Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических наук в современном образовательном пространстве»

79
 
 
Вводя  обозначения 
 
 
,
ij
ij


A
a
B
b
,  получим,  что  технология  нашей  модели  задается  парой 
неотрицательных  интервальных  матриц 


,
A B
.  Матрица 
A
  называется  интервальной  матрицей  затрат, 
B
  - 
интервальной матрицей выпуска. 
Определим  неотрицательную  линейную  комбинацию  базисных  процессов 
1
2
,
,...,
m
Q Q
Q
,как  новый 
процесс,  в  котором  затраты  и  выпуск  являются  линейной  комбинацией  векторов  затрат 
i
a
  и  выпуска 


1,2,...,
i
i
n

b
 базисных процессов:  
 


1
1
2
2
1
1
...
,
,
m
m
m
m
i
i
i
i
i
i















z Q
z Q
z Q
z a
z b
zA zB
, 
(6) 
где  


1
2
0,
1, 2,..., ,
,
,...,
i
m
i
m



z
z
z z
z
. 
Вектор 


1
2
,
,...,
m

z
z z
z
  будем  называть 
интервальным  вектором  интенсивностей
  и  говорить,  что  в 
процессе 


,
zA zB
 участвует базисный процесс 
i
Q
 с интенсивностью 
i
z
. 
Поскольку  в  случае  применения  балансных  уравнений  одним  из  основных  является  вопрос  об  их 
продуктивности, то ниже   рассмотрен вопрос продуктивности приведённых интервальных балансных моделей, а 
именно доказана следующая  
Теорема  1.  Интервальная  модель Неймана,  задаваемая  соотношениями  (3)  и (6),   будет  продуктивной 
если,  
max
1
À

À

.                                                          (7) 
3. Интервальные модели в задачах экологии 
1.  Рассмотрим интервальную логико-динамическую модель: 
 


2
0
d
k
dt
V



 





x
x
y
q x

,  
(8) 
 
 
0
0 
x
x
,  
(9) 
 
 


 


1
\
,
,
n
q
j
i
i
j
i
j
i
i
i
j S L
j L
L
L
t
L
t
L t















q
q
p
p


, 
(10) 
 


0
( ),
( ) ,
min
Ò
j
i
j L
Q
t
L
t
t dt












u x
p

. 
(11) 
которая позволяет управлять объём усреднённого экотоксиканта 
х
 в консервативной среде V.  
Для решения задачи (8)-(11) применим интервальный вариант полуявных формул Рунге-Кутта:  
1
1
1
1
1
.
(
, )
( ,
[0, ]
( ,
)) / (
1)
s
s
j
i
i
j
j
j
j
j
i
h
p
t
h
t
h
t
s













r
x
x
f
x
f
x

 
(12) 
В этой формуле 

(
t
, 
x
) – интервальное расширение функции невязки соответствующего вещественного 
метода,  
 
1
1
11
1
1
2
1
21
1
1
22
1
2
1
1
1
1
1
.
. .
,
(
, )
(
, )
(
, )
(
, ) . . .
(
, )
j
j
j
j
j
s
ss
s
j
s
j
j
h
t
h
t
t
h
t
t





























r
r
r
r
r
r
r
r
x
f
x
f
f
x
f
f
 
(13) 
[ , ]
a b
 
x
–область  определения 
f
  по
x
,  а 
,
i
ij
p

–  параметры  полуявного  вещественного  метода 
Рунге-Кутта 
s
–го порядка. 
Для этого  метода доказана следующая  
Т е о р е м а 2 .
Для  интервалов,  вычисленных  по  формулам  (12)–(13)  и  решения  уравнения  (8), 
полученного при любом фиксированном  
 
0
x t
 из интервала
0
x
на 


0
,
t
t c
 
,
справедливы включения 

80
 
 
 
( )
j
j
x t  x
, 
0
j
t
t
jh


, 


0
h
c t
n


, 


1,
j
n

, 
(14) 
и оценка на ширину интервалов 
j
x
:
 
 
 
 
0
s
j
a
bh



 

x
x
, 
(15) 
где константы  
,
a
b

 не зависят от шага интегрирования h. 
2.Пусть каждое предприятие в единицу времени выпускает продукцию 
i
p
 в количествах 
 
 
,
1,...,
i
i
i
i
n


p
f z
, 
(16) 
где 
i
f
- производственная функция. 
 
Предприятия  производят  не  только  полезный  продукт,  но  и  вредный.  Обозначим  через 
i
q
  поток 
загрязняющих веществ: 
 


,
i
i
i
i
 
q
p v
, 
(17) 
где 
i
v
-  затраты  предприятий  на  совершенствование  технологий  или  очистку  воды  в  условиях  самих 
предприятий. 
Далее выводится уравнение  
 



 
*
,
1
i
i
i
i
c
c




x
z
x




,  
(18) 
решение  которого  служит  после  определения  на  основе  прдварительных  измерений  по  уровню  загрязнения  и 
принятия  этого  уровня  за  начальное  условие  в  соответствующей  задаче  Коши  является  критерием  для 
назначения неким надзорным органом при назначении штрафа за загрязнение окружающей среды.  
Чтобы  не  нарушать  равновесие  надзорный  орган  прибегает  к  дополнительным  критериям.  Например, 
можно потребовать, чтобы 
 
0
i
d
dt


z
, 
(19) 
или 
 
max
i
d
dt


z
. 
(20) 
Критерий (20) мы можем переписать в следующем виде: 
 



 
*
,
1
min
i
i
i
c
c




z
x



, 
(21) 
или, для нашего частного случая, 
 
 
 
1
1
min
i i
i
i
I c
l s
c
c











z
x


. 
(22) 
Преобразуем теперь критерий (17). Используя уравнение (18) мы можем написать 
 
 






*
,
,
max
i
i
i
i
i
i
i
i
d
c
c
c
k
dt







z
f z
z
z
z


. 
(23) 
Для рассматриваемого частного случая (17) будет таким: 
 
 


2
2
max
i i
i i
i
i
I c
s
l s
a





z
z
, 
(24) 
где 
i
i
i
s
s
k


. 
 
Итак, мы пришли к двухкритериальной задаче: 
 
 
1
2
min,
max
I c
I
c


. 

81
 
 
В  рамках  пакета,  описанного  в  [4],  эта  задача  решена  интервальным  оптимизационным  методом,  
предложенном в [2]. 
 
Список литературы 
1.  Moore R.E. Interval Analysis.–Englewood Cliffs. N.J.: Prentice–Hall, 1966. 
2.  Базаров  М.Б.,  Ибрагимов  А.А.,  Шокин  Ю.И.,  Юлдашев  З.Х.  Математическое  моделирование  интервальными 
методами. –Ташкент: Фан, 2013.–160с. 
3.  Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. –Москва: Наука, 1984. –294с. 
4.  Z.KH.Yuldashev,  A.A.Ibragimov,  P.J.Kalkhanov  Program  complex  for  mathematical  modeling  in  conditions  of 
nondetermined parameters. Collection of thesis of the V-th World Congress of Ingenering and Technology─WCET-2012 
«Science and Technology: Step to Future», 1-2 June, 2012, Almaty, p.302-303.   
 
 
ӘОЖ 512.1 
ЖАЛПЫЛАНҒАН МИНКОВСКИЙ КЕҢІСТІГІНДЕГІ 
БИКВАТЕРНИОНДАРДЫҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ АЛГЕБРАСЫ 
 
Ибрашова Д.Х. 
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті, Атырау 
 
Нақты сандар өрісінің алгебралық кеңейтілуі туралы Фробениус теоремасы бойынша жаңадан алынатын 
алгебралардың  өлшемдері  2,  4,  8  болатындығы  белгілі.  Төрт  өлшемді  кеңістікті  физикалық    мағынасына 
байланысты  Минковский  кеңістігі  деп  атайды.  Мақалада  қарастырылатын  кеңістіктің  өлшемі  сегізге  тең 
болатындықтан,  оны  жалпыланған  Минковский  кеңістігі  деп  атадық.  Бұл  кеңістікте    Лоренцтің  түрлендірулерін 
құруда бикватерниондар алгебрасын пайдалану ыңғайлы болатындығын көрсетелік.   
Минковскийдің 
М = {( , ): ∈
, ∈
}
 кеңістігінде комплекс-түйіндес бикватерниондарды енгізелік:  
 
= τ +
,
= τ −
,  
∈
,
∈
,
 
 
‖ ‖ = ‖ ‖ =
+ ‖ ‖
,     
〈 〉 = 〈 〉 =
− ‖ ‖
     (12) 
 
Бұдан бұлардың өзтүйіндес бикватерниондар болатындығы шығады: 
 
=
∗
 ,  
=
∗
 
және 
Z
= /〈 〉
 ,   
= /〈 〉
. 
 
Демек жарықтық конуста 


х


  және   бикватерниондары үшін кері бикватернион табылмайды.  
Енді өзара бикватерниондарды енгіземіз:  
 
(θ, e) =
∗
= ℎ +
ℎ ,
 
 
= (
)
∗
=
= ℎ −
ℎ
,  
∈
, 
‖ ‖ = 1
, 
 
мұндағы     -  нақты сан  және оған  гиперболалық синус  пен  косинус қолданылады.  Бұлардан олардың унитарлы 
болатындығы шығады, яғни  
 
°
= 1
. 
 
Тікелей есептеу арқылы келесі ұйғарымдардың орындалатындығын көрсетуге болады.   
Ұйғарым 2.1. Лоренцтің классикалық түрлендіруі 
:
→
 мына түрде болады: 
= ° °
,    
=
° °
.  
 
Егер мына белгілеулерді енгізсек:  
 
сℎ2 = (1 −
)
,  
ℎ2 = (1 −
)
,    
| | < 1
,  
 
онда   
және бикватерниондарыныңскалярлы  жәневекторлы  бөліктері  сәйкесінше  мына  формулалар  түрінде 
жазылады:  
 
=
( , )
√
 ,       
=
− ( , ) +
( , )
√
 , 
 

82
 
 
=
( , )
√
,       
=
− ( ,
) +
( ,
)
√
 . 
 
Бұның  өзі 
Х ,
 
, … ,
  координаталар  жүйесінің 
  өлшемсіз  жылдамдықпен  е  векторының  бағытымен 
қозғалысына  сәйкес  келеді.  Ассоциативті  және  унитарлық  қасиеттері  орындалатындықтан,  псевдонорма 
сақталады: 
 
〈 〉 = ° ° °
° °
= 〈 〉
           (13) 
 
Ұйғарым 2.2.  Мына түйіндес кватерниондар:  
 
( , ) =
+
,   
∗
=
=
−
,
‖ ‖ = 1
, 
 
М кеңістігінде Z бикватернионының векторлық бөлігіне, яғни мыналарға  
 
=
° °
∗
 ,    =
∗
° °
 
 
ортогонал болатын түрлендіру тобын анықтайды,  мұндағы
   
 – нақты сан.    
Бұл түрлендіру 
R
кеңістігінің 
e
 векторынан  2
 
 шамасына айналдыру болады.  
Дәлелдеу.  Есептеу арқылы керек мына шамаларды аламыз: 
 
= ,
= ( , ) +
− ( , )
2 + [ , ]
2
. 
 
‖ ‖ = ‖
∗
‖ = 1,
°
∗
=
∗
°
=
 
 
болғандықтан, мына теңдік орындалады:  
‖ ‖ = ‖ ‖
. 
Ескерту. 
(θ, e) =
(− θ, e)
  теңдігі  орындалатындықтан,  осы  түрлендірулердің  композициясынан  Лоренцтің 
түрлендіруінің жалпы түрі алынады.    
Анықтама.
  Минковскийдің  М  кеңістігінде  Лоренцтің  түрлендіруі  мына 
〈 〉 = 〈 〉
  псевдонорманы  сақтайтын 
сызықты түрлендіру ретінде анықталады:  
 
= ° °
∗
,  
=
° °
∗
 
 
=
° = Cos(φ + θ) + eSin(φ + θ)
 
 
∗
= Cos(φ − θ) − eSin(φ − θ)
 
 
°
=
∗
°
∗
= 1
      теңдігі  орындалатындықтан  псевдонорма  сақталады  және  жарықтық  конуста  нөлге  тең 
болады.  
Салдар. Лоренцтің түрлендіруінде жарықтық конус жарықтық конусқа көшеді.  
Минковский кеңістігіндегі бикватерниондардың функционалды кеңістігін қарастырайық: 
 
( ) = { = f( , ) + ( , )}
 
 
мұндағы 
f
 -  комплекс мәнді функция, ал  
F
 -  комплексті компонеті 
j
F
3
,
2
,
1

j
 болатын үшөлшемді вектор 
–  функция.  Әрі  қарай 
f
  және   
F
  М  кеңістігінде  локалды  интегралданатын  (дәйекті)  және 
дифференциалданатын    функциялар  деп  қарастырамыз. 

  айнымалысы  немесе 
j
x
    бойынша  бикватенионның 
дербес туындысын былайша белгілейміз:  
 
=
+
, 
=
+
.  
 
(τ, x)
полинимиалды 
n
  -  ші    дәрежелі  бикватерннион  деп  атаймыз,  егер  оның  компоненттері  


3
2
1
,
,
,
x
x
x

 алынған полином болып, жоғарғы дәрежесі 
n
 мынаған тең болса:  
= (τ, ) + ( , )
.    
 
Осы  ұғымдарды  пайдаланып   
(М)
кеңістігінде  полиномда  сәйкесінше  аттас  туынды  координатасын  сәйкесінше 
дәрежеге алмастырып сызықты дифференциалды операторды енгізуге болады: 
 
(∂ ,
) = (∂ ,
) + (∂ ,
)
.
 
 
Бұдан бикватернионды сызықты дифференциалды теңдеуді қарастыруға болады:  
 

83
 
 
(∂ ,
)° = ( , )
   (4) 
 
(мұндағы   
°
операторды  енгізу  үшінформалды  бикватернионды  көбейту  амалы,  әрі  қарай  бұл  белгілеуді  алып 
тастаймыз). 
 
Бұл теңдеу төмендегідей төрт теңдеуден тұратын жүйеге эквивалентті:  
 
(∂ ,
) − ( (∂ ,
), ) = (τ, )
 
 
(∂ ,
) + (∂ ,
) + [ (∂ ,
), ] = (τ, )
 , 
 
мұнда  нақты  және  комплексті  бөліктерге  бөліп  қарастырсақ    сегіз  теңдеуден  тұратын  жүйеге  эквивалентті 
болады.  
 
Әдебиеттер тізімі 
1.    Абиров  А.Қ.,  Ибрашова  Д.Х.  /  Бикватерниондардың  дифференциалдық  алгебрасының  құрылымы  /  «Бектаев 
оқулары  –1:  Ақпараттандыру  –  қоғам  дамуының  болашағы»  атты  халықаралық  ғылыми  –  тәжірибелік 
конференция материалдары, Шымкент-2014.  
2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.:М.Наука, 1976. 648 б.  
3. Элиович А.А. О норме бикватернионов и иных алгебр с центральным сопряжением. Гиперкомплексные числа в 
геометрии и физике, №2, том 1, 2004, ст. 24-50 
 
 
ӘОК 372.851 
КҮРДЕЛІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ 
 
Ғ.Ж.Тұржігітова 
 
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті 
gaitur@mail.ru 
 
Көптеген  күрделі  тригонометриялық  теңдеулер  жаңа  айнымалы  енгізу  арқылы  шығарылады.  Бұл 
мақалада күрделі тригонометриялық теңдеулердің шешу жолдары үш мысал арқылы көрсетіледі. 
1-мысал. Теңдеуді шешіңдер 
9cos2x + 9cos6x = 36cosxcos3x + 140√3sinxsin2x − 162 
Шешуі:  Теңдеудің  сол  жағындағы  cos2x  және  cos6x  өрнектерін  қос  бұрыштың  косинусының 
формуласынпайдаланып,cos2x=2cos
2
x-1,  cos6x=2cos
2
3x-1  өрнектерімен,  алтеңдеудіңоң  жағындағы  екі  синустың 
көбейтіндісін  
2 = (
−
3 )өрнегімен алмастырамыз.Сонда берілген теңдеу мына түрге келеді: 
9(2cos x − 1) + 9(2cos 3x − 1) = 36cosxcos3x + 70√3(cosx − cos3x) − 162 
Теңдеуде cosx пен cos3x қайталанып тұрғандықтан, y=cosx, z=cos3x жаңа айнымалылар енгіземіз: 
18y + 18z − 18 = 36yz + 70√3(y − z) − 162 ↔ 
9(y − z) − 35√3(y − z) + 72 = 0. 
Соңғы теңдеу a = y – z –ке қарағанда квадрат теңдеу: 
9a − 35√3a + 72 = 0. 
Теңдеудің дискриминанты D=1083=3∙19
2 
,алтүбірлері a
1
=3√3, a
2
=
√
 
Ендеше, есеп cosx- cos3x=3√3 және cosx - cos3x=
√
түріндегі екі теңдеуді шешуге келтірілді. 
Бірінші  теңдеу  бағалау  әдісімен  оңай  шешіледі:  теңдіктің  сол  жағында  2-ден  аспайтын  сан  тұр,  ал  оң 
жағындағы сан 3√3 > 2 болғандықтан, 1-ші теңдеудің шешімі жоқ. 
Екінші теңдеуді  шешу  үшін  cos3x-ты 4сos
3
x-3cosx өрнегімен  алмастырып  және cosx=k жаңа  айнымалысын 
енгізіп, 
9k − 9k + 2√3 = 0 
кубтеңдеуін аламыз. 
Иррационал коэффициенттен құтылу үшін n= √3жаңа айнымалы енгіземіз.  
n
3
-3n+2=0 
теңдеуін көбейткіштерге жіктейміз: 
(n-1)
2
(n+2)=0,  
бұдан n=1 және n= -2 мәндері табылады. 
Енді негізгі белгісіз х-ке көшсек, cosx=
−
√
  және cosx=
√
 екі теңдеу аламыз. 
−
√
< −1 болғандықтан, бірінші теңдеудің шешімі жоқ. 
Екінші теңдеудің шешімі  
x = ±arccos
√
+ 2πn, n ∈ Z. 
Жауабы: 
±arccos
√
+ 2πn, n ∈ Z. 

84
 
 
2-мысал. Теңдеуді шешіңдер 
+
tg
− 2x = 0. 
Шешуі: Берілген теңдеуді тек 2x аргументінің функциялары арқылы жазайық: 
2cos 2x
2sin 2x
+ ctg2x = 0, 
немесе, 
2 +
2 = 0. 
a=ctg2x жаңа айнымалы енгізіп, √a = −√aиррационал теңдеуін аламыз. Бұдан ары қарай 
a = a
−a ≥ 0
⇔
a = 0, a = −1, a = 1
a ≤ 0
⇔ a = 0, a = −1. 
Ендеше, берілгентеңдеу ctg2x=0  және ctg2x=-1 екі теңдеуді шешуге келтірілді. Бұдан 
ctg2x=0 
↨ 
ctg2x=-1 
↨ 
2x =
+ πn, n ∈ Z, 
↨ 
2x = -
+
,
∈ , 
↨ 
x = 
+
,
∈ . 
 
x = - 
+
, m
∈ . 
 
Жауабы:  
+
,
∈ ;  -  +
, m
∈ . 
Келесі логарифмдік теңдеу тригонометриялық теңдеуге келтіріледі, ал ол күрделі ауыстыру жасау арқылы 
шығарылады. 
3-мысал. Теңдеуді шешіңдер 
log (3|sinx| − |cosx|) + log |cosx| = 0. 
Шешуі: Логарифмдердің қосындысын көбейтіндінің логарифмі түрінде жазсақ, берілген теңдеуге мәндес 
log (3|sinx||cosx| − cos x) = 0 
теңдеуін аламыз. Бұдан 
3|sinx||cosx| − cos x = 1. 
Теңдеудің  екі  жағын  да   
cos x = |cosx|     -қа  бөлсек,  y =
|
|
|
|
= |tgx|  жаңа  айнымалысына  байланысты 
квадрат теңдеу аламыз: 
y
2  
- 3y + 2 = 0. 
Бұл  теңдеудің  екі  түбірі  бар:  y=1  және  y=2.  Олай  болса,  берілген  теңдеу  |
tgx| = 1  және    |tgx| = 2  екі 
теңдеуден  тұратын  жиынтыққа  мәндес  болады.  Ол  теңдеулердің  шешімдері: 
x =   ± + πn, n ∈ Z  және  x =
 ±arctg2 + πm, m ∈ Z. 
Жауабы: 
± + πn, n ∈ Z; ±arctg2 + πm, m ∈ Z. 
Келесі мысалда параметрі бар тригонометриялық теңдеуді шешеміз. 
4-мысал.  a –ның барлық мәндері үшін теңдеуді шешіңдер: 
sin
8
x+cos
8
x=a. 
Шешуі: Теңдеудің сол жағындағы өрнекке дәрежені төмендететін формуланы екі рет қолданып,  
cos
2
4x + 14 cos4x + 17 - 32a = 0 
теңдеуін аламыз. cos4x=t  жаңа айнымалы енгізу арқылы одан 
           t
2 
+14t+17- 32a = 0                     (2) 
квадрат  теңдеуі шығады. Оның дискриминанты D=128(1+a). 
1)  егер  a  <  -1  болса,  онда  (2)  теңдеудің  түбірлері  жоқ.  Ендеше,  берілген  теңдеудің  де  түбірлері  жоқ 
болады. 
2)  егер  a  =  -1  болса,  (2)    теңдеудің  жалғыз  түбірі  табылады:  t  =  -7.  Онда  берілген  теңдеу    cos4x=  -7 
теңдеуімен мәндес болады, яғни теңдеудің түбірі жоқ. 
3)  егер a > -1 болса, (2) теңдеудің екі түбірі табылады: t
1
= -7- 4
2(1 + a), t
2
= -7+4
2(1 + a). Ары қарай 
есеп екі тригонометриялық теңдеуді шешуге келтіріледі: 
cosx = -7- 4
2(1 + a)  және cosx = -7+4 2(1 + a). 
t
1
  санының  -7-ден  кем  екендігі  көрініп  тұр,  сондықтан  бірінші  теңдеудің  түбірлері  жоқ.  Екінші  теңдеудің 
түбірлері бар болуы үшін 
−1 ≤ -7+4 2(1 + a) ≤ 1 
шарттары орындалуы қажетті және жеткілікті. Бұдан  
≤ a ≤ 1 шартын алдық.
 
a-ның осы мәндері үшін теңдеудің түбірлері 
= ±
1
4
arccos −7 + 4 2(1 + ) +
2
,
∈ . 
Жауабы: егер а 
∉ , 1 , 
ондатеңдеудің түбірі жоқ; 
егер а
 ∈
, 1
болса, ондаx
= ± arccos −7 + 4 2(1 + ) +
,
∈ . 

жүктеу/скачать 12,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: