С. Т. Дүзелбае мех у ▲ ник жоғарғы және орта кәсіптік мамандар дайындаитын техникалық оқу орындарының студенттері үшін арналған Павлодар

Элементар 
жұмыстардың 
қосындысын 
есептейтін 
(3.33) 
формуланы  ескеріп,  динамиканың  жалпы  теңдеуін  жалпылама
координаттар арқылы жазайық
Ш
,  
Щ
м
мұндағы
е,-Е
У=1
р \ ° )
.
V
/
. е ! ”’ = Е
л
У
М
  Әг
Ф .. 
у
\
&Я
і
/
соңғы
Жалпылама  координаттар  бір-біріне  тәуелсіз  болғандықтан,
координатгар
теңдеу
орындалу
үшін
жалпылама
вариациясының 
<%у  алдындағы  коэффициенттер  нөлғе  тең  болуы
керек
^ + ^ и) = 0
(3.35)
Жүйенің  қозғалысын  сипаттайтын  8  теңдеу  алдық.  Егер  жүйе 
тыныштық  күйде  түрса,  яғни  уу = 0, 
= 0, 
Ф
  = 
-т хт^
 = 0  болса, 
жүйенің жалпылама координаттардағы тепе-теңдік  шарты алынады
шш
1 1 1,2,..., И
(3.36)
Енді 
(3.35) 
теңдеуіндегі 
жалпылама 
инерция 
күшін
түрлендіреиік
(»)
л
/
у= 1
ф
 ц§
V
V
I I
л
/
£
У=1
\
І і
д д у
\
п
/
У
У=1
т
щМ  дгу
\
\
Л
/
Жақшаның  ішіндегі  скалярлық көбейтіндіні  келесі  түрде жазуға
болады
т
сіо„  дгу
V
л
\
дгү
д д .
\
/
/
т„о„
\
Л
т
158

Лагранждың бірінші және екінші теңбе-теңдігін (3.30 және 3.31) 
пайдаланып, 
скалярлық 
көбейтіндідегі 
екінші 
көбейткіштерді
алмастыраиық
/
сіи..  дк
\
т.
V
/
дг^
д<
1
і
\
дЧі
\
/
йі дд ]
2
д
туо*Л
/
дд^
2
/
Соңгы
өрнекп
орнына
қойып, 
дифференциал 
мен
қосындылардың  орьшдарын 
алмастырсақ, 
жүиенің  жалпьшама 
инерция күші мынадай түрде алынады
(»)
_____________
(   п
еіі
т ^
2
Ш |
2 /
мұндағы 
- жүйенің кинетикалық энергиясы
у=1 2
у=І
2
сондыкган
/
V
дТ
щ
дТ
і і
(3.37)
(3.36)
ны  (3.34)  -ке
жалпылама
материялык  нүктелер  жүйесі  қозғалысының  дифференциалдық
« 
• 
----_   ___________  — -  * ---- -----  
« П
теңдеулер жүйесінің ақырғы түрін
э г
д д }
\
дТ
В
= 0у 
0  = 1.2,..., 5 )
(3.38)
деп
Бұл  теңдеулер  жүйесі 
Лагранждың  екінші  меюпі  теңдеулері 
аталады.  Лагранж  теңдеулерінің  саны  механикалық  жүйенің
еркіндік дәрежесінің санына тең.
159

Виртуалды  жылдамдықтар  мен  виртуалды  қуат ұгымын  енгізіп, 
жалпылама күштерді келесі түрде анықтауга болады
мұндагы виртуалды жылдамдықтар келесі теңдікті қанагаттандырады
Лагранж теңдеулерін қолдануда мынадай ретгілікті  пайдаланған
жөн:
1)  есепке  қатысты  суретте  барлық  актив  күштер  мен  байланыс 
реакцияларын 
көрсетіп,  жүйенің  еркіндік  дәрежесін  анықтап, 
жалпылама координаттарды тағайьгадау керек;
2)  жалпылама  жылдамдықтарды  пайдаланып  кинетикалық 
энергияны  анықтағаннан  кейін  жүйенің  жалпылама  күпггерін  табу 
керек;
3)  Лагранж  теңдеулеріндегі  көрсетілген  амалдарды  толық 
орындап,  тұрғызылған  дифференциалдық  теңдеулерді  алғашқы 
шарттарымен 
бірге 
шешіп 
механикалық 
жүйенің 
қозғалысы
анықталады;
4) қажетті талдау жасау.
3.6 Динамиканың жалпы теоремалары
С ы ртқы   және  ішкі  күштер.  Материялық  нүктелер  жүйесінің 
осы  жүйеге  кірмейтін денелерден  алатын  әсері, 
сыртқы  күштер
  деп
аталады  және  олар 
Ғ е
  деп  белгіленеді.  Материялық  нүктелер  жүйесі
шяшшшв
  #
нүктелерінің  өз  ара  эсерлері 
ішкі  күштер
  деп  аталады.  Оларды 
Ғ  
деп белгілейді.
Нүктелердің  өз  ара  әсерлері  динамиканың  3  -  аксиомасына 
тәуелді  болғандықтан,  барлық  ішкі  күштер  бір  сызықтың  бойымен, 
шамалары  тең,  бағыттары  қарама  қарсы  екі  күш  болып  әсер  етеді. 
Сондықтан,  жүйенің  ішкі  күштерінің  векторлық  қосындысы  (бас
( і
 = 1,2,...,5), 
(3.39)
0
8  д
 =  
д всі
(*.
160

векторы)  және  кез  келген 
О
  центрге  қатысты  алынған  моменттері 
(бас моменті) нөлге тең
\  
й ' = У ғ у = 
0
, 
о. 
(3.40)
у = 1  
V * !
ілы   теорема.  Нүктелерге 
күштерге  бөліп,  нүктелер
жүйесіне Ньютоннын динамикалық теңдеулерін тұрғызайық
\  
от.ет, = Ғ,е + 
Ғ
{ ,
(3.41)
тп&„
 = 
ғ;
 + ғл'
Осы  теңдеулердің оң жэне сол жақтарьга бір-біріне қосайық
П 
П 
П
5 > ж = 2 Х + І ғ .'. 
( 3 ‘,2)
мұндағы
V  
е -  сыртқы 
күштердің 
бас 
векторы
/г' 
= ц ‘ 
- ішкі күпггердің бас векторы.
і>=і
щ&Яшш  'Ш
Ішкі күштердің қасиеті бойынша 
К
  = 0, сондықтан
п
Ү^т„ш„=Ке.
V-! 
5
Осы теңдеуді түрлендірейік
_
 
еіо*
болғандықтан
161

п
(І
п
№1 
/
сЮ
щ
мұндағы 
^  /я„у>, = 0  -  материялық  нүктелер  жүйесінің  қозғалыс
У=1
мелшері деп аталады.  Сонымен
= К ‘.
(3.43)
Осы 
векторлық 
теңдік, 
нүктелер 
жүйесінің 
қозгалыс
мөлшертщ 
өзгеруі 
туралы 
теореманы
 
тұжырымдаиды: 
Материяпъщ  нүктелер  жүйесінің  қозгалыс  мөліиерінен  уақыт 
бойынша  алынган  туынды  жүйеге  әсер  ететін  сыртқы  күштердің 
бас векторына тең,
М ассалар  центрінің қозғалысы туралы теорема.  Материялык 
нүктелер  жүйесінің  массалар  центрі 
гс
 
радиус-векторымен
анықталады
п
г.
  - У=1
с 
М
(3.44)
Осы теңдіктің екі жағынан уақыт бойынша туынды алайық
немесе
М - ^  = ^ т у^ - ,  
Мос = Ү т ^и
а і 
у=і 
ах
 
у=і
болгандықтан
Мос = д .
 
(3.45)
Осы  теңдеуді  (3.42)  қозғалыс  мөлшерінің  өзгеруі  туралы 
теоремаға қояйық
162

немеоі
МШС
  = 
К '.
 
(346)
Осы  теңдік  материялық  нүктелер  жүйесіяің 
массапар  центрі 
қозгалысы туралы теореманы
 береді.  Ол  былайша түжырымдалады: 
Материялық  нүктелер  жүйесінің  массалар  центрі,  массасы  барлық 
жүйенің массасына тең,  жүйеге әсер ететін  сыртқы  күигтердің бас 
өекторьіиа  тең  күги  әсер  ететін,  еркін  материялық  нүкте  сияқты
қоз&апады.
Қозғалмайтын  нүктеге  қатысты  кинетикалы қ  моментпң 
өзгеруі  туралы  теорема.  Нүктелер  жүйесінің  Ньютон  теңдеулерінің 
(3.40)  екі  жагында  радиус-вектор 
-  га,  векторлы  көбейтейік.  гу-
жүйенің  V  нүктесіне  қозгалмайтын  координат  жүйесінің  басынан
жүргізілген радиус вектор.
гу х 
туШу -ГуХҒ* +Гу* Ғ
' , 
(у
 = 
л )
Енді  осы  теңдеулер  жүйесінің  оң  және  сол  жақтарын  бір-біріне 
қосайық
Ё к * т , ш , = £ г , * ғ ; + £ г , х ғ : ,
 
<347>
»*і 
Ш 
Р
мұндагы
І Л  х 
ғ :
 = 
^ М
0
( ғ ; ) =  
Щ  
-
 
жүйеге 
эсер  ететін  сырткы
уя| 
»=»1
күштердің бас моменп;
Т г ,  
X 
Ғ у' 
= 
I
 
Щ
 ( ғ ;  ) 
= 
М'0
 
-   жүйеге  әсер  ететін  ішкі  күштердің
у-1 
;#й 
_^
бас моменті, ол ішкі күштердің қасиеті бойынша 
М
0
 = 0.
(2.47) теңдеудің оң жагын түрлендірейік
163

г 
— I 
Г - І  
.
 
Р П И   Г-І
мұндағы
:;Й!:._. 
'
Л
"
‘
г£Л
^о
 = X  'и х т А  ”  материялық 
нүктелер 
жүйесінің
қозғалмайтын 
О
  нүктесіне  қатысты 
кинетикалық  моменті
  деп 
аталады.
Нәтижесінде (3.46) теңдеу келесі түрде жазылады
^
 = 
М'0.
 
(3.48)
А  
0
(3.48)  теңдеуі 
кинетикалық  моменттің 
қозгалмайтын 
нүктеге қатысты өзгеру теоремасын
 тұжырымдайды: 
Қандайда бір 
цозгалмайтын  нүктеге  цатысты  алынган  материялъщ  нүктелер 
жүйесінің  кинетикальщ моментінің  уацыт  бойынгиа  туындысы  сол 
нүктеге  цатысты  жүйеге  әсер  ететін  сыртцы  күштердің 
бас 
моментіне тең болады.
(3.48)  теңдеуінің  декарттық  координат  жүйесінің  өстеріндегі
проекциялары
ш § =
§Я 
=
м
е2
.
Ш
 
1  
А
 
І  
А
Түрақты  өсті  айналып  қозғалатын  абсолют  қатты  дененің
кинетикалық моменті.
Абсолют  қатты  дененің  тұрақты  өске  қатысты  айналма 
қозғалысының днфференцналдық теңдеуі.
Материялық  нүктелер  жүйесінің 
г
  өсіне  қатысты  кинетикалық 
моменті келесі теңдікпен анықталады
К г =пРгК 0,
 
(3.49)
мұндағы 
К
0
 -   жүйенің 
г
  өсінің  кез  келген  бір  нүктесіне  қатысты
кинетикалық моменті. 
. 
-  ;
Тұрақты  өсті  (3.21  — сурет)  айналып  қозғалатын  абсолют  қатты 
дененің жылдамдығын Эйлер формуласын қолданып анықтайық

О
у
=0)ХГ„,
мұндоғы 
Гу ~ х„г + у , ]  + г ук
  -  айналу  өсінің  Онүктесінен  жүйенің  кез
келгей V  нүктесіне жүргізілген радиус-векторы;
\   ^ , 
2 ,  
-  денемен  бірге  айналатын  координат  жүйесіндеп 
V
нүкгесінің координаттары;
1
,
3
,к
  - осы жүйе өстерінің орттары.
3.21  - сурет
Векторлык көбейту ережесін қолдансақ
і
к
0 
0 
т
= 
—о),уүі
 +
|/
онда жүйенін 
г
өсінің 
О
  нүктесіне қатысты кинетикалық моменті
165

п
п
к,=
0
£  г„ X 
туо„
- Е
У=1
У = 1
I
к
туа)2Уу  тутгху
= 
0
)
п
п
п
0
-  Е  
тух„
2
уІ
 -  £  
туу уг
,
У=1
У=1
У=1
(3.50)
Осы  теңдіктегі  А:  ортының  коэффициенті  дененің 
2
 
өсіне
қатысты 
кинетикалық моментм
 анықтаиды
к   = І т
(3.51)
Тұрақты 
2
  өсін  айналып  қозғалатьга  абсолют  қатты  денеге
(3.48)  кинетикалық моменттің  қозғалмайтын  нүктеге  қатысты  өзгеруі 
туралы  теореманың  декарттық  координат  жүйесінің 
2
  өсіндегі 
проекциясын қолданайық. Осы теоремаға сәйкес
^ -  = М \.
 
(3.52)
Ш
 
:■
Мұнда (3.51) формуласын апарып қойсақ, алатынымыз
/ 
-  
м е
2
  л  
*'
немесе
ІгФ = М ег,
 
(3.53)
мұнда 
ф
  -  дененің  айналу  өсі  маңындағы  айналма  қозгалысыньщ
бұрыштық үдеуі;
(р
  - дененің айналу өсі маңындағы бұрылу бұрышы.
Сонымен,  алынған  (3.53)  теңдеу 
абсолют  қатты  дененің 
түрақты  өске қатысты айналма қозгалысының  дифференциалдық 
теңдеуі
 деп аталады.
Массалар  центріне  қатысты  салыстырмалы  қозғалыстағы 
материялық  жүйенің 
кннетикалық  моментінің  өзгеруі  туралы 
теорема. 
Материялық жүйенің  массалар  центріне 
Схуг
  жүйесінің 
бас
166

*  *  *
нүктесін  қондырайык  және  бұл  жүйе 
х у г
 
жүйесіне
ілгерлем елі  қ о згал сы н  
делік.  Жүйенің  әрбір  нүктесіне  массалар 
центрінен 
радиус-вектор  Д, 
ж ү р гізей ік  
(3.22  —
 сурет).  Жүйенің (3.40)
Ныотон  текдеулерінін  екі  жагында  д , -га  векторлык  кебейтейік  және
олардын  оң  мен  сол  жагын  мүшелеп  қосайык 
Нәтижесінде
шштынЫмыз
катысты
А х т,Я7,  = /5, х 
Ғ '
 + 
р\
 х 
Ғ\
  ,
Т  
р у
 X т усту
У-І
У-І
V"!
(3.54)
мүндагы
3.22 - сурет
II
У д х  Ғ / = Мс* -  жүйеге
әсер  ететін  сырі^ы 
С 
нүктесіне 
қатысты
күштердщ
бас
моменті;
жүйеге
V»!
күштердің
нүктесіне  катысты  бас  момент,
ІШКІ
күштердщ
қасиеті
бойынша 
М'с
  = 0.
(3.54)
тендеудщ
сол
жагын түрлендіреиік
¥1
 
=
 
У ( р ух т 5 ,)  = 2^
V*!
V* !
р»х т »
п
1  7211ІА».х ОТУУ»
ОГ У=1
V—I
х т у
(3.55)
167

Күрделі  қозгалыстағы  нүктенің  жылдамдығы  туралы  теоремаға 
сүйеніп, 
материялық 
нүктелер 
жүйесі 
нүктелерінің 
абсолют 
жылдамдығын анықтайық
(3.56)
мұнда  ууе  = 
ус
 .
<15
= 
оуг
  екенін ескере отырып, (3.56) теңдігіне (3.55)-ті енгізіп,
т
келесі теңдікті аламыз
п 
^   п
£ ІА  х т*ш*
 ] = — £  
[ру
 х /Яу 
(ис
 + 
й
уг)] |
у=1 
«* •—
У = 1
п
У=1
а_
сіг
(   П
 
*
Х Х
а
- х ц
«уЧг 
]
«г у=»1
п
Ү т „и„
  | х 
ос
[Л*-*
/I
- Е к г х "»Ууг}
У=1
(3.57)
п 
п
Осы  теңдіктегі: 
£  
т*р
*. Е
V*! 
V*!
ту»ҮГ
  =
мүшелері
нөлге тең болады,  оларга Кениг теоремасын  дәлелдегенде түсініктеме
берілген, 
иуг хт иУГ
 = 0  себебі 
иуг Нтиуг
.
л 
л 
СІ  п
£  ІА * « ^  ] = " г  £  [ ^  *
V"! 
у»1
мүндағы
п
І І
р
УХ/И¥
— -  
I  
Г /  
С О Л
оуг ] = /Сс  -м а т ер и я лы қ
нүкт елер
жүиесмщ
У=1
массалар 
цент ріне 
қатысты 
салы ст ы рмалы  
қозгалысының 
кинет икалы қ м ом ент і 
деп атайды.
Сонымен, (3.52) теңдеуі келесі түрде жазылады
168

ІГ
ГСОА
<ЖЩ к Щ .
 
(3.58)
Аі
(3.58) 
теңдеу 
массапар  цент ріне  қатысты  салыстырмалы 
қозгаяыстагы  м ат ериялы қ  ж үйенің 
кинет икалы қ  м ом ент інің 
өзгеруі  туралы  теореманы 
тұжырымдайды: 
Материялық  нүктелер 
жүйесінің 
массалар  центрімен бірге ілгерлемелі қозгалатын  өстерге 
қарагандагы  салыстырмалы қозгалысының кинетикалық моментінен 
уақыт  бойынша  сшынган  туынды  жүйеге  эсер  ететін  сыртқы 
күштердің массалар центріне қатысты бас моментіне тең.
Қозғалмайтын  өсті  айналатын  абсолют  қатты  дененіц 
тіректерінің  динамикалық  реакциялары. 
Қатты  дене  айналмалы 
қозгалыста  болу  үшін,  оның  өсін  подшипник,  өкшелік  тіректеріне 
тірейді 
(3.23  -   сурет).  Массасы  М  дене 
күштерінен 
Ъ
өсінің  төңірегінде  айналып  тұр.  Берілген  күштер  мен  тіректердің 
реакциялары  денеге  эсер  ететін  сыртқы  күштер  жүйесін  күрайды. 
Тіректердің 
(Ғ‘
....
Ғ ‘)
  күштерінен  пайда  болатын  реакциялары
статикалық реакциялар 
деп  аталады.  Дененің  қозгалысынан  пайда 
болатын  тіректердің  реакциялары 
динам икалы қ  реакциялар 
деп 
аталады.  Тіректердің  динамикальщ  реакцияларын  анықтаганда, 
(Ғ,*,...,Ғ;)  күнггерін  ескермейміз,  денеге  әсер  ететін  сыртқы  күштер,
тек  қана  тіректердің  реакциялары  болады.  Эйлер  формуласын 
қолданып, дененің массалар центрінің жылдамдыгын аныктайық
О с  =  СОХ-Гс
(3.59)
Осы теңдіктің екі жагынан уақыт бойынша туынды алайық
=   ,  ^ > ^ ( ® Х Г , ) * ~ - Х Г е   + * х  С -   = Е Х  Г с + 0 ) Х О с   =
(Һ 
&  
ш  
Ш
= ё х г е  + © х ( а х г с )  
(3.60)
; 
... 
_ 
<Ш
  п
Дене  бірқалыпты  айналып  тұр  деп  есептейік,  яғни 
е
  -  —  -   ,
онда дененің массалар центрінің үдеуі былай есептеледі
169

ШЯ
•
і
0
к
стс  = [й>,
' |] =
0 ) \
0
0
°>г
11
У с
%
••(
1
\
 
0
0
. 
1
I
 
°>сУс
0)
С Х С
0!
=
  -
а
)
г
х
с
і
-
т
2
у
с] ,  (3.61)
мұндагы 
хс,у с
  дененің  массалар  центрінің  координаттары, 
х ,у
денемен  бірге  айналатын  координат  жүйесінің  өстері,  7,у-осы
өстердің орттары.
Жүйенің  массалар  центрінің  қозғалысы  туралы  теореманы
пайдаланайық
Мшс Ш К
Бұл  теңдеуді
өрнегін  ескере  отырып  х,у
,2
  өстеріне
проекциялап
Мй)
2
хс =х% н
 + 4 “\
М а
2
у с = у д
Г + У Т >
(3.62)
Енді  дененің  қозғалмайтын 
А
  нүктесіне  қатысты  кинетикалық
моменттің өзгеруі туралы теореманы қолданамыз
мүндагы
ак
£
ш щШ
—
 
л
  ,
(3.63)
п
К
а
= У
лт  7  гу
  Х і д .
У=1
Олай болса
і
К
а
.  >  г Ух/иуи
\
л
% ту
 11
V —1
п 
' -  
сіи
г У х т ,
V —1
Г »
(Һ
170

п
X 
ГП^Оу,
 
х | ю  
хт ит^
 *
(3.64)
У=1
У=1
И=І
Осы  теңдікке  (3.61)  теңдігін,  С  индекстерін  у-га  алмастырып
енгіземіз
*
 
л
гу х т й #
V-!
т
к=І
!ч,' 
4*-  з 
1 
і
к
 1
Г  Л 
л
Ху 
Уу

жүктеу/скачать 14,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: