалысы  түрақты  болатын  козғалысты  кяпай 
атайды? 
».=.
А) Бірқалыпты айнымалы; 
В) Ьіркалыпты; 
С) Үдемелі;
Э) Тікбагытты бірқалыпты; 
Е) Тежемелі
$$$13
Қандай қозғалыс кезінде нүктенің толық үдеуі  нөлге тең?
А) Қисықсызықты бірқалыпты; 
В) Түрақты үдемелі;
С) Түрақтытежемелі; 
Б ) Шеңбер бойымен қозғалыс;
Е) Тік бағытты біркалыпты
$$$  14 
Я
Қандай қозғалыс кезінде нүктенің жанама үдеуі  нөлге тең?
A) Бірқалыпты; 
Щ
B) Бірқалыпты үдемелі тік бағытты;
C) Бірқалыпты тежемелі тік бағытты
Э) Бірқалыпты үдемелі  қисық 
|
Е) Бірқалыпты тежемелі қисық
$$$15
Нүктенің  бірқалыпты  айнымалы  қозғалысының  заңын  кай  өрнек
анықтайды? 
, 
'Я
А)  (т = У- ( \  
В)  сг = Ғ0? + ат у ;  
С)  а  = У0 + а т— ; 
|
V)  сг = а гі ; 
Е)  а  — У0і  + а ті2. 
I
$$$16 
. 
Щ
Нүктенің  қозғалыс  заңы  5  = 0,5!2 + 4I  теңдеуі  арқылы  берідген. 
Уақьгпъщ қандай мәнінде нүктенің жылдамдығы  10 см/с болады?
А) 4; 
В) 0,5; 
С )6; 
ІЭ)5; 
Е) 7. 
|
$$$17 
■-  ' Ш
Нүктенің қозғалыс заңы  5  = 2 і2 
+ 1
  теңдеуі арқылы берілген. Қозғалыс
басталғаннан  кейін  2  секунда  өткен  кезде  нүктенің  жылдамдығы  неге 
тең?
$$$  12
А)  10; 
В) 3; 
С) 8; 
1 ) 9 ;  
Е )4 . 
І
54

Нүктенің  қисық  траектория  бойымен  қозғалысы  5  = 5?  м  заңымен 
берілген. 
Нүктенің 
нормалды 
үдеуі 
5 
м/с2 
болған 
сәттегі
траекторияның қисықтық радиусын анықтаңыз.
А) 0; 
В) 5;\ 
С) 25; 
0 ) 1 ;  
Е)  10.
$$$  19 
_  
—
Е г е р   а т  — <У> 0  
болса,  қай  суретте  жанама 
а т 
және  нормалды 
а п 
үдеулердің векторларының бағытгары дүрыс көрсетілген?
А) 
В)
$$$  18
$$$20
Нүкте  радиусы  К=5м  шеңбер  бойымен  8 = 101+ 5м  заңдылыгымен 
жылжиды. Нүктенің нормалды үдеуін анықтаңыз.
А) 2; 
В) 3; 
С) 500; 
0 )2 0 ; 
Е )2,5.
$$$ 21
Нүкте  қисық  сызық  бойымен  түрақты 
20м/с  жылдамдықпен 
қозгалады.  Нүктенің  нормалды  үдеуі  ап  =10м /с  болатын  уақыт  үшін
траекторияның қисықтығыньщ радиусын анықтаңыз.
А) 40; 
В) 2; 
С )200; 
0 )4 0 0 0 ; 
Е )0,5.
55

Нүктенің  қозғалыс  заңы  х = 3 і2(м),  у = 4 і 2(м)  теңдеуі  арқылы 
берілген.  Уақыт 1=1 с  болғанда нүктенің жылдамдығы неге тең?
$$$ 22 
; 
ъ Ж
А) 3;
В) 4;
С) 7;
0 ) 5 ;
Е)  10.
$$$
2
з 
- : '||
Егер  ат  = ст < 0  болса,  қай  суретте  жанама  ат
  және  нормалды  а 
үдеулердің векторларының бағыттары дұрыс көрсетілген?
А)
П
В)
С) 
а.
Е)
а п
О)
а п
$$$24 
Й
Нүктенің  қозғалысы 
х = соз(л^),  у = 8Іп(7й) 
теңдеулері  арқылы
берілген.  Уақыт і=1с  болғанда  нүктенің жылдамдығының  модулі  неге 
тең болады?
А)  п2;
В)
п
2
С)
71
2
Е)
УЗтс
~ 2 ~
56

Нүктенің  қозғалыс  заңы 
х = 0,01/3,  у  = 9і 
теңдеулері  арқылы 
берілген. 
Уақыттың 
1=20с 
сәтіндегі 
нүктенің 
жылдамдыгын 
анықгаңыз.
А) 21; 
В)  2; 
С)  12; 
Б )  15; 
Е)  10.
$$$26 
\  
_  
_  
Егер  аг = в > 0  болса,  кай  суретте  жанама  ат
  және  нормалды  ап
үдеулердің векторларының бағыттары дұрыс көрсетілген?
А) 
В)
$$$ 25
$$$27
Нүктенің  қозғалыс  заңы  х = 0,3і2,  у = 0,113  теңдеулері  арқылы
берілген.  Уақыттың 1=2с  сәтіндегі  нүктенің жылдамдығының  модулін 
анықтаңыз.
А)  1,2; 
В)1,2>/2; 
С)21; 
0 )9 ,0 3 ; 
Е)  9,6.
57

Нүктенің  қозгалыс  заңы  х = I3,  у = 41  теңдеулері  арқылы  берілген.
Уақыттың 
1=1 с 
сәтіндегі 
нүктенің 
жылдамдыгының 
модулін 
анықтаңыз.
А) 3; 
В) 4; 
С)  7; 
Б ) 5; 
Е)  10.
$$$ 29 
■ ■
 | Я
Егер  ат
  = О < 0  болса,  қай  суретте  нүктенің  жанама  а т  және
нормалды 
ап 
үдеулерінің 
векторларының 
бағыттары 
дүрыс 
көрсетілген?
$$$ 28 
:Ц
$$$30 
; ; 1
Нүктенің  қозгалыс  заңы  х = З і2(м),  у = 4{2(м)  теңдеулері  арқылы
берілген.  Уақыттың і=1с сәтіндегі нүктенің жылдамдыгын табыңыз.
А) 3; 
В) 4; 
С) 7; 
0 ) 5 ;  
Е)  10.
А)
В
С)
Е)

$$$ 31 к 
V 
г
Нүктенің  қозгалыс  заңы  х = соз(л?),  >» = зіп(л?)  теңдеулері  арқылы 
берілген.  Уақыттың  Г=1с  сәтіндегі  нүктенің  үдеуінің  модулін
анықтаңыз.
А)  п2; 
В) Ш  
С ) ^ ;  
О)  п ; 
| Ж
2 
^ 
^
$$$ 32
Нүктенің  қозғалысы  х = 0.01і3, у  = 10г  теңдеулері  арқылы  берілген.
Уақыт 1=20с болғанда нүктенің үдеуі неге тең болады?
А) 0,12; 
В) 0,2; 
С)  1,2; 
Б )  15,62; 
Е)  10,02.
$$$ 33
Нүктенің  қозгалысы  х = 0,3г2,  у  = 0,1і3  теңдеулері  арқылы  берілген. 
Уақыт 1=2с болғанда нүктенің үдеуінің модулі  неге тең болады?
А)  1,2; 
в )7 іІ8 ; 
с ) л / М 5 ;   о ) Д б ;  
Е)  I  
$$$ 34
Қозғалыстагы 
нүктенің 
жылдамдыгының 
кордината 
өстеріне
проекциялары  Үх  = Зі2( мІс) ,   Үу = Лі2( м / с ) .  Уақыт  1=1 с  болғанда
нүктенің үдеуі неге тең?
А)  12; 
В) 8; 
С)  10; 
Э)  1; 
Е)7.
$$$ 35
Келтірілген 
өрнектердің 
қайсысы 
қатты 
дененің 
бірқальптты
айналысының заңын көрсетеді?
А)  ф = а>0* + 812» 
В ) ф  = югі ;  
С ) ф  = егі;
$$$36
Келтірілген  өрнектердің  қайсысы  қатты  дененің  біркелкі  айнымалы 
айналуының заңын  көрсетеді?
Е)  ф = <о01 + е
2
В)  ф і Щ ; 
С)  ф = е гі;
Е )   ф   =   со0 і   + е
2
59

