Сабақ конспектілері каз 1-Дәріс. Сандық әдістер пәніне кіріспе. Қателіктер теориясы
жүктеу/скачать 1,67 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 11-Дәріс. Сандық интегралдау. Интегралдық тегістеу. Интерполяциялық квадратуралық формулалары. Ең жақсы алгебралық дәлдікті квадратуралық формулалар. 11.1.
- Сандық интегралдау есебінің қойылуы.
- 11.1. Сандық интегралдау есебінің қойылуы.
- 11.2 Трапеция формуласы. (5) мұндағы . Қалдық мүшесi келесi түрде есептелiнедi: 11.3. Симпсон формуласы.
- 11.4. Ньютон формуласы. (7) мұндағы . Қалдық мүше келесi түрде есептелiнедi: МЫСАЛ.
- Квадратуралық формулалардың дәлдігін бағалау туралы
- 12-Дәріс. Қарапайым дифференциалдық теңдеулердi шешу. Коши есебінің бір және көп қадамды әдістері. Орнықтылық. Жинақтылық. Берік жүйелерді интегралдау.
- 12.4. Э йлер әдісі. 12.5. Рунге-кутт әдісі. 12.1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу
- 12.2 Пикар әдісі.
- 12.3. Біртіндеп жуықтау әдісі
- 12.4. Э йлер әдісі
| 9.8. Функция кестесін тығыздау
Функцияның кестесін тығыздау үшін интерполяциалау қолданылады. Функцияның берілген кестесі бойынша аргументтің мәнін үлкейту арқылы жаңа кестені құру операциясы кейбір жағдайда функцияны субтабуляциялау деп аталады. Егер кесте тұрақты қадаммен берілген болса, онда Ньютонның интерполяциалау көпмүшелігін қолданған жөн. ЭЕМ-де есептеу үшін түйіндік нүктелері белгілі болған жағдайда (егер ақырлы айырымдар және полином дәрежесі қолмен есептелінген болса) Ньютон формулаларын Горнер кестесі арқылы көрсетуге ыңғайлы болады. Ньютонның бірінші интерполяциалау формуласы келесі түрде көрсетіледі: Егер Горнер кестесін қолдансақ мәнін циклда есептеуімізге болады. Егер қолданылатын ақырлы айырмдардың максималды реті үлкен болмаса, онда мәнін Ньютон формулалары арқылы табуға болады. МЫСАЛ 1. Мына мәндер кестесi үшiн Лагранж көпмүшелiгiн құрып -тi есептеңiз:
Шешуi. төмендегi жағдайда n=3, онда сызықтық функциясы интерполяциялациялау көпмүшелiгi болып табылады, онда Жауабы: . МЫСАЛ 2. функциясының мәндер кестесi берiлген.
n=3 жоғарғы Ньютонның бiрiншi формуласын қолданып, lg1001 есептеп және R3 -қалдық мүшесiн бағалап көрсетiңiз. Шешуi. үшiн,
-тi есептеймiз: -тi есептеймiз: -тi есептеймiз: Осыдан,
қалдық мүшенi бағалаймыз , мұндағы Егер , онда , сондықтан және болса болады.
Жауабы: Бақылау сұрақтары: Кестемен берілген функцияны интерполяциалау әдісімен жуықтаудың ерекшелігі неде? Интерполяциалау көпмүшелігінің табылуы мен жалғыздығы қалай негізделеді? Оның дәрежесі интерполяциалау түйіндерімен қалай байланысады? Лагранж және Ньютонның интерполяциалау көпмүшеліктері қалай құрылады? Бұл интерполяциалаудың екі әдісінің ерекшкліктері қандай? 11-Дәріс. Сандық интегралдау. Интегралдық тегістеу. Интерполяциялық квадратуралық формулалары. Ең жақсы алгебралық дәлдікті квадратуралық формулалар. 11.1. Сандық интегралдау есебінің қойылуы. 11.2 Трапеция формуласы. 11.3. Симпсон формуласы. 11.4. Ньютон формуласы. 11.1. Сандық интегралдау есебінің қойылуы. Келесідей анықталған интегралды есептегенде , мұндағы функциясы кесіндісінде үздіксіз, кейде белгілі Ньютон – Лейбниц формуласын қолдануға болады: (1) мұндағы функциясының алғашқыбейнелерінің бірі болады (яғни, ). Бірақ, сирек жағдайда, тәжірибе жүзінде алғашқыбейнені аналитикалық түрде алғанның өзінде, анықталған интегралдың сандық мәнін нақты соңына дейін есептей алмаймыз. Оған қоса, кейде интеграл астындағы функция таблица немесе график түрінде берілсе, онда интегралды не үшін (6.18) формуласымен есептеу кең ауқымды практикалық қолданыс алмайтыны түсінікті болар еді. Мұндай жағдайда жуықтап (сандық) интегралдаудың әртүрлі тәсілдері қолданылады. Бір еселі интегралдарды жуықтап есептеуге қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталынады. Квадратуралық формулаларды құрудың қарапайым әдісі мынадай болады. Интеграл астындағы функциясы кесіндісінде интерполяциялау көпмүшелігімен алмастырылады. Мысалы, -Лагранж көпмүшелігімен алмастырсақ, мынадай жуықтау теңдігі құрылады: , (2) Мұндай әдіс ЭЕМ-де жеңіл орындалатын алгоритмдерге әкеліп, нәтижені нақты алу мүмкіндігін береді. Бұл жағдайда, кесіндісі бөлікке нүктелерімен бөлінеді, соның нәтижесінде көпмүшелігі құрылады. Алынған нәтижені көпмүшелігінің орнына қоя отырып, біз , мәнін аламыз. Сонымен , (3) мұндағы
, (4) Осы табылған формулалар нәтижесін біле отырып, мынаны байқауға болады: 1). коэффициенттері функциясына тәуелді еместігі, себебі олар интерполяциялау түйіндерін ескеріп құрылған. 2). Егер , -ші дәрежелі полином болса, онда (2) формуласы нақты болады, себебі, бұл жағдайда . Мұндағы xк-интерполяцияның берiлген түйіндер, Ак-функцияның түрiне тәуелді емес тек түйіндер таңдауына тәуелдi коэффициенттер, R-қалдық мүше немесе квадратуралық формуланың қателiгi. интегралдау кесiндiсiн тең n бөлiкке бөлемiз: интеграл астындағы функцияны алынған тораптарда есептеймiз. Бiрдей қашықтықта жатқан тораптар үшiн квадратуралық формулалар Ньютон-Котес формулалары деп аталады. Бұндай формулалардың қарапайым түрлерi төменде келтiрiлген: 11.2 Трапеция формуласы. (5) мұндағы . Қалдық мүшесi келесi түрде есептелiнедi: 11.3. Симпсон формуласы. , (6) Қалдық мүшесi келесi түрде есептелiнедi: 11.4. Ньютон формуласы. (7) мұндағы
. Қалдық мүше келесi түрде есептелiнедi: МЫСАЛ. Келесі интегралды Симпсон формуласымен n=10 болғанда есептеу керек: Шешуі. Қалдық мүшені бағалау үшін функцияның төртінші ретті туындысын табайық. y(4)(x) туындысы [0, 1] кесіндісінде x=1 болғанда ең үлкен мәнді қабылдайды. Сондықтан |R2| функциясының мәндер кестесін құрайық.
Симпсон формуласымен интегралды есептеп, , нәтижені төрт таңбаға дейін дөңгелектейміз: Квадратуралық формулалардың дәлдігін бағалау туралы Трапеция және Симпсон формулалары бойынша интегралдау әдісінің қателігін бағалау, тек интеграл астындағы функция аналитикалық түрде берілгенде ғана мүмкін болады. Бұл жағдайдың өзінде де, қарастырылған интегралдау әдістерінің әрқайсысы үшін жарамды, тәжірибе жүзінде кеңінен қолданылатын келесі әдісті қарастырамыз. Ізделініп отырған интеграл кесіндісін n және 2n бөлікке бөлу арқылы 2 рет есептеледі (интегралдағанда Симпсон формуласы бойынша n жұп сан болу керек). Содан соң интегралдан алынған мән (оларды In және I2n деп белгілейміз) салыстырылады және сәйкес бірінші ондық белгі дұрыс деп саналады. Симпсон әдісінің қателігін бағалау үшін жай формула қолданылады. Rn, R2n -Симпсон формуласы бойынша интегралдау қателіктері, сәйкесінше кесінді n және 2n бөлікке бөлінеді. (8.36) бағалауды есептей отырып, мына теңдікті құруға болады: (8) Мұндағы, hn және h2n - кесіндінің бөлінгендегі ұзындығы (нтегралдау қадамы) 1-ші және 2- ші жағдайда. Бізге белгілі h2n =hn /2 (6.38) формуладан аламыз: Rn=16R2n (9) Егер I-интегралдық шын мән болса, онда I=In+Rn және I=I2n +R2n бұдан I+16R2n=I2n+R2n , яғни: (10) (6.40) формула Симпсон әдісінің қателігін тәжірибелі бағалауда қолайлы, бірақ екі рет есептеуді қажет етеді. (6.33) және (6.36) бағалау формулаларынан трапеция және Симпсон әдістері бойынша интегралдау қателігі интегралдау қадамының азаюымен бірге азаюы байқалады. (әсіресе бұл (6.39) Симпсон формуласына тән). Осының негізінде шешім қабылдайық, бөлінген кесіндінің саны біртіндеп өскенде біз интегралдың мәнін аламыз, бұның бәрі шындыққа жуықтайды. Бірақ бұның шешімі теориялық мәнге тура келеді. Тәжірибе жүзінде есептесек бөлінген кесіндінің саны біртіндеп екі еселенгенде қателіктің салмағы жуықтап алынады. Бұның мәні әрбір моментке дейін интегралдық шешімнің жеткен нүктесіне шектеу қояды (нақтылай қарасақ көрсетілген қатенің интегралдық шешіміне әсері көрсетілген).
1. Сандық дифференциалдау есебінің ерекшелігі неде? 2. Қадамды тізбектей азайту арқылы интегралдауда жіберілетін қателікті шексіз азайту мүмкін бе? 12-Дәріс. Қарапайым дифференциалдық теңдеулердi шешу. Коши есебінің бір және көп қадамды әдістері. Орнықтылық. Жинақтылық. Берік жүйелерді интегралдау. 12.1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу 12.2 Пикар әдісі. 12.3. Біртіндеп жуықтау әдісі. 12.4. Эйлер әдісі. 12.5. Рунге-кутт әдісі. 12.1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу Бірінші ретті қарапайым дифференциялдық теңдеулер келесі түрде беріледі: y′=f(x,y) (1) Осы теңдікпен байланысқан негізгі тапсырма бізге Коши есебі деп танымал: Бастапқы y(x0)=y0 (2) шартын қанағаттандыратын y=y(x) функциясы түрінде (1) теңдеуінің шешімін табу. (1) теңдігі орындалған кезде берілген M(x0, y0) нүктесі арқылы өтетін интегралдық қисық y(x)-ті табу керек. (1) теңдігінің шешімінің табылуы және жалғыз екендігі келесі теоремамен қаматамасыз етіледі. Пикар теоремасы: кезкелген G-облысында A -функциясы анықталған және үздіксіз болса, теңсіздіктермен анықталады. [x-x0]≤a, [y-y0]≤b (3) Және осы облыста шартты қанағаттандыратын Липщица y-бойынша
бұл арақашықтықта [x-x0]≤h, мұндағы h -оң сан. (7.1)- теңдіктің y=y(x) -тің шешімі тек жалғыз y0=y(x0) бастапқы шартын қанағаттандыратын мұнда M - тұрақты, егер f(x,y) G-облыстарындағы туындының шегі A'y(x,y) болады, онда (x,y)€G жатады. M=max [f'y(x,y)] (4) Классикалық анализдерде көптеген дифференциялдық теңдеулерді жазудың әдістері бар. (қарапайым немесе күрделі). Бұған қарамастан осы есепті шығарар кезінде осы әдістер керексіз болып қалады, немесе оларды шешімі жай уақыт кетірумен өткізеді. Осы себепке байланысты есепті шығару үшін дифференциялдық теңдеудің жуықтап шешу әдісі қарастырылған. Шешімді өрнектеу түріне байланысты бұл әдістер 3 топқа бөлінеді: Аналитикалық әдіс. Бұл дифференциялдық теңдеудің шешімі аналитикалық түрде беріледі. Графикалық әдіс. Жуықтап шешудің графикалық түрде берілуі. Сандық әдіс. Алынған функция кесте түрінде беріледі. Сандық есептің қателігін дифференциялдық теңдеулерде бірінші ретті, яғни (7.1) формуламен және n-ші ретті дифференциялдық теңдеулер келесідегідей. Y(n) =f (x,y,y'…y(n-1)), Коши есебі y=y(x) шешімін табумен тұрады. Y(x0)=y(x0)=y0, y'(x0)=y'0.., y(n-1)(x0)=y0(n-1) Мұндағы y0,y0',…y0(n-1) есептелетін яғни белгісіз сан. Көп жағдайларда дифференциялдық теңдеулердің системасы бірінші ретті теңдеумен шешіледі. y''=(x,y,y') Екінші ретті теңдеулер бірінші ретті теңдеулер системасында да жатады. y'=z y'=f(x,y,z).
Бұл y/=f(x,y) (1) диффенерциалды теңдеуді аналитикалық функция түрінде жақындатылған шешімін алуға мүмкіндік береді. Пикар әдісі (1) теңдеудің жалғыз шешімінің және табылу теоремасын дәлделдеуге байланысты пайда болады және мәні бойынша сығылған көріністің принципін қолданудың бірі болып табылады. Бастапқы (2) шарты бар (1) теңдеуінің шешімін табу теоремасының шартына сәйкес табу талап етілсін (1) теңдеуінің екі жағын x0-ден x-ке дейін интегралдаймыз: y(x0)=y0 (5) немесе
(5) (5) интегралды теңдеу шешімі дифференциалды теңдеуді және бастапқы шартты қанағаттандырады. Шынында да, x=x0 кезінде аламыз: Сонымен (5) интегралдың теңдеудің шешімі тізбекті жақындау әдісін қолдануға мүмкіндік береді. y=y0 теңестіріп (5) теңдеуінен бірінші жақындауды аламыз: Оң жақтағы интеграл тек x айнымалысынан тұрады, бұл интегралды тапқаннан кейін y1(x) жақындаудың аналитикалық өрнегі x айнымалы функциясы сияқты алынады. Енді (5) теңдеуінде у-те табылған у1(х) мәнімен алмастырамыз және екінші жақындауды аламыз; Және тағы сол сияқты. Жалпы жағдайда интеграциялық формула мынадай түрде блады: (6) (6) формуланың циклдық қолдануы төмендегі функция тізбегін береді: Y1(x), y2(x), …, yn(x) (7) G-облысында f функциясы үзіліссіз болғандықтан, онда ол функция (х0, у0) нүктесінен тұратын кейбір облысында шектеулі болады, яғни (8) Табылу теоремасы жағдайында (6) теңдеуіне қысылған көріністер принципін қолдана отырып (7) тізбегінің сәйкес келетін ( сегментінде анықталған φ кеңістіктегі φ үзіліссіз функциялар ρ(φ1, φ2)=max │φ1(x)-φ2(x)│ метрикасы бойынша сәйкестік түріне айналады) көрсету қиын емес. Оның шегі интегралдық теңдеу шешімі яғни (2) бастапқы шарты бар диффенерциалдық теңдеу шешімі болып табылады. Бұл (7) тезбегінің R-ші мүшесі анықталған нақталық дәрежесі бар (1) теңдеуінің нақты шешіміне жақындау болып табылады. R–ші жақындау қателігін бағалау төмендегі формуламен беріледі: (9) Мұнда М – Липшиц константасы (4) N- (8) теңсіздігіндегі f функциясының моділінің жоғарғы шегі, ал аралығын анықтау үшін d шамасы төмендегі формула бойынша есептеледі. . (10) 12.3. Біртіндеп жуықтау әдісі Коши есебін қарастырайық. Біртіндеп жуықтау әдісі бойынша шешімі функциясынын тізбектерінін шегі ретінде қарастырылады. Жоғарыда айтылған шарттар қанағаттандырылсын деп ұйғарсақ, келесі рекуренттік формула бойынша табылады (11) 12.4. Эйлер әдісі жүктеу/скачать 1,67 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||