Сабақ конспектілері каз 1-Дәріс. Сандық әдістер пәніне кіріспе. Қателіктер теориясы
жүктеу/скачать 1,67 Mb.
|
| 13.2 Дирихле есебі үшін торлар әдісі.
Бiрiншi шектiк есеп немесе Пуассон теңдеуi үшiн (2) Дирихле есебi: Қандай да бiр G облысының iшiнде (2) теңдеудi қанағаттандыратын, ал Г шекарасында (3) шартын қанағаттандыратын формуласын табу керек, мұндағы – берiлген үзiлiссiз функция. және қадамдарын сәйкес х және у деп таңдап, тор тұрғызамыз және әрбiр iшкi түйiнiнде туындыларын (1) ақырлы айырымдар қатынасымен алмастырып (2) теңдеудi мына түрде жазамыз: (4) мұндағы функциясының мәндерiне қатысты сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесiн бередi. Дербес жағдай. Егер G облысы тiк төртбұрыш және болса, онда (4) теңдеулер былайша жазылады: Егер болғанда (2) Лаплас теңдеуі деп аталады. және сәйкес ақырлы-айырымдық теңдеулер келесi түрде жазылады: және теңдеулердi жазған кезде келесi түйiндер сұлбасы қолданылды: 2-сурет Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен алмастыру қателiгi, яғни Лаплас теңдеуi үшiн қалдық мүше келесi теңсiздiкпен бағаланады: мұндағы Айырымдық әдiспен алынған жуықтаң шешiмнiң қателiгi келесi үш қателiктерден құралады: Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен ауыстырғандағы қателiктен; Шеттiк шарттарды жуықтау қателiгiнен; 3. Айырымдық теңдеулер жүйесiн жуықтап шешу нәтижесiнде пайда болатын қателiктерден. МЫСАЛ Қабырғасы 1-ге тең, оқшауланған жазық шаршы пластинкадағы жылудың станционар үлестірімі туралы есепті пластинканың шекарасында температура тұрақты болған жағдайда қарастырайық. 3-сурет Температураның үлестірімін беретін (,) функциясы Лаплас теңдеуінің шешімі болатыны белгілі: Берілген есеп үшін шекаралық шарттар 3-суретте көрсетілген. Шешуі: қадаммен тор құрамыз, тоғыз ішкі тораптар аламыз. Осы тораптарда ақырлы-айырымдық теңдеулер құрамыз. Шекаралық шарттардың симметриялылығын 11=31, 12=32, 13=33 (1) Бұл функциясының ішкі тораптардағы белгісіз мәндерінің санын тоғыздан алтыға дейін азайтады. Осылайша (3,1), (3,2), (3,3) тораптарда ақырлы-айырымдық теңдеулерді жазудың қажеті жоқ. Қалған ішкі (1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (1,3), (2,3) тораптарда сәйкес алты теңдеуді аламыз: Бұл теңдеулер құрамына тағы функцияның шекаралық нүктедегі 12 мәні кіреді. Ол мәндерді біз шекаралық шарттардан аламыз: (3) Қалған тораптарға шекаралық шарттар қолданылмайды. (2), (3) шарттарды ескере отырып, нақты түрде келесі жүйені аламыз: Бұл жүйені Гаусс әдісімен шешіп, алатынымыз: жүктеу/скачать 1,67 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|