Егер  айналатын  қатты  дененің  айнапу  өсіне  дейінгі  ең  жақын 
қашықтық һ болса,  онда оның толық үдеуінің модулі  қандай өрнекпен 
анықталады? 
‘
А )һ(е + (о2); 
В)  һл/е2 +оо4  ; 
С)  һл/е + ю2  ; 
Щ 
Щ  Һ(е2 +сэ4); 
Е)  һл/е2  + ю 2 . 
Щ
$$$ 38 
М
Егер  айналатын  қатты  дененің  айналу  өсіне  дейінгі  ең  жақын 
қашықтығы  һ  болса,  онда  оның  ортаға  ұмтылғыш  үдеуі  қандай 
өрнекпен анықталады? 
я
А ) е - Һ ;  
В)а>2 -Һ; 
С ) ю - һ ;  
0 ) е 2 -һ; 
Е) л/ ш- һ.
$$$ 39 
' 
■
Егер  айналатын  қатты  дененің  айналу  өсіне  дейінгі  ең  жақын 
қашықтығы  һ  болса,  онда  оның  жылдамдығының  шамасы  қандай 
өрнекпен анықталады? 
-• 
й
А ) е - Һ ;  
В)<х>2 -Һ; 
С ) ю- Һ;  
0 ) е 2 *һ; 
Е)-\/ш-һ.
$ $ $ 40
Егер  айналатын  қатты  дененің  айналу  өсіне  дейінгі  ең  жақын 
қашықтығы  һ  болса,  онда  оның  айналмалы  үдеуі  қандай  өрнекпен
анықталады? 
і-Щ
А)  8• һ ; 
В ) ю 2  һ; 
С ) ш - һ ;  
В ) е 2  һ; 
Е ) Т ю - һ .
$$$41 
'гТ|Я
Дененің  қозғалмайтын  өсі  маңайында  айналуы  ф = 3 і 2  теңдеуімен
берілген.  Уақыт  1=1с  болғанда  дененің  бұрыштық  жылдамдығы  неге 
тең болады? 
.  1
А) 4; 
В) 6; 
С) 3; 
Б ) 2 ;  
Е)  І. 
|  
$$$42
Нүкте  мына  г = і 2і + 2і] + 3£  векторлық  теқцеуге  сәйкес  қозғалады, 
нүктенің і=2с уақыт сэтіндегі жылдамдығы  неге тең?
А )4; 
В) 5; 
С) 4,47; 
0 ) 1 1 ;  
Е)  7,8.
$$$37
60

Қозғалысы  параметрлік  теңдеумен  берілген  нүктенің  траекториясын
Гх = 5 
(
аныктаңыз.  1
[у = (2 - 100
А)түзу; 
В)парабола; 
С)шеңбер;
Ә) эллипс; 
Е) гипербола;
$$$44 
2
Егер  нүктенің  координат  өстеріндегі  проекциялары  Щ = 3(,  оу = 2(  ,
и  = і ъ  болса,  нүктенің  1=1с  уақыт  сәтіндегі  толык  үдеуі  неге  тең 
* 
.
болады?
А)  л / І 4 ; 
В) 6; 
С) 5,83; 
0 ) ^ 1 0 ;  
Е )7,2.
$$$45 
.
.
.
 
2
М  нүктесінің  толық  үдеуінің  модулі  а = 2 м / с   тең 
болса, оның жанама үдеуі неге тең?
А)  >/3; 
В)  1; 
С) 0; 
0)1,5; 
Е)2.
$$$ 43
$$$46
Нүктенің нормаль үдеуі нені сипаттайды?
A) жылдамдық шамасының өзгеруін;
B) жанама үдеу бағытын өзгеруін;
C) нормаль үдеу шамасын өзгеруін;
О) жылдамдық векторының багытының өзгеруін;
Е) жанама үдеуі шамасының өзгеруін
$$$47
А 
нүктесінің 
жылдамдық 
векторы 
қалай 
багытталады?
А)1; 
В) 2; 
С)3;
Р )  4; 
Е) 5.
61
\
\
\

$$$ 48
А  нүктесінің  нормаль  үдеуінің  дүрыс  бағытын
көрсепңіз.
А)1;
0)4;
В) 2;
Е) 5.
С) 3;
1
$$$ 49
А 
нүктесінің 
жанама 
үдеуінің 
багытын
көрсетщіз.
А)  1;
0)4;
В) 2;
Е) 5.
С )3;
$$$ 50
қозғалатын  дененің  қозғалыс  теңдеуі  <р = е
'2
 (рад)  болса,
А )е4;
В) 4е4;
іінгі бүрыштық үдеуі
С) е; 
О) Д
Е)2е.
$$$51
бүрыштық жылдамі
қегі бүрыштық
А) е4;
й) = 
1
п і  болса, оның і=3с уақыт
$$$ 52
В) 4е  ;
С) е;
О) е  ;
Е )2е.
I
Егер  Я  1м,  о) — Зс 
болса,  А  нүктесінің
үдеуі неге тең болады?
нормаль
А) 
9 7 2 ;
В)
3
л / 2 '
С)
9
7 2 ’
О) 9;
62

$$$ 53
Егер  К=1м,  ео = Зс  ',  
8
 = 2с  '  болса,  А  нүктесінің 
нормаль үдеуі неге тең болады?
-1
А )3;
В) 9;
С)  9л/2;
Э)  2 л /2 ;;
Е ) З
уі
2 ;
$$$ 54
Егер К=1м,  иА = %м!с  болса, А нүктесінің нормаль 
үдеуі неге тең болады?
А)
8
т
В) 8;
8л/2
0)2;
Е)4
$$$ 55 
2
Нүктенің  толық  үдеуі  а = 5  м/с2,  нормаль  үдеуі  ап  = 4  м/с  болса,
жанама үдеуі неге тең болады?
А) 9;
В)  1;
С) 3;
ІІ  | Ё |
Е) 8.
$$$ 56
радиусы  К=1м
болса, оның жылдамдыгы неге тең болады?
А)  16;
В) 8;
С) 32;
1
)
2
;
Е) 4
$$$57
Нүкте  шеңбердің  бойымен  &=71^^5,  заңына  сәйкес  қозгалса,  оның
жанама үдеуі неге тең болады?
А)  12;
В) 2;
С) 9;
0 )1 4 ;
Е)  18;
$$$58
Егеор  нүкте  түзудің  бойымен  8=(18і+е)  (см)  заңына  сэйкес  қозгалса 
оның қозгалысы қалай деп аталады?
А) үдемелі;
В) кемімелі;
С) бірқалыпты үдемелі;
£)) бірқалыпты;
Е) бірқалыпты кемімел».
63

(ененің жазық-параллель қозғалысының теңдеулерін көрсетіңіз
$$$ 59
А)
т
уА 
= 
у
(0;
 
в) 
= *(
0
;
<р =
Б )  -I 
у
 = 
у/(і);
Ө
 = 
0(0;
■ Н  *(0; 
<р = <р(і);
I// = » * ) ;
Е)
Ул
  і  ЯО;
С) 
<
р
  =  
<р(0; 
Ө
 = 0(0;
ГУ
5 =х^);
Ул
  = 
ЯО;
<р = ©(/);
$$$ 60 
|
Айнапмалы 
қозгалыстағы 
дененің 
бұрыттық 
жылдамдық векторы  қалай бағытталады?
А)1; 
В) 2; 
С )3;
В) 4; 
Е) 5; 
I
$$$61
<оОА  = 2с  1; О/і = 0,1 м\ АВ = 
З
а
<. 
АВ
серженінің  бұрыштық  жылдамдығын 
анықтаңыз.
А) 0; 
В) 0,2; 
С) 20;
О) 2; 
Е) 6;
64

Үв  = 1 0 м / с \   А В  =  2м.
 
А
нүктесінің 
жылдамдығын
анықтаңыз.
А) 2; 
В) 20; 
С)  10^3;
О)  і »  ; 
Е) 10;
д  
— 
нүктесінің 
жылдамдығы 
қалай 
бағытталған?
А)1; 
В) 2; 
С )3;
Б ) 4; 
Е) 5.
М нүктесінің кориолис үдеуі бағытталган:
А.  1:  В. 2;  С.  3;  Э. 4;  Е. 5;
1
ии
777
5 Г  = ОМ = 2Ш (см) 
М  нүктесінің
салыстырмалы
бағытталган:
жылдамдығы
А)  I;
В) 2;
С) 3;
Ш  4;
Е) 5;
65

2 тарау. К И Н Е Т И К А
Кииетиканың  негізгі ұғымдары  мен  заңдары. Кинет ика деп, 
заттық  дененің  (заттық  нүкте,  жүйелер  мен  қатты  денелердің),  оған 
эсер  ететін  күштерді  ескере  отырып,  тепе-теңдігі  мен  қозғалысын 
зерттейтін теориалық механиканың бөлімін атайды.
Кинетиканың,  жоғарыда  аитьшған  денелердің  тепе-теңдігін,
сонымен  қатар  оларға  әсер  ететін  бір  күштер  жиынын  басқа
эквивалентті  жүйемен  алмастыруды  қарастыратын,  бөлімін  статика 
деп атайды. 
, .
Статика  деғен  сөз  (грек  тілінде  -зіайке)  бір  орында  түру, 
қозғалмау,  тыныштықта  болу  дегенді  білдіреді.  Басқаша  айтқанда 
статика  негізінен  екі  мәселемен  айналысады,'  біріншісі  —  заттық 
объектілерге  әсер  ететін  күштер  жиынын  қарапайым  түрге  келтіру; 
екіншісі  -   затгық  объектілерге  әсер  ететін  күштер  жиынының  тепе- 
теңдік  шарттарын  тағайындау.  Жоғарыда  айтылғанға  байланысты 
статиканы қысқаша күштер турапы гылым деп те атайды.
Заттық  нүктенің,  заттық  нүктелер  жүйесінің,  қатгы  денелердің 
механикалық  қозғапысын,  осы  қозғалушы  денелерге  әсер  етуші 
күштерге  байланыстьфа,  зертгейтін  ілімді  динамика  деп  атайды. 
Сонымен, кинетика екі — статика жэне динамика - бөлімнен түрады.
Өмірде  кездесетін  нақты  денелер  көптеген  қасиеттерімен 
сонымен  қатар  пішінімен,  өлшемімен,  заттарымен  (материалымен) 
жэне  массасымен  ерекшеліктенеді.  Теориялық  механикада  табиғатга 
кездесетін нақты денелер емес, олардың идеал қасиеттерімен  бөлінген
абстракт түрлері  (модульдері) -  заттық нүкте,  заттық нүктелер жүйесі 
және абсолют қатты дене қарастырылады.
1 
тарауда  заттық  нүктенің,  заттық  нүктелер  жүйесінің,  абсолют 
қатты дененің анықтамалары берілген болатын.
Табиғаттағы  заттық  денелер  әрдайым  өзара  немесе  қоршаған 
ортамен әсерде болады.
Күш  деп  денелердің  өзара  механикалық  әсерлерінің  өлшемін 
атайды.  Күнделікті  тұрмыста,  техника  саласында  күштің  денеге  эсері 
оның  шамасы  (модулі),  бағыты  жэне  түсу  нүктесі  арқылы  анықтала-
тынын  көреміз.  Бүдан  күшті  векморлық  шама  деп  қарастыруга 
болатындыгы шығады.
Физикадан  белгілідей  күш  шамасы  динамометрдің  жәрдемімен 
өлшенетін салмақ арқылы анықталады. 
1
2.1  Кинетикаға кіріспе
66

Механикада  күштің  өлшем  бірлігі  ретінде  физикалық  шамалар- 
дың өлшеу бірліктерінің халықаралық системасынада  (Си)  1  Ньютон
алынады, 
2
Ньютон  массасы  1  кг  денег  күш  эсері  багытында  Ім/с  үдеу
беретін  күш  аталады.  Ньютонның  еселік  бірліктері  -   килоньютон
ІкН =  103Н) жэне меганьютон 
(ІМН
Күштің
кез
келген
2.1  - сурет
вектор 
сияқты 
багытталған 
кесіндімен  бейнелеуге болады. 
Вектор  Ғ  -  тың  АВ  кесінді 
үзындыгы  (2.1-  сурет)  белгілі 
бір  масштабта  алынган  сан 
мәнін (модулін) бейнелейді,  ал 
оның  багыты  күштің  әсер  ету 
бағытына 
вектордың
дәл
бас
келеді. 
Ол 
нүктесі 
А
ететін
күшпң  денеге  әсер
нүктесіне  сәйкес  болады.  Дененің  күш  әсер  етіп  түрган  А  нүктесі 
күшшің  шүсу  нүктесі деп,  ал  бойымен  Ғ   күш  векторы  бағытталған
т —
 п  сызығын күштің эсер ету сызыгы деп атайды.
Қатты  денеге  бір  мезетте  бір  гана  емес,  бірнеше  күш  эсер  етуі
мүмкін (2.2 -  сурет). Оларды  Ғх,Ғ
2
,...,Ғ п  деп белгілейік.
Қандай  да  бір  денеге  бір  мезгіл  де  әсер  ететін  күштер  жиынын
күштер жүйёсі деп атайды
Күштер  жүйесі  дөңгелек  жақшалар  ішінде
алынған  күш
векторларымен белгіленеді.  Мысалы:  (/^, 
,/%,)  -  п  күигген
түратын күштер жүйесі.
Денені ң 
механикалық 
күйін  өзгертпей  эсер  етуші 
күштер 
жүйесін 
тепе—
 
теңдіктегі  күштер  жүйесі 
деп  немесе  нөлге  эквиваленті 
(пара-пар) 
күштер 
жүйесі 
деп атайды.
2.2 - сурет
Денеге  бірдей  механиалық  эсер  етүші  эртүрлі  күш  жиындары
жу
67

Егер  \Ғ\,Ғ
2
і ...,Ғ„)  және  {Р\,Р
2
,...,Р к)  екі  күштер  жүйесі  болса, 
онда бұл анықтама былай жазылады
Эквивалент екі күштер жүйесінің қандай да болмасын бір денеге
әсерлері  бірдей  болғандықтан,  олардың  біреуін  екіншісінен  алмасты- 
руға болады.
Қатгы  денеге  түсірілген  (Ғи Ғ
2
,...,Ғ п)  күштер  жүйесі  бір  К
күшке  эквивалент  болса,  онда  ол  күшті  берілген  күштер  жүйесінің 
шең әсерлі күш і деп атайды
Берілген  күштер  жүйесінің  теңестіруші  күші  осы  жүйенің 
теңгеруші куш і деп аталады.
Қандай  да  болмасын  бір  күштер  жүйесінің  тең  әсерлі  және
теңгеруші  күштері  шама  жағынан  тең  болып,  денеге  бір  түзудің
бойымен  қарама-қарсы  бағытта  әсер  етеді.  Теңгеру  күштер  жүйесінің
тең  әсерлі  күші  нольге  тең,  басқаша  айтқанда,  теңестірілген  күштер 
жүйесі нольге эквивалентті.
Егер  Қатты  денеге  әсер  етуші  күштер  жүйесі  тепе-теңдіктегі 
күштер  жүйесін  қүратын болса,  онда бүл дененің  өзі  де  тепе-теңдікте 
олады.  Бүл  түжырымнан  тыныштықта  түрған  дене  мен  қатар
ірқалыпты  түзу  сызықты  ілгерлемелі  қозғалыстағы  денені  де  тепе- 
теңдікте деп қарастыруға болады.
Дененің  тепе-теңдікте  болу  шарт- 
тары  өмірлік  тәжірибеден  негісделген  және  дәлелдеусіз  қабылдана- 
тын бірнеше жагдайға негізделіп қорытылады.
Оларды  статиканың аксиомалары деп атайды.
Статиканың  негізгі  аксиомалары  ағылшын  ғалымы  Ньютон
(1642-1727)  түжырымдаған,  сондықтан  да  олар  ғалымның  атымен 
аталады.
1 
- аксиома  (екпін аксиомасы немесе Ньютонның бірінші заңы).
Қандаида  болмасын  күштер  мәжбүр  етпесе,  дене  тыныштықтаеы
немесе  бір  қалыпты  тузу  сызықты  қозаапыстаеы  күйін  сақтай 
апады.
Екпін  немесе  екпіндік  деп,  қозғалыстагы  заттық  дененің  күш 
әсері  болмаса  да  қозгалысын  сақтайтын  немесе  күш  әсерінен 
қозғалысын біртіндеп өзгертетін мүмкіндігін атайды.
68

2
  - 
аксиома 
(екі  күштпіц  тепе-теңдік  шарты).  Екі  күш  түскен 
еркін  қатты 
дене  тепе-теңдізі  үшін  күштердің  шамалары 
(модульдері)  тең  және  эсер  сызьщтары  бір  болып  қарама-қарсы 
багытталуы  цажет  жэне жеткілікті,  язни  {ҒХ,Ғ і) ~  0 ,  егер  Ғх = Ғг
ШШ  Ғг = -Ғ 2. 
л
Басқаша  айтқанда,  екі  күш  тепе-теңдікте  болу  үшін  олардың
модульдері  тең  болуы  және  бір
түзу 
бойымен 
қарама-қарсы 
бағытталуы 
қажет 
жэне 
жеткілікті.
3 
- аксиома  (теңестірілген 
күштерді  қосу  не  алып  тастау,
2.3 - сурет 
шыгару  принципі).  Кез  келген
күштер 
жүйесіне 
нолъге
эквивалент  күштер  жүйесіне  қосқанна  немесе  алып  тастаганнан 
(шыгарганнан)  берілген  жүйенің  қатты  денеге  жасайтын 
әсері
өзгермейді. 
_________
Егер  (Ғ\,Т2,
және  {Рх,Р
2
,...,Рк)~Ъ  екі  күштер  жүйесі 
болса, онда бүл аксиома былай жазылады
2 жэне 3  аксиомалардан туындайтын салдар.
7-  салдар.  Кез  келген  күшті,  эсер  ететін  дененің  механикалық
күйін  өзгертпей-ақ,  өзінің  эсер  сызыгы  бойымен  басқа  нүктеге
кәшіруге болады.
Ғ   күші  қатты  дененің  Ах  нүктесіне  түсірілген,  осы  күпгп  әсер
сызыгы  т — п  бойындагы  қандайда  бір  А
2
  нүктесіне  көшіру  қажет 
делік  (2.4,а  -  сурет).  Ғ   күшінің  әсер  сызыгы  бойымен  А
2
  нүктесіне
өзара тең,  қарама-қарсы  багытталган  Ғх  және  Ғх  күштерін түсірейік 
(2.4,61  сурет).  Бүл күштердің шамасы берілген  Ғ   күшінің шамасьша
$
 
,1 
тең болсын  Ғ{  = Ғх  = Ғ ,  жэне  Ғх = - Ғ х  ,
сондықтан да  Аг  нүктесіндегі екі  күш нөлге эквивалент болатын жүие 
құрады, онда  {Ғ,,Ғ,  } ~ 0.
Үшінші аксиома бойынша  Ғ  ~ {Ғ,(ҒХ,ҒХ
  )}.
69
\

Соңғы  үш  күштен  түратын  жүйеде  Ғ   жэне  Ғ,  күштері  екінші
'  
•
’ 
Г
І
І
;
: : : г - :- ; Г '
' ■   -  
* 
?
 
:'^ШТ
 
'   Ж
'
  ‘ Э
■ 
; '  
•  •■-•; - 7
 
'  
“
•  
М
І
О
Я
аксиома бойынша  {Ғ , Ғх  } -  0. 
М
Олай  болса,  үш  күштен тұратын жүйеден  оларды  алып тастауға 
болады
Ғ  ~ 
1  {Ғи ( Ғ , ң ' ) }  | р
Бүл  дегеніміз  Л,  нүктесіне  түсірілген  Ғ  күшін  әсер  сызығы 
бойынша  А
2
  нүктесіне көшірілгенмен пара-пар. Теорема дэлелденді.
а)
б)
А
Ғ.
Ғ.
2.5 - сурет
Әсер  сызығы  бойынша  көшіруге  болатын  векторларды  сы рш - 
ма  векторлар  деп  атайды.  Демек  қатты  денеге  эсер  етуші  күштер де
сырғыма векторлар болып табылады.
4 
-  аксиома  (параллелограмм  ережесі).  Қатты  дененің  бір 
нүктесіне  түсірілген  екі  күштің  тең  әсерлі  кушінің  шамасы  мен
багыты  берілген  күштерден  қүрылган параллелограмм  диагоналымен
анықталады да сол нүктеге түсіріледі.
70

Қабырғалары  берілген  векторлар  болатын  параллело-грамм
диагоналын 
түрғызуды 
(2.5 ,а
сурет) 
векторлық 
немесе
қосу  деп  атайды.  Демек,  бір  нүктеге  түсіршген  « 
к ү ш т ің  
тең әсерлі күші осы күштердің векторлық қосынды-сына тең
К = Ғ,+Ғ,
нүктеге
Күш  параллелограммен  қатар  екі  жүйінің тең  әсерлі  күшін  күш
үшбүрышымен
шамасы  2.4,  б,  в  -  суреттрінен  көрінетіндей_векторлардьщ  қосылу
байланысты
!
1
■
1
2-салдар 
(үги  күгитер  туралы  теорема).  Егер  бір-біріне
үш  күш  тепе-теңдіктегі
күпггер  жүйесін  қүрайтын  болса,  онда  күштердің
|   нүктеде
2.6 - сурет
Қатты  дененің  АХ,А
2
, А
3
нүктелерінде  бір  жазықтықта 
жатқан,  өзара  параллель  емес
ҒХ,Т
2
,Ғ
3
  күштері берілсін делік
(2.6 - сурет) жэне  ҒХ,Ғ
2
  күпгге-
рінің әсер сызықтары бір нүкте- 
де  қиылысатын  болсын.  Ғ{  жә-
не  Ғ
2
  күштерін  1-салдар  негі- 
зінде  әсер  сызықтары  бойымен
• 
•
ережесі
О
нүктесіне
көшіріп,
параллелограмм
бойынша  осы  күштердің  тең
әсерлі күшін анықтайық
{Ғ\,Ғ
2
} ~ К п .
Олай болса
{ғ, ,ғ
2
,ғ3}~
 В
1
Н  
8
 Е
і
Теорема шарты бойынша

Сондықтан
{Я\2,Ғ3}
 ~  
0.
күпггің  тепе-теңдікте  болуы  үшін
қажет
үпинші  күштің  де  әсер  сызығы  О  нүктесінен
дәлелденді
әрқаіиан  модульдері 
тең, 
бір 
тузу 
багытталаган күіитермен эсер етеді.
Бүл  аксиома  физикада  Ньтонның  үшінші  заңы  деп  аталады. 
Бесінші  аксиома механикада өте  маңызды орын  алады.  Егер  А  денесі
бойымен
бір-бірі
қарама
күшімен
сияқты
модульді  г  
21
  күшімен қарама-қарсы 
багытта әсер  етеді  (2.7  -  сурет).  Ғ п  
және  Ғ
2
і  күштерінің  модульдері 
тең,  ал  бағыттары  бір  түзу  бойымен 
қарама-қарсы  багытталса да,  олар әр
денеге
түсіршгендіктен
тепе-
2.7 - сурет
теңдіктеп  күштер  жүйесін  құра 
алмайды.  Бұл  күштердің  берін  тура 
әсер  етуші  күш  деп  қараса,  екіншісі 
қарсы  әсер  күш  болып  табылады.  Сонымен  аксиома  бойынша  эрбір 
әсерге  оған  тең  және  қарама-қарсы  багытталған  қарсы  әсер  болады. 
Осыдан  барып  табиғатта  сыңар  күш  болмайтыны,  әрбір  күшке  үнемі
онымен  бірге  екінші  бір  қарама -қарсы  күш  сәйкес  келіп  отыратыны 
байқалады. 
~
6
аксиома  (қатаю  ережесі).
аиияланатын  дене
күиі
Басқаша  айтқанда,  берілген  күштер  жүйесі  әсерінде  тұрган 
деформацияланатын  дене  тепе-теңдігі,  егер  дене  мезетте  қатайса  да, 
ягни абсолют қатты денеге  айналса да өзгермейді.
Бұл ережеден абсолют қатты дененің тепе-теңдігінің қажет және 
жеткілікті  болатын  шарттарының,  деформацияланатын  дене  тепе- 
теңдігі  үшін  тек  қажетті  ғана  болып,  жеткілікті  болмайтындығы 
көрінеді.  Мысалы;  егер  күштер  әсеріндегі  резенкеден  жасалган  дене
теңдіп
Ал  бірақ  та  күштер  тепе-теңдікте  тұрған
72

■теңдік
сақтай алмауы мүмкін.
Байланыстар  мен  олардың  реакциялары .  Механикада  еркш
және  еркін  емес  денелер  қарастырылады.  Кеңістіктегі  кез  келген 
багытта қозғала  алатын  дене  еркін  дене  деп  аталады.  Егерде  дененің 
кеңестіктегі  қозғалысы  қандайда бір  басқа денемен  шектелген  болса, 
онда  ол  еркін  емес  дене  деп  аталады.  Берілген  дененің  қозғалысын 
шектейтін  денені  байланыс  деп  атайды.  Дененің  байланысқа  эсер 
ететін  күшін  қысым  күші  деп  атайды,  ал  байланыстық  денеге  әсер 
күшін  байланыс рекциясы  немесе  жай  ғана реакция  дейді.Өз  ара әсер 
заңы  негізінде,  бұл  түзудің  бойымен  қарама-қарсы  бағыттала  әсер 
егетін  күштер.  Сонымен  қатар  бұл  күштер  әр  денеге  түскендіктен
күштер жүйесін қүра алмайды.
Денеге  эсер  ететін  күштер  актив  жэне  реактив  күштер  больш
екіге  бөлінеді.  Тыныштықгағы  денені  қандай  да  бір  қозғалысқа 
келтіре  алатын  күшті  актив  күш  деп  атаса,  осы  қозғалысқа  кедерп 
болатын  күшті  реактив  күш  деп  атайды.  Актив  күштің  модулі  мен 
бағьггы  алдын  ала  беріліп  және  тэуелсіз  болса,  реактивті  күштердщ 
шамалары  мен  бағыттары  көп  жағдайда  алдын  ала  белгісіз  жэне 
денеге әсер етуші актив күштерге тэуелді болады. Актив күшті жиірек
жүктеме деп атайды.
Статиканың  кептеген  есептерін  шешкенде  еркін  емесе  денені
еркін  дене  ретінде  қарастырады.  Ол  мүмкіндік  байланыстар 
аксиомасы  немесе дененің босану ережесіне  негізделген.  Бүл  аксиома
былай  түжырымдалған:  байпаныстарды  апып  тастап,  оларды 
реакциялармен  алмастыру  арцылы  кез  келген  еркін  емес  дене  актив 
жэне  реактив  куштер  әсеріндегі  еркін  дене  ретшде  қарастыруга
болады. 
- 
.  .
Реакциялардың  модульдері  мен  бағыттары  алдын  ала  оелпсіз,
модульдері  актив  күштердің  модульдеріне  тәуелді  болса,  багыттары
дененің  қандай  бағытгағы  мүмкіндік  қозғалысын  байланыстардың
шектейтіне байланысты. 
.  .
Енді  конструкцияларда  кездесетін  байланыстардың  негізп
түрлеріне  тоқгалып,  олардың  реакцияларының  мүмкін  болатын
бағытгарын көрсетейік.
1)  Идеал  жылтыр  бет.  Идеал  жылтыр  бетгің  реакциясы  эр
уақытга  да  жанасушы  беттерге  ортақ  нормаль  бойымен  багытгалады
(2.8,а 1 сурет). 
„
2) Иілгіш  байланыс.  Мүндай  байланысқа  абсолют  созылмаитын
жэне  салмақсыз  деп  құрастырылатын  жіп,  арқан  жэне  шынжыр 
жатады.  Иілгіш  байланыстар  тек  созылған  жагдаида  ғана  жұмыс
73

істейді  сондықтан  реакциялары  олардың  бойымен  байланыстардың 
ілінген нүктелеріне қарай багытталады (2.8,б,в - сурет).
Л
2.8 - сурет
3) 
Жыпжымалы  топсапы  тірек.  Жылжымалы  топса  дененіңз 
тіреу  жазықтыгымен  қозгалыс  жасауына  кедергі  келтірмейді  де  оған 
перпендикуляр  бағыттағы  қозгалысын  шектейді.  Сондықтан  да  онын 
реакциясы  әрдайым  тіреу  жазықтығына  перпендикуляр  бағытталады
(2.9,а,б - сурет). 
"11
Жылжамалы  топсалы  тіректерідің  шартты  белгілену  түрлері
2.9,в,г - суреттерде көрсетілген. 
#1
4) 
Жъіпжымайтын-топсапы  тірек.  Мұндай  тірек  денеге 
топсаны  емін  еркін  айнала  қозгалуына  мүмкіндік  береді  де,  оның
топса  өсіне  перпендикуляр  кез  келген  багыттагы  ілгерлемелІ 
қозгалысын шектейді  (2.10,а-сурет).
Демек, 
жүктелген 
дененің 
топса 
осіне 
перпендикуляр 
жазықтықта  қандай  багытта  тіркке  әсер  ететіні  алдын  ала  белгісіз. 
Сөйтіп,  К  реакциясын  бұл  жазықтықта  кез  келген  багытта  болуы 
мүмкін  (2.10,а  -сурет)  Багыты  да,  шамасы  да  белгісіз,  толық  К 
реакцияның 
орнына 
әдетте 
оның 
координаталық 
өстердегі
2.9 - сурет
74

а) 
б)
2.10 - сурет
проекциялары  анықгалады.  Егер 
Кх 
жэне 
1 |  
проекциялары
белгілі  болса,  онда  толық  К 
реакцияның 
шамасы 
мен 
багытын 
4-аксиома 
бойынша 
анықтауга 
болады. 
2.10,6
суретте  жылжымайтын-топсалы
тіректің 
шартты 
кескіндеуі 
көрсетілген.
5) 
Жылжымайтын  сфералық топсалы  тірек.  Бұл  топса  денеге 
кеңестікте  әсер  ететін  жағдайда  пайдаланылады.  Сфералық  топса 
дененің бір  нүктесін  қозғалмайтын  етіп  бекітеді.  Дене  осы  бекітілген 
нүктесі  арқылы  өтетін  өспен  айнала  алады.  Қозғалмайтын  нүктедегі 
реакция кеңестікте кез келген бағытта болуы мүмкін. Сондықтан да ол
өзінің  Кх,Яу,Кг  проекциялары арқылы ізделінеді(2.11.а - сурет).
2,11- сурет
6) 
Жьілжымайтын  өкшелі  тірек.  Бүл  тірек  цилиндірлік  топса 
мен  жазықтық  бетгің  байланысынан  болады.  Реакцияның  бағыты  да, 
шамасы да алдын ала белгісіз, оның орны мен шамасы координаталық
өстердегі  Кх,Яу, Я г  жіктеулері арқылы анықталады (2.11,6 - сурет).
75
\

7)  Қатаң  байланыс.  Бұл  тірек  өзіне  бекітілген  дененің  екі 
(жазық  және  тік)  бағытта  қозғалуына  және  дененің  тірекке  қарағанда 
бұрылуына мүмкіндік бермейді (2.12,а - сурет). Қатаң тіректің шартга 
кескіндеуі  2.12,б-суретте  көрсетілген.  Мұндай  тіректің  үш  реакңиясы 
бар:  тік  бағыттағы  Ү А,  жазық  багыттағы  Х А  жэне  момент  М А.  Бүл
реакциялардың бағыттары мен шамалары алдын ала белгісіз болады.
8)  Қатаң  шыбьщ  немесе  шыбықты  байланыс.  Мүндай 
байланыс, үштарында топсасы бар,  салмақсыз  түзу  шыбықпен  жүзеге 
асырылады және сыртқы күш тек оның үштарына түсетін болса, оның
82,83
  реакциясы 
тек  шыбық  бойымен  бағытталады  (2.12,в  —
сурет).
2.12 - сурет
2.2 Ж азы қ ж инақталаты н күш тер жүйесі
Ж инақталаты н 
күш тер 
жүйесі. 
Жинақталатын 
күштер 
жүиесінің  тей  әсерлі  күшін  анықтыудың  геометриялық  әдісі. 
Жинақталатын  күштер  жүйесі
 
деп  эсер  сызықгары  бір  нүктеде 
қиылысатын күштер жиыны аталады.  Берілген барлық күштердің әсер 
сызықтары  бір  жазықта  жатса,  онда  күштер  жүйесін  ж азық  ж инақ- 
талатын  күштер  жүйесі
 
деп,  ал  ол  күштердің  әсер  сызықтары  әр
түрлі  жазықтықта  жатса 
кеңестіктегі  жинақталатын  күштер 
жүйесі
 
деп атайды.
Статика  аксиомасының  1-  салдары  негізінде,  күшті  оның  әсер 
сызығы  бойымен  сырғытуға  болады,  сондықтан  әсер  сызықтары
76

қиылысатын  нүктеге  жинақталатын  күнггерді  әрдайым  көшіруге
болады. 
„  .
Теорема. Жазық жинақталатын  күштер жүиестің тең әсерлі
күші сол  күштердің  векторлық қосындысына  тең,  оның  әсер сызыгы 
күштер жинақталатын нүктеден өтеді,
а) 
б)
2.13  - сурет
нүктелеріне
күштер
і
і
і
 |
---------------------------
*
 
*■
-  сурет).  Осы  күштерді  эсер  сызыктары  бойымен  сыргатып,  олардың
нүктесі
жүйесін құрады
а)
б)
К
2 .1 4 - сурет
Жинақталған
күштерді  қосуга  бола-
ды,  ол  үшін  2.14,а  -
суретге 
көрсетілген,
жүктелген  денені  қа- 
растырайық.
Параллелограмм
ІЙ
ережесіне
сүиеніп,
алғашқы екі  Ғх  мен  Ғ
2
күнггерін  қосып  олар- 
дың  тең  әсерлі  күшін 
аламыз (2.14,6 -  сурет)
Лі  = 
Ғ%
 + 
Ғу*
77
\

Одан  кейін  Яі  жэне  Ғг  күштерінен  параллелограмм  қүру 
арқьілы  Кг  күшін табамыз
Яг = Я\ + Ғ
3
 = Й  + Ғ
2
 + Ғ3. 
'Щ
Келесіде  К і  және  Ғ4  күштерінен  параллелограмм  қүрамыз  да 
Яз  күшінтабамыз
Я ъ ^ Я г  + Қ ^ Ц  + Ғ ^ + Ц  + Ғ^.
Енді  Яз  пее  Ғ
5
  күштерін қосып  Я  күшін табамыз
Л = Л з + ^  = ^  + Ғ 2 + ^ + ^  + ^ .
мүндағы  Я  -  берілген  бес  күш  жүйесінің  тең  әсерлі  күші  (2.14,6  -  
сурет). 
*• 
V 
1  '  ' |
Осы  сияқты  пайымдай  отырып,  кез  келген  мөлшердегі
жинақталатын күштерді қосып, нэтижесінде олардың тең әсерлі күшін 
анықтауға болады
я=ғі+ғ
2
+...+ғп
немесе ықшамдап жазсақ
(
2
.
1
)
/=1
Жинақталған 
күпггердің 
тең 
әсерлі 
күшін 
анықтаудың 
қарастьфылған әдісін геомешриалық әдіс деп атайды.
Енді  берілген  күштердің  тең  эсерлі  күшін  үшбүрыш  ережесін 
пайдалана^тырып  анықтауын  қарастырайық  (2.1 ,б  -  сурет).  Алдымен
ғ \  және  Қі  күштерін  қосайық.  Ол  үшін  кез  келген  О  нүктесінен,
бағыты  мен  масштабын  сақтай  отырып,  Ғх  күшін  түрғызайық,  оның
ұшынан  Ғ
2
  күшін  салайық.  О  нүктесін  Ғ
2
  күшінің  үшымен  қосьш,
осы күштердің тең әсерлі күшін анықтайық, яғни
78

Соннан  соң  К\  күшінің  ұшьгаан  үшінші 
Ғ3 
күшін  салайық. 
Тағы да,  О нүктесін соңғы  Ц   күшінің ұшымен  қосып,  осы  күштердің 
тең әсерлі күшін табамыз
Й2 ==І*і 
+ Ғ* +Ғ%.
Кг  күшінің  үшынан  Ғ4  күшін  жүргізейік.  О  нүктесін  ҒА 
күшінің үшымен қосып,  Кі  және 
Ғ4 
күштерінің қосындысын аламыз
Осы  Кз  күштің үшына соңғы  Ғ
5
  күшін түрғызып
үшын  О  нүктесімен  қосып  К  күшін,  немесе  берілген 
күпггер жүйесінің тең әсерлі күшін аламыз
__  
__  
5  __
к
=
ғх + ғ
2
+ғ
3
+ҒА+Ғ
5
 = 
^Ғі
 .
Түрмыста, аралықтағы  К\>  Кі  және  Къ  векторларын түрғызбай- 
ақ  жоғарыда  көрсетілген  ретпен  күштерді  бағыты  мен  шамаларын 
сақтай  отырып,  бірін-біріне  тіркестіре  салып  және  алғашқы  күштің 
бас нүктесін соңғы күпггің ұшымен қосып, тең әсерлі күшті  анықтауға
болады. 
^
Тұрғызылған  көпбұрышты  (2.14.6  -  сурет)  күштер копбүрышы
деп  атайды.  Осы  көпбұрыштың  тұйықтаушы  қабырғасы  берілген
күштер 
жүйесінің
| |  
К  тең  әсерлі  күшін
кескіндейді. 
Тең 
р  
~р~  ~р 
эсерлі  күш  бағыты
әрдайым, 
сәйке- 
сінше 
біртіндеп 
берілген  күштерді 
қосумен  тұрғызыл- 
ған  көпбұрыштьщ 
орғыту 
бағытына
қарма-қарсы  бола-
ды.
2.15 - сурет 
Кейде 
күш-
тер 
кепбұрышын
79 
\

тұрғызғанда  соңгы  қосылатын  күштщ  ұшы  алгашқы  күштің  бас 
нүктесіне  сәйкес  келуі  мүмкін  (2.15  -   сурет),  ягни  жинақталатын 
күштер  жүйе-сінің  тең  әсерлі  күші  нольге  тең  болады.  Бүл  жагдайда 
жинақталатын күштер ж үйесі тепе-теңдікте деп аталады.
немесе
» 0 .
Сонымен,  жинақталатын  күштер жүйесінің тепе-теңдікте  болуы
үшін  күштер  көпбүрышының  түйықталған  болуы  қажет  және
жеткілікті.  Бүл  түжырым  жинақталатын  күштер  тепе-теңдікте 
болуының геометриалық шарты деп  аталады.
Күштің  өске  проекциясы. Белгілі багытталган  түзу сызықты 
өс  деп  атйды.  Күштің  өске  проекциясы  деп,  күш  векторының 
үштарынан  өске  түсірілген  екі  перпендикулярмен  шектелген,  естің 
багытталгын  кесіндісі  аталады.  Егер  кесінді  бағыты  өстің  оң 
багытымен  сәйкес  келсе,  күштің  өске  проекциясы  оң  таңбалы  деп 
есептеледі.  Егер  кесінді  бағыты  өстің  оң  багытына  қарама-қарсы 
болса, күштің өске проекциясы теріс таңбалы делінеді.
Ғ   күші  мен  Ох  өсі  берілген  делік  (2.16,а  -  сурет).  Ғ   күшінің
Ох  өсіне  проекциясы  аЬ  кесіндісімен  кескінделген  және  аЬ 
проекциясы оң таңбалы.
2.16,а  -  суретте  көрсетілгендей,  Ғх =аЬ,  ал  ААВС  үшбүрышы-
нан  А С = Ғ  соз а , олай болса
Ғж
  ~ Ғсо&а.
 
(2.3)
Сонымен,  күштің  өске  проекиясының  шамасы  осы  күштің
модулін  өстің  оң  багыты  мен  күштің  багыты  арасындагы  бүрыш 
косинусын көбейткенге тең.
(2.3)  өрнегі,  егер  күш  пен  өстің  оң  бағыты  арасындагы  бұрыш 
сүйір болса, күштің проекциясы оң таңбалы болатынын көрсетеді.
Егер  күш  векторының  өстің  оң  багытымен  жасайтын  бұрышы 
доғал  болса,  күштің  проекциясы  теріс  таңбалы  болады,  ягни
— £  
а  < п
  болса, онда (2.16,6 - сурет)

А
в
а
Ғ,
ь
ъх 
Ғи 
а,
В
Ғ і
в
г)
Ғз
*з
Ғ
А
Д)
2.16 - сурет
Ғи  = Ғ, сов а  = Ғ} соз(лг -  р )  = -Ғ , соз /?
Егер күш берілген  өске пвраллель болса,  онда онын проекциясы 
сэйкес таңбамен алынған күштің модуліне тең (2.16, в, г -  сурет), ягни
Ғ1х  = Ғ2,  ҒЪх= - Ғ у
У *
ғ
а
0
а
Ғ.
В
с
ь
өске
Егер  күш  берілген
перпендикуляр
болса, онда оның проек- 
циясы  нольге тең (2.16,д 
-  сурет), яғни
Ғ,
Ғ, со5 90° = 0
хОу
жазыктық-
тың А нүктесіне түсіріл- 
ген  Ғ   күшін  Ох  және
Оу  өстеріне  проекция-
лайық. 
Ғ  
күші  мен
оның
Ғх  жэне  Ғу
проекциялары 
суретте көрсетілген
2.17-
2.17 - сурет
81
*

Ғх = Ғ с о з а ;  
Ғу  =Ғс о $  /?.
Күпгпң  Ғх  және  Ғу  проекциялары  өзара  перпендикуляр
болгандыктан,  егер  күштің  екі  проекциясының  шамалары  белгілі 
болса,  күштің  модулі  мен  күш  векторының  бағытын  анықтауга 
болады. Ол үшін  ААВС  үшбүрышын қарастырсақ, онда күштің модулі
ғ  =  \[ҒХ  + Ғу  ■ 
(2.4)
Ал күштің бағыттаушы косинустары
ғ  
ғ
С 0 8  
;
 
соз 
р
 =  
. 
(2.5)
" 
г
Ғ   күшін  координата  өстеріне  параллель  екі  Ғ х  және  Ғ у 
ғсүштерінің тең  әсерлі  күші  іспетті  қарастыруға болатынын  атап  өтуге 
болады (2.17 - сурет).  Ғ   күшінің құраушы күштері  Ғ ,  пен  Ғ у  вектор-
лыҚ  шама  больіп> күштін  проекциялары  Ғх  пен  Ғу  алгебралық  шама 
болғандықтан,  күштің  қүраушылары  мен  проекциялары  бір  бірінен
аирықша ерекшеленеді.
Жазық  жинақталатын  күштер  жүйесінің  тең  әсерлі 
күшін 
анықтаудың аналитикалық әдісі.  Бір  нүктеге түсірілген екі  күштің тең 
әсерлі  кушініц  модулі  мен  багытын  аналитикалық  тәсілмен  де
анықтауга  болады,  ол  үшін  АВС  ұшбұрышын  қарастырайық (2.18 а  - 
сурет).  /Д А Ә  = <р,  /А В С  = п  -  <р.
Косинустар теоремасы бойынша
Я
2
  = Ғ? + Ғ? -  2Ғ\Ғ
2
 со$(г-<р)= Ғ? + Ғ І + ҒХҒ
2
 соз <р, 
бұдан тең әсерлі күші  модулі
К -   { ғ ^ Т ғ
2
 + Ғ}Ғ
2
 соз <р
Синустар теоремасы  бойынша
(
2
.
6
)
Ғ.і 
_
Я
8ІПОГ 
8ІП (л-<р)  8ІП <р
(2.7)
82

Осы  '
аныкгаймыз
теңдіктен  тең әсерлі  күштің  әсер  ету  бағытын
з ш а  =
Я  зіп (р
(
2
.
8
)
К
күшті
» 1
1
 
*■  —
г
-------------------------------- 1
1)  Егер  <р = о  болса,  онда
дененің
бір
Ғ,
2.18 - сурет
К = Ғ, + Ғ2.
Қатгы
нүктесіне  бір  түзудің  бойымен 
бір бағытта түсірілген  екі  күштің 
тең 
әсерлі 
күшінің 
шамасы 
күштер  шамаларының  косынды
сына  тең  және  сол  түзудің
бойында 
күштер 
багытымен 
бағытталады.
2)  Егер  (р = 180°  болса,
к = ғ}- ғ 2.
Қатты 
дененің 
бір
нүктесіне бір түзудің бойымен әр 
түрлі  бағытта  түсірілген  екі
күштің  тең  әсерлі  күшінің  шамасы  күштер
тең 
ж 
болады.
түзудің
нүктесіне
күшпң
тұрғызылған тік төртбұрыштың диогоналына тең. 
Енді жазық жинақталатын  п  күштер жүйесі 
{Ғ^Ғг,...,^,}-
Бұл жүйенің тең әсер күші
Я=У 
Ғ(
1
I  I
I
83

Берілген  күиггердің  әсер  жазықтығынан  хоу  тікбұрышты
координаталар  жүйесінің  өстерін  таңдап  алып,  берілген  күштер 
жүйесі мен олардың тең әсерлі күшін осы өстерге проекциялайық.
Қосынды  вектордың  кез  келген  өс  бағытына  түсірілген 
проекциясы  қосылғыш  векторлардың  сол  өстегі  проекцияларыньщ 
қосындысын тең болатыны математикадан  бізге белгілі, яғни
п
Олай болса
П
1 
1
мұндағы 
Щ  -  X  пен  у   өстеріндегі  берілген  күштердің  проек-
циялары;
Кх,  Ку  - осы өстердегі тең әсерлі күштің проекциялары.
Сонымен,  К  тең  эсерлі  күпггің  эрбір  координата  өстеріндегі 
проекциялары  сол  өстердегі  берілген  күштердің  проекцияларьгаың 
қосындысына  тең  болатынын  тұжырымдадық.  Егер  Кх  пен  Ку  анык-
талған болса,  жазық жинақталатын  күштер  жүйесінің тең әсерлі  күші 
К -дің модулі  мен  бағыттаушы  косинустарын,  алдыңғы  тақырыптарда
болады.
алуға
күштің
я
 =  / 
к2
х + к2
у
 1 
(2.10)
тең әсер күштің бағыттаушы косинустары
С08 0Г =
(
2
.
11
)
Жазық 
жиналатьш 
күштер 
жүйесінің 
тепе-теңдігінің 
аналитикалық  шарты.  Егерде  берілген  жазық  жинақталатын  күштер 
жүйесі  тепе-теңдікте  болса,  онда  жүенің  тең  әсерлі  күші  нөлге  тең, 
яғни  Я = 0.

Ал тен әсерлі куш вөлге тен болса, демек онын проекциялары да 
нөлге тең болады
й  =0;  
ку =
 0,
немесе  (2.9) өрнек бойынша
Псы  өонек  жазыц 
ж инацт алат ы и  күш т ер  ж үиесш щ
2 3  Ж азы қ параллель күштер жүйесі және моменті
Бір бағы тталған екі  п
а
р
а
л
л
е
л
ь
"
П
Г
е
 
күштер  ж к « ^   деп,  әсер  с ш ы ^ а ^ н  
ф ИЗИКа  курсынан
параллель  болатын  күпггер  жиынын  айтады.
*
 
____ /&У 91.9 Ш  Ж /7  Л)?Һ2Н. 
Ө К І
  Л
күштің
эсерлі  күші
күштер  қосындысына  тең  де,  0СЫ  КУ™”Ф *
параллель  жэне  оагыттас  и 
, 
-  ч  - 
сол 
күштердің
ЙЁІ 
Щ
 
ІШ 
Эай етіп  екі^б ө ліккё іштей
модульдеріне кері пропорционал болатындаи етт,  ек
т
 
. 
.  .   —. 
-  
т
  л  
• 
СГ Г 1 - Т І Л
бөлетін нүктеден өтеді,  яғни
Ғ,  _  ВС
ШШж
 І I I р *  
ғ \ * ғ г, к - ғ х + ғ г, 
- АС

2.19 - сурет
Осы  пропорциялық  қатынастан  төмендегідей  туынды  пропор- 
ция құра аламыз:
5   -  
ғ2
  -   ғ , + ғ
2
ВС 
АС  В С + А С '
немесе
ғ , ғ
2
 
к
ВС 
АС 
АВ
Жоғарыдағы  тұжырымдаманы  бір  багытталган  екі  параллель 
күіиті қосу теориясы немесе бір багытталган екі параллель  күшті 
қосу деп атайды.
Қарама-қарсы  бағытталған  екі  күшті  қосу.  Екі  қарама-қарсы 
бағытталған,  модульдері  тең  емес  екі  параллель  күпггі  қосуды  қарас- 
тырайық.
Теорема.  Модулъдері  тең  емес  қарама-қарсы  багытталган  екі 
параллель  күштің тең  әсерлі күші,  берілген  күштер айырмасына тең 
де,  осы куштерге параллелъ және үлкен күшпен багыттас болады,  ал 
дсер  сызыгы  берілген  екі  күштің  түсу  нүктелерін  қосатын  кесіндіні 
сол  күштердің модулъдеріне  кері пропорционал  болатындай етіп,  екі 
бөлікке сырттай бөлетін нүктеден өтеді
Қатты  дененің  А  және  В  нүктелерінде  Ғх 
және  Ү
2
  күштері 
түсірілген  болсын,  сонымен  қатар  Ғх > Ғ
2
  деп  берілсін.  Осы  екі
86

күшгін  тең  әсер  күшін  аныкгайьи  (2.19,6-суреі).  Ол  үшін  Ғ,  күшін 
өзімен бағытгас екі параллель күшке жіктейік
Ц - Ы ^ Ғ г ) ;  
ҒХ=К + Ғ{,
Мұндағы  Ғг  кұраушы  күшті  В  нүктесіне  і
жағынан  Ғ[ = Ғг  болатындай етіп алайык, яғни  \Ғ
2
, Ғ г ) ~  0.
Олай болса берілген күштер жүйесі бір күшке э ц ц
( ц , ц ) ~ ( я . р
1
, ғ , ) ~ х
күштің
әсерлі  күші оолатынын д
^
 
нүкгесін  аныкгайык.  Ол  үшін  бір  бағы- 
мг-и трппемасы негізінде мынадай теңдік
ВС 
АС 
Аі
Бұл жерде  Ғ ' = Ғ
2
  екенін ескерсек
Қ = К  + Ғ
1   _ Ғ г  _  К
ВС 
АС 
АВ
нүктесі
анықталады, яғни
к = ғ - ғ ,
ғ.
гр
АС = —  АВ  немесе  ВС = —  АВ
Я
 
к
Н
______ • ____________
алгебралық қосындысы тең екенін атап өтейік.
87
\
V

Егер  қатты  денеге  п  параллель  күштер  жүйесі  түскен  болса, 
оның тең әсерлі күшінің модулін, багытын  және түсу нүктесін парал- 
лель  күпггерді  қосу  ережесін,  берілген  күштер  жүйесіне  біртіндеп, 
пайдалана отырып аныктауга болады.
Параллель  күштер  жүйесінің  тең  әсерлі  күші  берілген  жүйе 
күштерінің алгебралық қосындысына тең екені айқын
К — Ғ, + 7*2 ^  Ғ^ 
Ғп
Сонымен,  параллель  күштердің  тең  әсерлі  күші  олардың
алгебралық қосындысына тең
п
іт
Тең  әсерлі  күштің  түсу  нүктесін  және 
бағытьш  анықтау 
мәселесі алдыңғы тақырыптарда қарастырылады.
Атап өтетін жайт, дәлелденген теоремаларды пайдаланып, күшті 
өзіне  параплель  бағыттас  немесе  қарама-қарсы  бағытталған  екі 
параллель күштерге жіктеуге болады.
Бірақга  бүл  таңдап  алынатын  қүраушы  күпггің  модулі,  бағьпы 
және  түсу  нүктесіне  қатысты,  бірнеше  шешімді 
статикалық 
анықталмаған есептер қатарына жатады.
Күштің  нүктеге  қаты сты   моменті.  Түрмыста  белгілі  дей, 
қатты  дене  өзіне  түсірілген  күш  әсерінен  тек  ілгерлей  қозғалып 
қоймай,  сонымен  қатар  белгілі  бір  нүктеге  қатысты  айнала  да 
қозғалады.  Күштің  денеге  айналдырушы  әсері  күш   момент і  деген 
үғыммен сипатталады.
Күштің  нүктеге  қатысты  моменті  деген  үғымды  механикаға 
енгізген  қайта  -  өрлеу  дәуірінің  италяндық  ғалым  және  суретші 
Леонардо да Винчи (1452-1519).
Күштің  нүктеге  қатысты  момент і  деп,  шпос  не  минус 
таңбамен  алынған  күш  модулі  мен  осы  нүктеден  күштің  әсер 
сызығына  дейін  түсірілген  перпендикуляр  үзындыгына  көбейтіндісін 
айтады.
Ғ   күші  О  нүктесінде  бекітілген  денені  осы  нүктеге  қатысты 
айналдыруға тырысады делік (2.20,а - сурет), онда күш моменті
М0(ғ)=±ғ-Һ. 
(2.12)
88

2.20 - сурет
О  нүктесі,  оган
қатысты  күш  моменті  алынатындықтан,
түсірілген 
һ 
перпендикул)
иіні деп атаймыз.
Күш  моментінің  Сһ
яғни 
[н] = [ ғ \  [һ] = Н ' М .
нүктесінен  күштің 
ұзьшдығын күнггің
жүйесіндегі
Егер  күш  денені  берілген  «
 
с а ^ п т ш
Е/і си  Ауш 
—і— 
*
айналасына  кері  багытта  айнапдыруга  тырысса,  онд
оң  таңбалы  деп  (2.21,а  -   сурет),  ал  егер  сагат  тілі
күш  моменті 
айналысымен
2.21  -сурет
№ » ттас  айналдыруга  тырысса,  оида күш  моменті  теріс  таңбты

жүктеу/скачать 14,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: